Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В качестве р берется гладкое неприводимое представление подгруппы Р, тривиальное на унипотентном радикале подгруппы Р, так что р задает представление подгруппы Леви в С, которая в случае СЬ„есть произведение групп Сарач(Р) с ~„пь = и. Тогда представление 1пбнр имеет конечную длину и его неприводимые С подфакторы дают элементы допустимой двойственной к С. Каспидальиыми называются гладкие неприводимые представления группы С,' которые не могут быть получены индуцированием, исходя из собственных параболических подгрупп в С. Видно, что по модулю знания допустимой двойственной для собственных подгрупп Леви в С (которые имеют над Р размерность, строго меньшую размерности группы С) и изучения разложений представлений,индуцированных на С, определение допустимой двойственной для С сводится к определению ее касиидальиой части, т.е. подмножества классов каспидальных предстарлений.
Эта редукция для Р является аналогом классификации Ленглендса представлений вещественных редуктивных групп. В ситуации, когда одновременно рассматриваются все группы СЬ„(Р) с и > 1, тонкое исследование индуцирования с параболических подгрупп приводит к появлению чрезвычайно интересной алгебры Хопфа, введенной Бернштейном и Зелевинским [В22, Ее]; см. доклад Родье на семинаре Бурбаки [Во]. 1.4. Во втором случае, в котором используется индуцирование, Н представляет собой открытую подгруппу, содержащую центр 2 группы С и компактную по модулю Л. В этом случае всякое гладкое неприводимое представление р подгруппы Н конечномерно и тривиально на некоторой открытой подгруппе; зто весьма близко к представлениям конечных групп.
Кроме того, гладкое представление и = о 1пай р группы С допустимо тогда и только тогда, когда оно явля- 166 Ги Энньвр ется прямой суммой конечного числа каспидальных представлений этой группы [Вц2], а если я неприводимо, то оно допустимо и каспидально. Можно указать критерий неприводимости для л, звучащий примерно так же, как и для конечных групп: чтобы я было неприводимым, достаточно, чтобы для д Е С вЂ” Н ограничения на Н ПдНд ' представлений р и рв т х ь+ р(д 'хд) не имели общих компонент. Известно, что матричные коэффициенты каспидального представления имеют компактные по модулю Я носители; кроме того, носитель характера (следа) представления я лежит в объединении подгрупп, компактных по модулю Я [Ое].
Разумно предположить, что каждое каспидальное представление группы С получается как композиционный фактор некоторого допустимого представления, индуцированного с открйтой и компактной по модулю Я подгруппы, или же само является индуцированным. Недавно Корвин, с одной стороны [Со4], а Башнелл и Куцко, с другой [ВК], анонсировали доказатель ство следующего результата: Теорема 1. Нустпь я — (гладкое не~риводимое) каспидальное вред- ставление группы СЬ„(Р) .
Тогда х индуиировано с некоторого допустпимого предстпавленив отпкрьттлоб и компактпноб по модулю нектара подгруппы. На самом деле этот результат не является простой констатацией существования. Некоторым точным и достаточно интересным способом можно составить список таких пар (Н, р), в которых Н открытая и компактная по модулю центра подгруппа в СЬ„(г'), а р — ее гладкое неприводимое представление, что всякое каспидальное представление группы СЬ„(Г) будет индуцнровано с одной нз пар (Н, р), и можно сказать, когда две такие пары (Н, р) н (Н', р') индуцируют на С изоморфные представления.
Таким образом, можно говорить о настоящей параметприэаиии каспидальноб двобсптвенноб для С. Можно, далее, истолковать этот результат так, чтобы он напоминал теорию К-типов для случая групп Ли: если я — каспидальное представление группы С, то в упомянутом списке существует пара (Н, р), единственная с точностью до сопряжения с помощью элемента иэ С, такая, что ограничение представления я на Н содержит р (как компоненту), а само тт индуцировано с р. Эти два истолкования указанного результата отвечают фактически двум различным подходам, каждый из которых послужил отправной точкой для работ, кратко упоминаемых в п. 1.7.
1.5. При первом подходе, который развит Корвином, доказательство происходит в два этапа. Как и выше, оно начинается с построения таких пар (Н, р), что представление, индуцированное с р на СЬ„(г') ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ Р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 167 является каспидальным, и определяются пары (Н, р), задающие одно и то же представление. Проблема на этой стадии состоит, главным образом, в том, чтобы угадать достаточное количество пар (Н,р). Затем следует доказать, что мы получили все каспндальные представления группы СЬ„(Е).
Для этого используется прямое вычисление (проделанное Туннеллом в его диссертации [Ти[ для и = 2) и сравнение с представлениями внутренних форм группы СЬ„(Г) . Элемент я допустимой двойственной для СЬ„(Е) обладает инвариантом а(гг) Е Х, называемым кокдуктяором я, и известно, что при заданных значениях кондуктора и центрального характера имеется не более чем конечное число каспидаяьньог элементов в двойственной. Вычисление состоит в проверке того, что пары (Н, р) задают достаточное количество каспидаяьных элементов. Но знать бы зто количество! Для этого рассмотрим тело Р с центром Е, имеющее степень пэ над Р. Центр локально компактной группы Р" отождествляется с центром Я группы СЪ„(г'); кроме того, группа Р" компактна по модулю л, откуда следует, что допустимая двойственная .0" к Р" состоит из конечномерных представлений. Если обозначить через Ро идеал нормирования в Р, то каждый элемент т иэ Р" тривиален на некоторой группе вида (1 + Рг) ГГР", где г' — некоторое пбложительное целое число, а кокдукгиор представления т есть число 7' — п + 1, где у' — наименьшее число с указанным свойством.
Путем глобальных рассмотрений, используя версию формулы следа для СЬ„и ее внутренних форм, можно установить [Вб, РКЧ) существование биекции между допустимой двойственной Р" к .0" и несвязным объединением каспидзльных частей допустимых двойственных к СБя(й'), где г( пробегает множество делителей числа и; эта биекция совместима с центральными характерами и кондукторами в том смысле, что если я является каспидэльным элементом в двойственной к СБ„(г"), а т Е Р" отвечает гг при этой биекции, то и и т имеют одинаковые центральные характеры и кондукторы.
Таким же способом, каким были угаданы каспидальные представления СЬ„(г ), угадывают и строят элементы из Рк, и для Р" ситуация с нахождением всей двойственной .0" достаточно проста. (По правде сказать, начинают с анализа и построения Р"', что помогает в поисках каспидаяьных представлений группы СЬ„(Г); см. замечание ниже.) Сравнивая количество уже полученных представлений групп СЬ|(г') и Р" (при данных центральном характере и кондукторе), мы видим, что получили всю каспидальную двойственную к СЬ„(г') .
Замечание, В простых случаях, например, когда и взаимно просто с р, параметрами, описывающими пары (Н, р) для СЬ„(Г) являются: 1б8 Гн Энньяр — расширение Е степени п над Г, содержащееся в М„(Г); — аддитивный характер тела Е; — мультипликативный характер группы Е". (Эти данные должны удовлетворять некоторым условиям согласованности.) Итак, тело 11 содержит расширение поля Г, изоморфное Е и единственное с точностью до сопряжения. Понятно, что можно перенести рараметры для СЬн(Г) на .0н и наоборот. Остается явно описать в этих конкретных терминах биекцию иэ [ОКУ]. 1.6.
Видно, что изложенный путь достаточно извилист и не объясняет существа полученной параметризации. И несомненно, накладно использовать сложную глобальную теорию для получения локального результата. С другой стороны, препринт [Со4] чрезвычайно насыщен техникой и труден для чтения, и я не стану утверждать, что успешно проследил все вычисления, разобрал все детали или прояснил темные места. В равд. 3 мы обратимся к методу, использованному Башнеллом и Куцко, который обладает, на мой взгляд, следующими преимуществами: ° Он чисто локален и не использует ни сравнений с другими группами, ни вычислений.
° Он концептуально ясен и, следовательно, допускает обобщения (см. равд. 4). В частности, мы увидим, каким образом новое понятие иросшого сшраиьа оказывается ключом к классификации. ° Собственно говоря, речь идет не столько об описании каспндальной двойственной к СЬн(Г), сколько о классификации всей допустимой двойственной к СЕ„(Г) путем ограничения на открытые подгруппы, компактные по модулю центра. Указанный метод, по большей своей части, не зависит от вышеупомянутой техники Бернштейна и Зелевинского.
По недостатку места в равд. 3 мы лишь опишем взаимосвязь идей и результатов, но не коснемся доказательств. Раздел 2 посвящен общим конструкциям и изучению простых случаев, дающих почувствовать, почему общий случай настолько сложен. 1.7. В заключение этого введения не будет лишним крошечный исторический обзор. В случае р ф 2 с давних пор хорошо известна (см. [ОСРБ, Щ) конструкция каспидальной двойственной для СЬэ(Г), опирающаяся на представление Вейля. В 70-е гг. Хоув прелложил подойти к общему случаю, изучив ограничения на открытые и компактные по модулю центра подгруппы ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 169 [Но1]. В умеренном случае, когда и взаимно просто с р, он описал [Но2] некоторую конструкцию каспидзльных представлений группы СЬ„(Г), появляющихся из представлений открытых и компактных по модулю центра подгрупп; эти последние представления были параметризованы некоторыми мультипликативными характерами расширений степени и поля Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
