Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3.1). Мы отправляемся от ре, задаваемого формулой (о). (1) Андьел, Брамсон и Лигетт [АВЦ заметили, что локальное равновесие справа от ударной волны х = е,1 сохраняется не очень долго, но локальное равновесие является суперпозицией «максвеллианов«: Фрэнсмс Конец 4. МОДЕЛИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ И МЕТОД ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ пУ~(1) = д,У (1 — 1) — 41~(1), 1 е Е/ФЕ, дуь6) э (Ф Хи(1 + 1)] Ф [~и(1)]) <~в+ ~1Ви(1) ~ где В(1), в' Е Е/ЖЕ, — независимые броуновские движения и где ф: К -+ К вЂ” функция класса С1, удовлетворяющая условиям е 4(Иду = 1, а(л) = 1оя / ех" а~и ф существует для всех л е к, / еще ~ "Л в<И ор < + у.1 Е К (10) Это диффузионная градиентная система с Цу) = --эф'[у(О)].
(11) Напомним, что тогда нормировка в (4) — это е = 1/Ж, о(е) = 1/Юэ. Пусть У вЂ” марковский процесс с непрерывными траекториями в К~ с инфинитезимальным генератором д () ду(+1) дУ(1) ду(1 + 1) дУ(1) ду(1 + 1) где гамильтониан Ни дается формулой (13) в=О Цель этого раздела — представить замечательный метод производства энтропии, введенный в 1988 г. Гуо, Папаннколау и Вараданом [СРУ]. В настоящее время этот метод применим только к обратимой системе.
Как удобные рамки для представления метода я использую дискретную модель Гинзбурга-Ландау, рассмотренную в [СРУ]. 4.1. Модель Х'1визбурга — Ландау. На дискретном одномерном торе Е/)УЕ, рассматриваемом как интервал (О, 1,..., У) с отождествленными концами, рассмотрим систему стохастических дифференциальных уравнений ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ 153 Полная масса 2', у(т) сохраняется. Введем двойственную к а в смысле Лежандра — Фенхеля функцию Ь, Ь(р) = вир(Ау — а(А)), р Е Н. (14) лен и (ду(0),..., ду(Ф вЂ” 1)) т»-1 Р (Г С, УЬ) з а~ ~ ч )ЙУ(О) ЫР(ю — Ц, ~15) т=о уч где параметриэация 1 = Ь'(р) выбрана так, что Е"т у(0) = р, как в (1). Генератор т" т» является формально самосопряженным в 1,г(и~~»), и ограничение рассматриваемого процесса на любую гиперплоскость 2„у(т) = сопвг есть эргодический процесс с единственной инвариантной вероятностной мерой, а именно условным распределением меры и~~ на этой гиперплоскости (не зависящим от р) .
Нам понадобится еше тор Т = В./Е, снабженный мерой Хэара, которую мы обозначим дх. Теорема [СРЧ). Предполохсим, чтпо начальное распределение Рот» удовлетпворяетп условию локального равновесия с профилем ро Е 1 ~(Т) и абсолютпно непрерывно отпноситпельно меры иолт с площностпью Д», удовлетпворяющей условию' Н (1о ) = / Уо 1о81о"дио ( С)Ч. (1б) Тогда справедлив закон сохранения локального равновесия с профи- лем р(т, х), х Е Т, удовлетпворяющим уравнению д 1дг — р = — — Ь'(р), р(0, х) = ро(х), (17) 2 дхг ь и ~г Ь(р) дх ~ (С, — — Ь'(р)~ дгдх ( С.
(18) В силу (11) и (15) О = -Ьт/2, а значит, уравнение (17) согласуется с (7). Оно допускает единственное решение, удовлетворяющее усло- Тогда Ь и а являются сопряженными друг к другу выпуклыми функциями, производные которых — регулярные строго возрастающие и взаимно обратные функции. Инвариантными относительно трансляций экстремальными инвариантными вероятностными мерами для РассматРиваемого пРоцесса бУДУт меРы и'» Е Мт+(Гь"т), Р Е Н, заДаваемые формулой 154 Фрэнсис Комец вию (18), в пространстве Н ~(Т) . Условие (16) контролирует энтро- пию меры Ре» относительно инвариантной меры.
Гуо, Папаниколау и Варадан дали вывод априорных оценок (см. (21а) и (21Ь) ниже), которые составят основу доказательства теоремы. 4.2. Энтропия. Если у~: В."' -+ Н+ — плотность вероятности от- носительно меры по~, обозначим через Н~(у~) = 1 у~ 1о81и6и~ эятщюпвю (или информацию Кульбака — Лейблера) распределения ~попе» относительно ив~~. Напомним, что Н'»(у~) положительна и равна нулю, только если у~ = 1. Здесь удобно рассматривать не сами вероятностные меры, а их плотности относительно некоторой инвариантной меры, в данном случае меры ие~.
При наших предположениях закон Ре" для системы абсолютно непрерывен относительно меры кэс»; его производная Радона-Никодима ~, = ЙРм,,(йие удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова д — ~»= Иап~Г, д1 и легко получить, что И вЂ” Н~(1~) = -1»'э1~Ц~) < О, й (19) где 1 о) = и ~' / ~( —, —, )»7~ »," эе ееть значение в точке Я формы Дирихле, ассоциированной с симметрическим оператором Г»» . Убывание энтропии, выраженное формулой (19), известно как»Н-теорема Больцмана». Это утверждение не дает непосредственных сведении о локальной плотности. Напротив, провэеодс»пво энтропии 1э,которое становится нулевым для инвариантных плотностей у, позволяет представить локальную плотность как смесь гиббсовских мер с малыми флуктуациями в плотности, если производство энтропии мало, что очень информативно.
Пусть у~ — плотность (на Ви), полученная усреднением по времени, ~~» = -', Д ~~»»)э. Из выпуклости функционалов Н»» и»э и из с (16), (19), (20) немедленно вытекают априорные оценки Н Ц~) <СМ, (21а) 1 Ц~) < С/Ф. (21Ь) ГИДРОДИНАЫИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ 4.3. Основные этапы доказательства Гуо, Папаниколау и Варадана. Для всех регулярных на Т пробных функций д формула Ито, примененная к ~; = р 2 < О Уиы(4)бд1г, записывается в виде -и ь и-~ г~ (д Ч ) (д)О) — / ~ю "О+М~ ~ О (22) и-~ ~" = ~и(д у") = — 2„~ д"ИД)Ф'(У.,()Н1+о(1И. (23) а=о Кроме гауссовского случая, где ф квадратична, уравнение (22) незамкнуто, так как (23) не является больше функцией от ф". Рассмотрим вместо ф' в (23) юлокаяьнуюэ непрерывную функцию ф(д) = Ф(д(-й) ., д(/с)). Гуо, Папаниколау и Варадан доказалн с помощью (21а, Ь), что для всех пробных функций д с ~п-1 а ю а (' ( )1'рш~~~~ г~~ .> .-~О и->со 1 Д1 /О 1=0 ДО = 6, (24) где р(д, 1) — [д( — 1) +."+ д(1+ 1)) 1 2 +1 и где ир Е М~(В.~) есть естественное продолжение меры и Пусть Рио(Ун)-~ — образ меры Ри относительно (У;н)~>О.
Можно показать (существенно используя (16)), что зто семейство вероятностных мер предкомпактно на С(Вч., М(Т)) н его предельные точки (',~ в силу (22) сконцентрированы на детерминистских траекториях 1н, имеющих форму 1ь = р(1, х) дя, Из соотношений (23) и (24) следует, что 1 г~ г (д,1н) — (д,ре) = — / / д"(х)Ь'(р(а,х))Дхйл, 2/~ /~ а зто слабая формулировка уравнения (17). Из единственности реше- ния уравнения (17) вытекает, что последовательность Ри о(ун) сходится и, следовательно, мера зарядов ф» сходится к мере р(1, х) Дх.
и два элементарных вычисления показывают, что мартингал Ми рав- номерно сходится к 0 по вероятности на ограниченных интервалах времени и что 156 Фрэнсис Комом Доказавэельсвэоо (24). Выражение под знаком предела (деленное на !) в (24) записывается как с 1))) = -', )о /~")!о. Априорных оценок (21а) н (21Ь) достаточно для доказательства (24). Положим А(А!, С) = (плотности 1 на эс~ ) Н (1) < СЛ, 1 (~) < СЖ Тогда и-! Э Ы р ) — С,ае)Н)(Р г" 5) р-)о)"-)еь/еА(рр'с) у АР =0 )р)!ир1,; (рр,)! 1 с(иоо' = О (25) влечет за собой (24). Трудность состоит в том, что число переменных 2[Арс) + 1 стремится к бесконечности и на первый взгляд не поддается контролю.
Первый этап состоит в замене в (25) маленького макроскопического блока размера А!е на большой микроскопический блок размера 1. Одноблоковая оценка: М-1 !пп !пп впр / — ~ — (э!) а Т) + + )5 а 7не ) 1-+~о)о — ~~оуеА!)о с) У А) 2!+ 1 — баир!рсб У !ио =О (26) Интеграл, фигурирующий в (26), определяется скользящим средним фрнкпин э()1 = !01'11(ЮеТ ' + + е))оТ') — ) е()Мир!но 1!/, котоРал зависит от 2(й + !) + 1 переменных. Значит, этот интеграл равен 1' !рф с!иор', где 11 есть скользящее среднее некоторых плотностей, зависящих от 2(й + !) + 1 последовательных переменных.
Польза от фиксации ! выражается в том, что неравенство (21а) гарантирует компактность таких распределений на 1ь~!'+~!+1 и позволяет заменить !!шр)~~ опруеА!с )))! в (26) на супремум по множеству предельных точек при А! -+ со, Из соотношения (21Ь) вытекает, что эти предельные точки являются выпуклыми комбинациями инвариантных мер ир! ГИДРОДИНДМИЧЯСКИа ПГЯД6ЛЫ 157 Итак, достаточно доказать, что !!ш««)'«(«! Ыир — — О; иными г!н я1.ьг словами, достаточно доказать, что условные меры для игьы при условии р(у, О, !) = р' имеют то же самое асимптотическое эргодическое поведение, что и кр .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
