Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Заметим,что В. не действует болыпе на этом многообразии, так что Мг (а, а'; О) не должно быть пустым. Это позволяет определить гпв(а, а') б Е и морфиэм гог.: С(п) -> С(гг') по формуле у(а) = ~,, пав(а, а') а'. Остается показать, что: 1) Этот морфизм является морфвзмом комплексов, т.е. д о сг,— аггр р д' = О. Это получается с помощью компактификации многообразия Мг.(а, а'; 1) с краем дМ(а,а'; 1) = Д М(а, Ь; О)хМт(Ь,а') — Ц Мг(а, Ь')хМ(Ь',а'). ьелр ьел, 2) Индуцированный морфизм в гомологиях не зависит от выбора метрики Е. Для доказательства этого рассмотрим однопараметрическое семейство метрик Ел, О < )г < 1, связывающее Е и Е', и положим М(а,а) = ((А, 1) [А е Мв,(а,а)) С В(11 х М) х [0,1!.
Это пространство разлагается на подпространства М(а, а'; а) . В общем случае М(а, а'; 1) является ориентированным многообразием размерности а + 1, компактным, если а = -1. Следовательно, нуль- мерное многообразие М(а. а'; -1) позволяет определить морфизм Н: С -~ С' степени -1; кроме того, компактификация пространства ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 111 .44(а, а'; О) дает цепную гомотопию между морфиэмами, ассоциированными с метриками Е и Е'. 3) Этот морфиэм является изоморфизмом, что следует из формулы композиции уп„= 1с~ус для метрики Ен, которая совпадает с метрикой Е(1+ Я) при 1 ( 0 и с метрикой Е'(1+ В) при 1 > О, где 11 достаточно велико. Замечания. 1) В конечных размерностях этот метод является новым (так мне кажется): обычно доказывают, что гомологии совпадают с гомологиями многообразия без прямого сравнения двух выборов. Интересно описать указанный морфизм в терминах перестроек (рождения или смерти критических точек, приклеивания ручек).
Этот метод, вероятно, применйм в гомологиях Новикова, 2) Эта конструкция обобщается так, чтобы кобордизму между двумя целочисленными гомологическими сферами сопоставлялся морфизм из 1„(М) в 1,(1У) (см. п. 4.2). 4. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ НА ОТКРЫТЫХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ [А11] 4.1. Пространства модулей. Пусть И'4 — ориентируемое открытое связное многообразие размерности четыре. Будем всегда предполагать, что И~~ является внутренностью компактного многообразия, причем вконец многообразия И' имеет вид оои =]О, +со[ хдй~, где дую является объединением конечного числа трехмерных многообразий М~, 1 ( у ( А1. Наделим многообразие И' метрикой пи, которая на конце является произведением метрик.
Будем говорить, что это многообразие с цилиндрическими компонектаами конца. Заметим, что Таубс исрольэовал более общее понятие многообразия с периодическими компонентами конца. Можно определить пространство Пи й(И')-зквивариантных возмущений оператора автодузльности, которые продолжают возмущения, уже определенные на компонентах конца. Конструкция аналогична конструкции п. 2.3. Изучим пространство решений уравнения Р„= 0 по модулю действия группы Д(М) .
Чтобы иметь интересную теорию, т.е. найти конечномерные пространства, ограничимся случаем решений конечной энергии. Согласно п. 3.3, для этого надо потребовать, чтобы при подходе к каждой компоненте конца соответствующий путь из связно- Жал-Клод Свлорав 112 отей стремился к критической точке функционала СЯ,, Определим пространство модулей М()в', а) = М(Ил, а1,..., ан) ~ где ад б Нлл Вариант. Часто концептуально важно разделить конец сои на положительную часть сел~ =]О, +со[ хд+Ил и отрицательную часть ос~ —— [ — со, 0[ хд Ил, как это делалось для В. х М. В частности, если так определенные части края д И' и д+Ил непусты и свяэны, то многообразие Ил — сои является кобордиэмом между этими частями.
Тогда очевидным образом мы можем определить пространства М(вв', а , а+). Заметим, что д И' наделено ориентацией, противоположной к привычной. Впредь будем полагать, что критические множества Н л являются невырожденными. Напомним, что если многообразия М, — целочисленные гомологические сферы, то это условие эквивалентно утверждению, что л — возмущения общего положения. С другой стороны, требуемое условие включает в себя требование, чтобы многообразия М были рациональными гомологическими сферами. Пусть 61(Ил) = дпп На(Ис, К) н Ьг (И') — индекс формы пересечения на когомологиях Н~(У/, К), который корректно определен, когда край дву является объединением рациональных гомологических сфер.
Предложение. Предпояожиль что Н в — невырожденные критические множества и что одна из связностеб аа неприводима. Тогда дяя возмущения общего положения ки, продолжающего набор (а ), пространство М(И~, а) разлагается на гладкие ориентируемые многообразия М(Ис, а; 1) размерностей 81щМ(И', а; в) = в+ З(Н вЂ” 1+ Ь1(И') — Ьа (И')) — ~~~ йщДв,, где в' = — ~ 1о, 1пд (ад) щод 8. Если различать положительную и отрицательную части конца, то для отыскания формулы для размерности соответствующих многообразий надо вспомнить, что каждое многообразие Мз — рациональная гомологическая сфера, так что !по( — М, а1) = 3 — 1пб(М1, ау) . В частности, если части края д Ил и д+Ил непустые и связные, то д1щМ(И', а, а+; в) = З(61(И') — Ьг (И')) — дипел,+.
гомологии, ассоциированный с функционалом 113 Обозначение. Обозначим через М(Иг, а), часть пространства М(И', а), имеющую размерность т, если она существует. 4.2. Определения инвариантов. т3тунктор на кобордизмах. Рассуждения, аналогичные рассуждениям равд. 3, приводят к следующей теореме: Теорема 2.
Предположиль чтпо мноаообразия М являютпся целочисленными гомологическими сферами. Тогда для пар общего положения (он, тгн ) имеют местно следующие утпверждения: (а) Нульмерная часть М(Иг, а)в всегда компактни Следоватпельно, мы можем определитпь целое число т(Иг, а) й Е. (Ь) Одномерную часть М(Иг;а)г всегда можно компактифицироватпь как ориентпируемое многообразие, присоединяя к ней край дМ(Иг, а)т = Ц М(Ит, Ь)в х М(Ь, а)о, ь где Ь = (Ьт) пробеаает П В, и М(Ь,а)в — — П.М(Ь,ат). Следовательно, элемент г(Иг) из тенэорноао произведения аруна цепей ®т:, С(тг ), определенный равенством а(Иг) = ~~~ т(Иг,а)аг Э... Залг, а является цшслом.
(с) Класс гомологий элементпа г(И") не зависит отп выбора ои и тги,. Таким образом, определен класс гомологий а(Иг) й 1,(дИ') ®т г 1,(Мт). Если гомологии 1.(Мт) не имеют кручения (не известно ни одного примера, где бы это не выполнялось, см. равд, 5), то утверждения этой теоремы сохраняют силу. Если различать положительную и отрицательную части конца, то класс а(Иг) позволяет определить морфиэм отто: 1. (д И') -+ 1,(д+И') .
Если обе части связны, этот морфизм имеет степень 3(Ьт(Иг) — Ьз (Иг)) . С помощью подходящей склейки получаем такой результат. Теорема 3. Отпображение Иг -т три функтпориально по отношению к композиции кобордизмов: если Ит = УУ, то грто = ~туттгт. 4.3. Связь с замкнутыми многообразиями.
Рассмотрим замкнутое односвяэное многообразие Иге, допускающее разложение И" = сг Ом И, где М вЂ” целочисленная гомологическая сфера. Теорема Фридмана и Тейлора дает такие дифферегцируемые разложения для каждого алгебраического разложения формы пересечения. С другой 114 Жал-Клод Сикораа. стороны, теорема Фридмана утверждает, что всегда (при алгебраических предположениях) рассматриваемые многообразия шопологически разлагаются в связную сумму вдоль сферы. Дональдсон [04] определил инварианты, которые являются препятствиями к существованию подобных дифференцнруемых разложений.
Работая в указанном направлении (см. [А11]), он уточнил упомянутые результаты, разложив эти инварианты в гомологиях Флера многообразия М. Все инварианты получаются с помощью подсчета числа точек в пространстве модулей размерности нуль. Опишем более простой инвариант, чем тот, который мы обозначали через л(Ис) (это естественное обобщение на случай многообразия с краем). Для этого напомним, что если Р -+ И' является ЯН(2)-расслоением, то пространство М(Р) модулей автодуальных свлзностей является в общем случае ориентируемым многообразием размерности п(й) = 8к — 3(1+ 6а (Ис)) [Г'~С, )Ж].
Если существует сс, такое, что п(й) = О, то это многообразие компактно, что дает л(И') Е 2, и это число является инвариантом многообразия Ю'. В противном случае полагаем л(Ис) = О. Ясно, что следующий результат (неявно содержащийся в [Р4]), доказывается, как теорема 4: если замкнутое односвяэное многообразие И'~ является объединением (1 Ом )с вдоль целочисленной гомологической сферы, то имеет место равенство Ж) = ( (Н) (И))* в котором используется двойственность между 1,(М) и 1,(-М) . Вообще, Дональдсон описал способ отыскания пространств модулей размерности нуль, налагая дополнительные условия на связности.
В итоге он получил в предположении, что 6а (И') нечетно и больше единицы, полиномы ршя: На(Ис) -> 2 достаточно высоких степеней сс. Для многообразий, краем которых является целочисленная гомологическая сфера, мы получим полипом со значениями в 1,(дйс) .
Для разложения Ис = сс' Ом 1с, описанного выше (и при некоторых дополнительных уточняющих условиях), результат, анонсированный в [А$1], приобретает вид Рисд = л~ Рссс,с ° Рсг,а-ь с причем используется разложение На(И') = На(11) Ю На(Ъ ) . 5. ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ [г5, 01, Е5] 5.1. В настоящий момент единственный тип многообразий, для которого были вычислены гомологии Флера, — это целочисленные гомологические сферы, которые являются расслоениями Зейферта [РБ, 01].
ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 115 Для этих многообразий ограничение функционала Чженя-Саймонса СЯ!и.!м! является невырожденным функционалом в смысле Ботта; следовательно, пространство неприводимых плоских связностей В'(М) есть объединение конечного числа связных компактных многообразий, Кроме того, любая функция Морса 1 на Я'(М) позволяет построить такое возмущение я, что критические точки функционала СЯл!Вцм! являются невырожденными и бнективно соответствуют критическим точкам функции 1 и существует явная формула, связывающая индексы критических точек двух этих функций. Эта формула имеет вид !пп (а) = !пбу(а)+(четное целое число) (доказательство основано на (АРЯ 1Щ).
Наконец, можно различными методами показать, что Я" (М) всегда допускает функцию Морса, все критические точки которой имеют четные индексы. Используя совокупность этих результатов, получаем, что группы гомологий 1. (М) сосредоточены в четньпс размерностях и свободно порождаются критическими точками. Кроме того, все эти группы елгорнтмически вычислимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
