Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 36
Текст из файла (страница 36)
3.2. На самом деле удобно использовать другую алгебру Я(С, р), свя- занную с р и эквивалентную ер7г(С) ер в смысле Мориты. Онанззыва- ется алгебра« сплещенвд представления р. Обозначим через р" кон- трагредиентное к р представление; имеем рн(д) = 'р(д ') для д б С. Пространство Я(С, р) порождается локально постоянными функци- ями на С с компактным носителем со значениями в Епбс(И'*), удо- влетворяющими соотношению Ф ( д ~ ~ ) р и ( 5 ) о Ф ( д ) о р ( 4 ~ ) для а, а' из Н и д из С.
Умножение вэтом пространстве — свертка: ФФ'(д) = / Ф(а) оф'(а ~д) аа. ~с ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 177 ИмеетсЯ изомоРфизм алгебРы 34(С, Р) Эп Епйс(йт) на ел Н(С)ер, сопоставляющий элементу Ф 8 (ш о ш') с ш Е Ит и ш' Е Йт" функцию д ье 41ш р Тг(ш 8 Ф(д)ш') . Для д Е С обозначим через Не группу дНд ' и через ре: Н' -ь СЦИ') представлениец х ~ р(д 'хд) . Обозначим через Носи(ре, р) пространство таких эндоморфизмов ф пространства Ит, что ф о ре(х) = р(х) о ф для х Е Н Г1 Не.
Скажем, что д спяетаетп р (само с собой), если указанное пространство является ненулевым. Носители функций из 'Н(С, р) определяются сплетениями представления р. Предложение. Пусть д Е С. Существует канонический изоморфизм между пространством Нош(ре, р) и простпранстпвом функций из Я(С, ро), обраи4аюеиихся в нуль везде, кроме НдН. Замечание. Случай, когда Н компактна по модулю Е и Нош(ре, р) = О для д Й Н,т.е. когда алгебра 34(С, р ) одномерна, в точности совпадает с ситуацией, когда представление !пай(р) непрнводимо и каспидэльно (ср.
п. 1.4). З.З. Грубо говоря, анализ элемента л допустимой двойственной к С производится путем обращения к паре (Н,р), относительно просто связанной с к, например к паре, отвечающей в силу п. 2.2 страту типа альфа ([Е], т, т — 1, а) (см. п. 2.4), и последовательного улучшения рассмотрений, т.е. увеличения группы Н, например, переходом к страту ([Г], т, т, 6) с т/2 ( т ( т — 1.
Понятие сплетения переносится на страты способом, совместимым с отображением 6 ~ фь из п. 2.2. Элемент д Е С спяетпает страт й = (Д,т,т, Ь) со стратом й' = ([ь'],т',т,'6'), если множество д '(6+Рс )дГ1(6'+Рс, ) непусто. Через Хп(й) обозначим множество элементов группы С, сплетающих страт Й сам с собой. Особенный интерес (см. п. 2.4) представляют чистые страты й = ([Е], т, пз,33), т.е. такие, что страт ([Е], т, т — 1,33) удовлетворяет двум первым условиям нз определения п. 2.4 (если он удовлетворяет еще и третьему условию, то говорят, что й минимален). Итак, зафиксируем чистый страт й и обозначим через Е поле Р[33], а через В подкольцо Епс1В()т) в А.
Решетки из цепочки ь" неподвижны под действием кольца целых Ня в Е, и мы получаем цепочку решеток Е(Е) в Е-модуле )т; мы будем использовать для этой цепочки обозначения Вця1, Рця1 и т.д. иэ п. 2.2. Рассмотрение сплетений страта П приводит к необходимости изучения отображения ар. х ь+ 33х — х(3 нз А в А. Для 74 Е Е обозначим ПВ оригинале используются обозначения еН и ер, однако ны решили сохранить обозначения, введенные ни. 1хь — Прель нерее. Гя Зняьяр 178 через 1»ь(й) множество такюс элементов х из Ас, что аэ(х) принадлежит Рсь~н~, зто открытое подкольцо в Ас, являющееся также бимодулем над Вцн1, и мы имеем»ть(й) С Вс~н) + Рс для достаточно больших й.
Обозначим через йо(й) наименьшее целое й, при котоРом Мь ы (й) С Вцн1 + Рс . Интерес к йо(й) вызван следующим свойством точности. Зафиксируем некоторое коограничение е, связанное с Е/Р, т.е. морфизм (В, В)-бимодулей из А в В, такой, что е(Вс~н») = Ас ПВ для любой цепочки решеток С в А, неподвижной относительно Нн (коограниченне »зеркально» отвечает ограничению на В характеров т/т», определенных стратами ([С'], т', и»,' 6') в А) . Лемма.
Пусть й = ([С], т, и», 1») — некотпоры»1 чистый стпрата и Е = Рф]. Пустпь 7» — целое число, к > йо(й). Тогда таочна тпакал последоеап»ельносп»ьс О -» гть(й)/Вс(н1 — т Рс — » Рцн1 -+ О . 3.4. Определение. Чистый страт й = ([С], т, и», ~3) в А называется простпым, если тп < -ко(й). Минимальными называются такие простые страты й = ([С], т, и», ф), что йо(й) < — т. Если и» = т — 1, то простой страт есть не что иное, как страт »пипа альфа.
Важность простых стратов подтверждается следующим фундаментальным техническим результатом: Теорема [ВК, 82]. Пусть й = ([С], т, и», В) — некое»оры»1 чистаыб стпратп е А. а) Среди частных стратаое ([С], т, т,ьт), эквивалентных й, простыми оудута тпе, у котпорых степень [Г[ы]: Р] минимальна. Ь) Предположим, чтпо стратп й просп». Если стпрата Й' = ([.С], т',и»', Д') прост и сплетен с Й, тпо он сопряжен с Й с помо»лью некотпорого элеменп»а иэ Нс.
с) Предположим, чтпо с»пращ Й проста и положим й = ко(й), 1»' = Мь(й). Тогда 1ц(й) = (1+ Р (~™)~ »Ф)В" (1+Р ~~~ ~»И). Видно, что и. а) дает простую характеризацию простых стратов, а п. с) определяет сплетения простого страта способом, позволяющим надеятьсе на редукцию к В. Простой страт й = ([С], т, и», Д) хорошо ведет себя по отношению к процессу улучшения.
Положим Е = Р[(8], В = Епт(н(»т) и зафиксируем, как н выше, коограничение е, связанное с Е/Р. Возьмем ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 179 Ь Е Рс и рассмотрим улучшенный страт й' = ([С], т, т — 1, 13+ Ь). Получается проиэеодньп1 страт ([С(Е)], ш, гп — 1, я(Ь)) в В. Если производный страт расщепллетлсл, то некоторое гладкое неприводимое представление группы С', которое содержит страт Й', индуцировано с некоторой собственной параболической подгруппы и, в частности, не может быть каспидальным. Если, напротив, производный страт прост в В (т.е. является стратом типа альфа), то страт й' эквивалентен некоторому простому страту в А.
Можно доказать, что простые страты получаются процедурой улучшения описанного вида из стратов типа альфа. 3.6. Тем не менее анализ допустимой двойственной к С сложнее, чем схема улучшения стратов. В самом деле, страт й = ([С], Г, Гп, 13) может определять представления некоторой подгруппы в С, только если т ) Г/2, и это приводит к необходимости модифицировать конструкцию. Классификация из [ВК] завершается все же простыми стратами ([С], Г, О, 13) в А, но этот путь весьма извилист.
Ниже мы кратко опишем его. Для простого страта й = ([С], Г, О, 13) в п. 3.6 определены фильтрованные подкольца у(й) и Ь(й) в А, фильтрованные подгруппы э(й) и Н(й) в Нс и множества характеров С(й, Ь) (для О < Ь < т — 1) групп Н(й)»+' . Эти объекты определены непосредственно, если страт й минимален (т.е.
Ье(й) < — т) или с помощью простого страха ([С], г, — Ье(й), у), эквивалентного ([С], Г, -Ье(й), 13), в противном случае (страт й' = ([С], г, О, Т) также прост). Проверяется, хотя это и не очевидно, что все зти объекты существуют и не зависят от произвола в выборе вспомогательных объектов. В п. 3.6 мы рассмотрим простой страт й = ([С], Г, О, )3) и зафиксируем выбор й'. 3.6.
Мы сохраняем обозначения В и В нз п. ЗА и полагаем т = — Ье(й). Если й минимален, то положим Ь(й) = Вс1н) + Р~™' и 1(й) = Вс1н1+Рс . В противном случае полагаем Ь(й) = Вс(н1+ [(~+1)/2) Ь(й') Г1 Р~"~И~~ и у(й) = Вс1В1 + у(й') П Р~~~ У И. Это два подкольца в А, фильтрованные степенями Ь"' = Ь Г1 Р)п и 3 =уГ1Рг . Положим Н(й) =Ь(й)",,У(й) =у(й)" и Н =1+6™, Ут 1 ~уп Пусть О < Ь < т — 1. Если страт й минимален, то обозначим через С(й, Ь) множество характеров д на Н(й) +', удовлетворяющих следуюшнм условиям: (1) 6](Н(й)"+'Г1Н( 31 ) =Фд; (О) 6[(Н(й)"+1Г1В") факторизуется через детерминант В" ~ Е".
Предположим, что страт й не минимален. Если Ь > гп, то положим С(Й, Ь) = С(й', Ь) . В противном случае множество С(й, Ь) состоит из 180 Ги Знньвр характеров 0 на Н(й)"+', удовлетворяющих условиям (й) и, кроме того, следующим условиям: (1И) б нормализуется подгруппой Нс1н1, (1и) для И = шах(к, [тп/2]) ограничение 0 на Н(й)ы+' имеет вид бо тдв-» с бе е С(й', й'). Можно легко вычислить сплетения характера ьо е С(й~ й) [ВК ТЬеогеш 4. 7]. 8.7.
Пусть 0 — характер из С(й, О) . Тогда существует единственное неприводимое представление тт(б) группы Ут(й), ограничение которого на Н' (й) содержит д. К тому же, представление т1(о) канонически продолжается (с помощью скручивания на 1т в оегв, где и†некоторый характер Я" /1+Ри) до представления х(б) группы У(й) . Замечание.' В простых случаях, упомянутых в ргэд 2 и в [Со4], такие продолжения получаются с помощью представления Вейля. Тем не менее это приводит к техническим трудностям, напРимеР в слУчае р = 2. В [ВК] используется подход, навеянный [Ита].
Теперь можно определить, наконец, понятие првставгв таина. Начнем, как и выше, с простого страта й = ([.С], т,пт, )1) и предположим, что цепочка решеток С равномерна. Тогда группа У(й)/д'(й) изоморфна Нс<н1/Н'<н1, т.е. произведению е экземпляров группы СУу(Нн/Рн) (с е/ = т)1шн(Ъ')). Если дано каспидгльное представление ов группы СУУ(Ян/Рн), можно рассмотреть в = оо З чт ов как представление группы,У(й), тривиальное на У'(Й) . Определение.
Првстаььн шипам называется представление группы У(й) вида х(в) Э а, где д е С(й, О), а а, как и выше, — некоторое представление группы Н" < с равномерной цепочкой С, тривиальное на Нс~н~ и имеющее указанный выше вид. Замечание. В частном случае этого определения может случиться, что / = 1; тогда подгруппа Н~о< называется ввдгруппвй Ивагори группы С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
