Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Положим Р' = С 'РС = з(Р" — Р') . Классические тождества кэлеровой геометрии работают и в этой ситуации, например, можно вычислить формальные сопряженные к операторам Р, Р~ 'Ре. $ Р' = — *Р* = [Л, Р'), Р'" = 4(Л, Р"], Ро* = — е(Л,Р'). (2) Пусть Н вЂ” другая эрмитова метрика на расслоении Е; запишем ее в виде Н = КЬ, где Ь вЂ” автоморфнзм расслоения Е, явапощийся эрмитовым относительно К. Дифференциальные операторы Рн и Рк, отвечающие метрикам Н и К, и их кривизны связаны формулами Рн =Рк+" Ркй Ек = Ек + Ь (РеР' Ь вЂ” (РоЬ) Ь 'Р Ь) . (3) (4) По фоРмУле (2) лапласиан Лк», отвечающий опеРатоРУ Рк на Рас- слоении эндоморфизмов расслоения Е, равен Лк(Ь) = РкРкЬ = зЛРеРкЬ.
Теперь из формулы (3) выводим Л~(Ь) = зЬЛ(Гн — Ек) + зЛ((Р"Ь) Ь-'РкЬ) . (3) Поля Янга-Миллса. Мы находимся на «многообразиие Ме$(Е) эрмитовых метрик на Е и рассматриваем функционал Янга-Миллса Н ~е ))Ен))з. Метрика Янга-Миллса минимизирует этот функционал; поэтому мы приходим к задаче о нахождении его критических точек. Если отождествить касательное пространство к Н с векторным пространством Нсгшн(Е) зрмитовых эндоморфизмов расслоения Е для метрики Н, то производная функционала Янга-Миллса задается бла годаря формуле (4) линейным отображением Негтпн(Е) е+ К: и ~-> 2Пе(РоРкп, Ен)», где (, )и обозначает скалярное произведение, ассоциированное с з.~-метрикой на Аз(Нота(Е, Е)), индуцированной Н.
С учетом формулы (2) и тождества Бьянки Рк(Ен) = 0 производная записывается так: и ~-е Вв(ц, 2зЛкЛЕн)к. Таким образом, евекторное полез Н ге 2еЛнЛРн играет роль градиентною поля для функционала Янга-Миллса. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 195 Мы приходим к проблеме изучения траекторий Е «+ Нт векторного ПОЛЯ Н «+ -ттлНЛРН, т.Е. К ураВНЕНИЮ В ЧаетНЫХ ПрОИЭВОдНЫХ , НН Н ' — +тЬнЛРн = О. дй Н вЂ” = -т'АРн, таН д$ (6) исследование которого проШе.
Уравнение теплопроводиостн. Уравнение (6) разбивается на два в соответствии с разложением в прямую сумму ЕпЦЕ) = СИн ет Епт(е(Е), где Евдо(Е) — расслоение эндоморфизмов расслоения Е со следом нуль. При умножении Н на вещественную строго положительную функцию к центральной части формы Рн, которая является (1, 1)-формой, добавляется слагаемое дд9т, где 9т — функция класса С '; подходящим выбором этой функшти можно добиться того, чтобы центральная часть формы Рн была гармоничной. Таким образом, достаточно изучить траектории 1 «+ Нт, проходящие через точку На — — К и такие, что бес(НтК ') = 1. Для таких траекторий уравнение (6) имеет внд Н вЂ” = -тЛРн. , дН 6$ (7) Если положить Нт = Кттт, то с учетом (5) это уравнение эквива- лентно следующему: +т1 А= тцАР')+Ъ(п"Юа то и (6) дс Это нелинейное параболическое уравнение.
Ни существование, ни единственность решений уравнения (7) с заданными начальными уело. виями не очевидны, и важная часть работы состоит в доказательстве следующего результата: Предложение 2. Уравнение щеплопроводностлн (7) ннееш на [О, со[ сйанстеенное решение т «+ Нт, тнакое, чтпо бет НтК т = 1, Не — — К. Наш функционал убывает вдоль этих траекторий. Это уравнение че- твертого порядка, и так же, как это делал Дональдсон для стабильных расслоений, Симпсон заменяет его на уравнение теплопроводности Жазеф Ле Потев 196 Попожим ее = ЛЯ и обозначим через [е[е = — ьгасеех функцию на Х, задаваемую квадратом нормы ее относительно Не.
Легкое вычисление [29, Ьепипа (6.1)] показывает, что вдоль траектории уравнения (7) выполняется тождество с в + Л~ [е[~ = -~Рве[!. а1 Поэтому (д/д1 + Л')[е[е < О. Из принципа максимума следует [16, р. 101], что функция Ф ~-е Бпрх [ее! убывает вдоль траекторий. Существенное место работы Симпсона состоит в построении вспомогательного функпионвла М: Ме1(Е) и Ме1(Ф) -+ И на пространстве пар метрик, удовлетворяющего следующим условиям: д — М(Ны К) = — 2[[ее[[2,.
(9) Ес и (Е, У) стабильно, то суеиествуют полонсительные константы А и В, такие, что длл любого эрмитово зндоморфизма в (относительно метрики К) со следом нуль имеетсл оценка впр [в]к < А + ВМ(Ке', К) . х (10) Из (9) следует, что функция $ ~ М(Ны К) убывает вдоль траектории, а из (10) — что она ограничена снизу. Запишем какую-нибудь траекторию в виде Не = Ке", где ве — эрмитов эндоморфизм со следом нуль; тогда ве равномерно ограничены, согласно (10), а значит, и ее ограничены.
Как и у Дональдсона [7, Ьепппа 19], ве остаются ограниченными в пространстве Соболева Ьеь. Так как значения М(Не, К) ограничены снизу, то найдется последовательность $1 -+ со, такая, что 1пп;, [[еп [[ье = О. Можно предполагать, что последовательность вее слабо сходится к е, в Ье; тогда для Ь, = е', согласно формуле (5), Л~Ь = — Ь ев+(Л((РвЬ, )Ь ~РкЬее). Конструкция М(Н, К) . Конструкция функционала М(Н, К) аналогична соответствующей конструкции Дональдсона [7]; она связана с В силу эллиптической регулярности получаем, что Ье„принадлежит а действительности классу С и определяет эрмитову метрику Н, = Ке', такую, что ЛЕй = О.
Таким образом, Н вЂ” метрика Янга-Миллса. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 197 представителями Вотта и Черна [3] для классов Черна, ассоциированных с эрмитовыми метриками. Дональдсон строит характеристические классы Я(Н,К) Е Аг г(Х)/1шд+1гпд, нэзываемые вторичными н удовлетворяющие следующим условиям: (а) Я(Н, Н) = О и Я(Н, К) = Я(Н, 7) + Я(3; К) для любых эрмитовых метрик Н,,У, К; (Ъ) для любого пути Г ~+ Н1 класса С' в пространстве метрик выполняется тождество г1 I дН Я(Нг К) = 21 гг ~ Н г'и а ~ а1 (с) 1ддЯ(Н,К) = Фг(Енл) — Гг(Енз).
Дифференциальная форма Я(Н,К) получается интегрированием соотношения (Ь) по пути класса С', соедиюпощему Н и К; свойство (а) позволяет проверить, что результат не зависит от выбора пути по модулю 1ш д + Ьп д. Рассматриваемый функционал определяется так: М(Н,К) = Я(Н,К) А Заметим, что, так как Я (Н, К) определена по модулю Ьп д+ 1ш д, зта формула имеет смысл. Из свойства (Ь) следует, что вдоль траектории Н~, такой, что бес Н, 'К = 1 и Нл = К, выполняется равенство и à — М(Нс, К) = 2 / Гг(ДРй, ° Рн,) 1, = — 2]]ег]]~.
г(1 х (и — 1) ( Это дает формулу (9). Основная проблема — доказать оценку (10). В то время как метод Дональдсона [6, 7] состоит в ограничении на общее гиперплоское сечение достаточно большой степени, которое сохраняет стабильность (см. равд. 4), Симпсон вдохновляется работой Уленбек и Яу [36]: предполагая, что эта оценка неверна, он явно строит дестабилизирующий подпучок для (Е, д) [29, Бес. 5]. Это позволяет ему получить вариант теоремы 1 для некоторых некомпактных кэлеровых многообразий.' Единственность. Пусть (Е,р) — расслоение Хиггса, а Н и К— две метрики Янга-Миллса.
Из формулы (5) следует, что эндоморфнзм л = НК ' удовлетворяет соотношениям 198 Жозеф Ль Потьь Следовательно, Фт Ь вЂ” плюрнсубгармоннческвя функцня; принцип максимума показывает, что она постоянна, так что Р"Ь = О = Р Ь. Таким образом, Ь вЂ” голоморфный эндоморфнзм расслоения Е, коммутирующий с оператором д; эквивалентно, Ь'т э определяет нзоморфизм гармонических расслоений (Е, д, Н) и (Е, 9, К) .
Конечно, если расслоение Хнггса (Е, д) р-стабильно, то Ь вЂ” гомотетня с постоянным коэффициентом. Это рассуждение для стабильных расслоеннй на римановой поверхности фигурирует уже в [9]. 3. ПЛОСКИЕ РАССЛОЕНИЯ Любому гармоническому расслоению (Е, Р, (, )) отвечает плоское расслоенне (Е, Р) .
Обратно, пусть дано плоское расслоение (Е, Р) на многообразии Х; спрашивается, прн каком условии существует эрмнтова метрика Н = (, ) на Е, такая,что тройка (Е,Р,(, )) гармонична, другими словами, выполняется условие ннтегрнруемостн (2) (равд. 1)? Дифференциальная форма С = Ро называется псевдокриоэ виэноб эрмнтовой метрики. Если С = О, то метрика нззываетсл гармоняческой. В действительности это условие выполнено,как только йС = О, — условие, совершенно аналогичное уравнению кз предыдущего раздела, определяющему метрики Янга-Миллса, кзк показывает следующая лемма, принадлежащая Делнню: Лемма 2 (Делннь). Пустив Š— комплексное векторное расслоение на Х, снабэсенное плоскоб свлэностпью Р.
Эрмитпова метприка на Е еармонична, если псевдокривиэна С удовлетпворлетп уравнению й(С) = О. Докаэатпельстпво. Мы используем обозначення из сводки формул рззд. 2. Заметим, что формулы (2) не используют условия янтегрнруемости. По предположению имеем Рэ = (Р')з = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
