Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3.8. Итак, мы можем сформулировать следующие Фундаментальные результаты. Рассмотрим некоторое представление 1 группы У(Й), являющееся простым типом. Зафиксируем неразветвленное пвгполе У в А, содержащее Е, имеющее степень / над Е, и положим С = Епт(ь()т) . Теорема. Алгебра 71(,У(й), Л) канонически извмттфна алгебре сплешенит1 тпривиальнвгв предстнавления подгруппы Утввгври группы С". ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 181 Отметим, что представления этих алгебр хорошо известны [Во, КЦ н что этот изоморфнзм может быть описан условиями на носитель. Следствие. Пусть н — гладкое неприводимое представление группы С, ограничение которого на,7(П) содержит Л. Если [Ь: Е] = и, то к каспидально и индуиировано с некоторого продолжения представления Л на нормализагпор подгруппы д(П) в С (который компактен по модулю 2).
В прогпивном случае к не является каспидальным. Можно, наконец, описать представления группы С, содержащие простой тнп. Известно [ВЕ1, Сав], что если х есть гладкое неприводимое представление группы С, то существуют подгруппа Леви Ь в С, Ь = П,, СЬт(г'), и каспидаяьные представления гп групп СБт(г'), г = 1,..., в, такие, что л является подпредставлением представления, индуцированного с яг З ... Ег х,, соответствующей параболической подгруппы.
Множество (кг,..., л,) определяется по к и называется носителем этого представления гг. Оно называется просгпым, если все П, ОдИНаКОВЫ, а дпя Г > 1 ПрЕдСтаВЛЕНИЕ Л; ЗКВИВаЛЕНтпа КГ Э (У, ь Йес), где ЛЧ есть некоторый нервзветвленный характер группы Г". Теорема. Гладкое неприводимое предсгпавление группы С содержигп просгпой гпип гпогда и только гаогда, когда его носигпель являегпся простым. Следствие. Всякое каспидальное представление к группы С индуиировано с некогпорой подгруппы, компактной по модулю 2. Более точно, л содержит просгпой гпип Л вЂ” представление подгруппы д, а пара (Л, д) единсгпвенна с гпочносгпью до сопряжения; кроме гпого, х индуиировано с единственного продолжения предсгпавления Л на нормализагпор подгруппы о' в С.
4. ГРУППЫ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ СЬ 4.1. Поговорим сначала о группах, близких к СЬ„, и прежде всего— о ее внутренних анизотропных формах. Для тела П с центром Е Корвин [СоЗ] дал классификацию представлений группы 1г", поскольку она естественно вытекает из вычислительного подхода. С другой стоРоны, ясно (но нигде не написано), что методы [ВК] приложимы к случаю Й", который намного легче случая СЬ„(г'), н дают аналогичную классификацию.
Фактически некоторые идеи нз [ВК] были использованы Цинком для завершения его собственного подхода [Ул1], который пРивел к иной классификации допустимой двойственной для .0", основанной на лучшем знании классов сопряженности группы П~/Пй для 1 > 1 и, несомненно, более близкой к гипотетическому соответствию [1 а, Ие] с представлениями абсолютной группы Галуа поля Г. 182 Гм Энньяр Стоило бы исследовать также случай С7 „,(О), но это еще впереди. Случай РСй„немедленно сводится к случаю СЬ„: гладкие представления группы РС1„(Р) — это представления группы СЬ„(Р), которые тривиальны на центре. Можно изучить и случай ЯЬ„, ограничивая на ЯЬ„(Р) представления группы СЬ„(Р) .
Башнелл и Куцко анонсировали, в частности, доказательство того, что всякое каспидальное представление группы ЯЬ„(Р) индуцнровано с некоторой открытой компактной подгруппы; см. [КБ] в случае простого и. 4.2. Для групп, похожих на СЬз, и некоторых других групп малого ранга явная конструкция представлений давно является открытой проблемой. Среди последних работ о малых рангах, не претендующих на полноту, отметим классификацию Моя [МуЗ].
Рассмотрим теперь связную редуктивную группу С над Р. В этом случае структура компактных максимальных подгрупп в С(Р) объяснена в [ВТ], а в [РН] введены так называемые стандартные фильтрации на этих группах и на других компактных подгруппах из С(Р) — парахорнческих подгруппах (для С = СЬ„им отвечают стабилизаторы цепочек решеток). Аналогом суперкаспидальных представлений Карайоля являются Р-каспидальные представления группы С(Р), введенные Моррисом [Мо1]; см. также [Н1]. Тем не менее желание получить для классических групп обобщения результатов Хоува [Но1] для СЬ„в умеренном случае приводит [Мо2] к определению фильтраций, связанных с умеренными торами, которые являются не чем иным, как стандартными фильтрациями. Наконец, для самого общего случая умеренных торов уже недостаточно, и Моррис предложил для классической группы С (в случае нечетной характеристики поля вычетов) усовершенствованные понятия цепочки решеток, фильтраций наследственных колец и соответствующих компактных подгрупп: цепочка решеток должна быть в общем случае объединением двух цепочек, находящихся друг к другу в двойственности относительно формы, определяющей О, а фильтрации должны детально отразить это разложение.
Моррис определил также понятие фундаменшального страша и доказал, что каждое гладкое неприводимое представление группы С(Р) содержит фундаментальный страт. Исследование проводилось в духе работы [ВК]. Если иэоморфизмы злгебр Гекке из п. 3.7 окажутся общими, то зто будет представлять особенный интерес, поскольку, по крайней мере для группы С со связным центром, представления алгебры Гекке, связанной с тривиальным представлением подгруппы Ивахори, классифицированы Кажданом и Люстигом [КЕ] с помощью техники К-гомологий. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 183 4.3.
Подчеркнем в заключение, что даже для С = СЬо история не закончена, поскольку знаменитые гипотезы Ленглендса (Ьа, Не] позволяют высказать более точные утверждения о связи между представлениями степени и абсолютной группы Галуа поля г' и допустимой двойственной к СЬ„(г'), а также представлениями Галуа, отвечающими каспидальной двойственной. К настоящему времени полностью разобран лишь случай и ( (3, и мы вправе ожидать более явного соответствия при произвольном и. ЛИТЕРАТУРА [В21] Бернштейн И.
Н., Зеленинский А. В. Представления грутшы СД(и, Р), где Е' — локально неархнмедово поле. — УМН, 19Тб, т. 31, вып. 3, с. 5-70. [ВЕ2] Вегпзсе!и д., Бе!еч!пвЬу А., 1пдпсед гертезепгагюпв о1 гедпссгче р-айс бгопрв, Апп. Бсь Есо!е Ыогш. Бпр. 10 (1977),'441-472. [Во] Воте! А., АдшииЫе гергевепсасюпв о! а вепп'-в!шр1е бтопр очег а !оса1 йе!д чдСЬ тестом йхед падет 1гтаЬоп' впЬбгопр, 1пчепС. МаСЬ. 36 (1976), 233-259.
[ВТ] ВтпЬаС Р., Т!св 3., Сгопрев гбдпсС!св впг пп согрв !оса1 1, РпЫ. МаСЬ. 1.Н.Е.Б. 41 (1972), 5-251. [Вп1] ВпвЬпе!! С., Нетед!Сагу оп!егв, Савве зппп, апд впретспзр!да! гергевепсасюпв о! СЬ!ч, д. Вл!пе Апбен. МасЬ. 375/376 (1987), 184-210. [Вп2) ВпвЬпе1! С., 1пдпсед гергевепсас!опв о1 !оса)!у ргойпгсе бгопрв, ргерппс, 1990. [ВК] ВпвЬпай С., КпсзЬо РЬ., ТЬе адшив!Ые дпа! о1 СЬгч ч!а сопграсс ореп впЬбтопрз, ргерппг, 1990. 3 В 1-8 оод названием яТЬе адпивв! Ые дпа! о1 СЪ!ч ч!а гевгпсгюп Со согпрасС орел впЬбгопрвэ анонсированы в трудах конференции чНвхшошс апа1ув!в оп гедпсйче бгопрв", Вотчдо!и, 1989. [Са) Сагауо! Н., Нергбвепгайопв созрЫа1ев дп бгопре !!обете, Апп. Бс!. Есо!е Тчогш.
Бпр. 17 (1984), 191-225. [Сав] Свзве1шап ч!т., Ьнгодпсйоп со сЬе сЬеогу о1 адш!виЫе гергезепсайопв о1 р-айс гедпсйче бгопрв, ргерпщ. (Со1) Сопя!и Ь., Вергеаепгат!опв о1 дпдвюп а16ебгвз очег !оса1 йеЫз 1, Адч. !и МаСЬ. 13 (1974), 259 — 267; П, Расгйс 2. МаСЬ. 101 (1982), 49 — ТО. [Со2] Согадп 1., Бпрегспвр!да! гергевепсас!опв о1 СЬрр (Р), Р р-айс, ргерппс, [Соз] Согглп Ь., ТЬе пшгату дпа! !ог СЬе шп!с!р!!сайче бгопр о! вхЬ!!гагу д!ч!Иоп а!беЬгаз очег 1оса1 йе!дв, 3.
Атлет. МаСЬ. Бос. 2 (1989), 565— 598. [Со4] Согачп Ь., А сопввптссюп о! СЬе впрегспврЫа1 гергевепсас1опв о! СЬя(х), Р р-айс, пренринт, ноябрь 1989. [Ве] Ве!!6пе Р., Ье впррогС дп сагасгеге д'ппе гергевепсагюп впрегспврЫв!е, С. Н. Асад. Бс!. Рат!з 283, 1976, 155-157. Г» Энньяр [ЕУКЧ] [СОРЯ] [Ст] [Не] [Нт] [НоЦ [Но2] [НоЗ] [НМЦ [НМ2) [КЦ [КпЦ [Кп2] [КМЦ [КМ2] [КЗ) [Ьа] [МСЦ [МоЦ ЕЛейбпе Р., Казййап П» Ч!Заехав М.-Р., Вергбвепсас!опв йев а(ЗЬЬгев сепсга!ев еепп'-еппр1ез р-ай!цпев, ш: Кертбзепсас!опе йез Зтопрев гейпс- С!Ее епт пп сотрв !оса1, Неппапп, Рапе, 1984.
Гельфанд И. М., Граса М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория пред- ставлений и аатоморфиые функции. — Мн Наука, 1966. Сгееп Л. А., ТЬе сЬагасеегз оЕ йпКе Зепегас Ипеаг Зтопрв, Тгапз. Ашег. МаСЬ. Яос. 80, 1955, 402-447. Непп!агС С., 1ев соп)ее!атее йе Ьаа81апйв 1оса1ез роот СЬ(п), !п: Лопгпбев АпсЬшеСьЗпев йе Меся, Авсет!зтспе 94 (1982), 67 — 85. Н!]!Ьаса Н., Зонте впрегспвр!йа1 гергевепсайопв шйпсей Егош рехаЬопс впЬЗгопрв, ш: АпСопюгрЫс !огшз !п вечега1 чапаЫев, Рго8гевв !и МаСЬ. 48 (1984), 160-178.
Номе К., Яоше цпаИсайче гево1Св оп СЬе гергевепсасюп СЬеогу оЕ СЬ» очег а р-атйс йе1й, Растйс Л. МасЬ. ТЗ (1977), 497 — 538. Нотче В, Таспе!у гаппйей впрегспвр!йа1 тергевепсайопз оЕ СЬ», Расгйс Л. МаСЬ. ТЗ (1977), 365-381. Номе К. (нчсЬ СЬе сойаЬогайоп оЕ А. Моу) НахЫЬ-СЬапйга Ьопюшог- рЬвш Еог р-ай!с Згопре, СВМЗ Веб!опас Соп(егепсе Яепев ш МасЬ.
59, Ашег. МасЬ. Яос., 1985. Номе К., Моу А., М!попас К-Суров Еог СЬ(п), Авебгицпе 171-1Т2 (1989), 257-273. Номе К., Моу А., Нес1те а18еЬга !вошогрЬ!вго !ог СЬтч, Л. А18еЬга 131 (1990), 388-424. Ласт!пес Н., Ьап81апйе В.. Р., АпеопюгрЫс Еоппв оп СЬ(2), Ьесс. Ьсоеев ш МасЬ., чо!. 114, ЯрппЗег-Чег!а8, 1971.
КазЬйвп Пн Ьпззс!8 С., Ргоо( оЕ СЬе ПеИЗпе-Ьап8!анйе сотцесспге Еог Нес!се а18еЬгвз, 1пчепС. МасЬ. 87 (1987), 153-215. КнезЬо РЬ., Оп СЬе впрегспер!йа( гергевепСайопз оЕ СХ з 1, П, Ашег. Л. МасЬ. 100 (1978), 43 — 60, 705-716. КпсеЬо РЬ., Томагйв а с1авв!йсастоп оЕ сЬе впрехсоврЫа1 гергезепСасюпв оЕ СЬтч, Л. Ьопйоп МаСЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
