Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 41
Текст из файла (страница 41)
По оцределенню Ро = 1(Р— тР'), отказ С = -л(РР'+ Р'Р) . ИмеютсЯ тождества Бьянки: .Р(С) = Р'(С) = О. Рассмотрим разложение Р по типам (1, О) и (О, 1): Р = д' + д", где дт = д+ д, дт' = он+ д'. Из условяя, что связность плоская, вытекает, что д' = аю = д'до + У'У = О.
С другой стороны, если положить 9 — д* = 2Ц, то Р' = т (д" — дт + 4Ц) н, следовательно, С = 1Р(Д). Для нндуцнрованной метрики на дифференциальных формах имеем Ю'=т' (Р(Л) С) — „, =т' (ту Р'(С)) — „, . РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 199 Но тождество Бьянки и предположение Л(С) = 0 влекут за собой равенство Р'(С) = [Л, Р'](С') = О. Следовательно, ][С'[[ = О, как и утверждалось. Следующая теорема, принадлежащая Донельдсону [8] и Коряетту [4], обобщает результат Илза и Сэмпсона [10] о гармоническвх отображениях; связь этих результатов обнаруживается следующим замечанием: задать гармоническое расслоение ранга т на Х вЂ” это то же самое, что задать представление фундаментальной группы для Х в СР(т, С) и гармоническое отображение из универсальной накрывающей многообразия Х в 6Х(п, С)/У(п), эквивариантное относительно действия фундаментальной группы.
Плоское расслоение называется неприеодимым, если оно не содержит ненулевых плоских подрасслоений меньшего ранга; это означает, что соответствующее представление фундаментальной группы неприводимо. Прямая сумма неприводимых плоских расслоений называется полупростоб. Теорема 2. На плоском расслоении сушестеует гармоническая метрика тогда и только тогда, когда оно полупросто. Это утверждение доказывается методами, близкими к использовавшимся в доказательстве теоремы 1. Естественно, имеет также место единственность метрики с точностью до изоморфизма.
Комплексы де Рама и Дольбо. Для плоского расслоения (Е, Р) определим комплекс де Рама (А (Е) Р), 0 ь Ао(Е) ь Аь(Е) продолжая связность Р на дифференциальные формы; его когомологии, обозначаемые чеРез Нрел(Е), отожДествапотсл с когомологиями многообразия Х со значениями в пучке (для обычной топологии) плоских сечений расслоения Е. Точно так же, если (Е, 9) — расслоение Хиггса, то векторные пространства когомологий комплекса (А'(Е), Ро): 0-ь Ае(Е) — + А'(Е)— называемого комплексом Дольбо, будут обозначаться через Нрем(Е); комплекс (А'(Е), Ро) пучков дифференциапьных форм класса С" со значениями в Е есть вялая резольвента комплекса (П'(Е), 0) голоморфных дифференциальных форм со значениями в Е; следовательно, группы когомологий Дольбо Не,1(Е) отождествляются с группами гиперкогомологий Не(Х, (П'(Е), д)) .
Если Š— гармоническое расслоение, то можно одновременно рассматривать когомологии де Рама и Дольбо. Следующее утверждение обобщает хорошо известный факт из кзлеровой геометрии. 2ОО Жозеф Ля Паты Лемма 3. Пустпь Š— гармоническое расслоение. Тогда имеетпсл каноническиб изоморфизм Нрл(Е) Нры(Е) . ДОКаэаитЕЛЬСтПВО. РаССМОтРИМ ЛанпаенаНЫ Ь, Ь' И Ьо, ОтВЕЧаЮЩИЕ операторам Р, Р' и Ро соответственно, действующие на пространстве дифференциальных форм со значениями в Е. Как и в случае скалярных дифференциальных форм на кзлеровом многообразии, формулы (2) и условия интегрируемости, определяющие гармонические расслоения, дают тождества Ь = 2Ь' = 2Ь". Теперь лемма следует из того факта, что любой класс когомологийв Нртл(Е) (соотв.
Нрт„(Е)) представляется Ь-гармонической (соотв. Ьо-гармонической) формой. Пусть Е' и Ео — два гармонических расслоения. Тогда расслоение гомоморфизмов Нота(Е", Е') есть также гармоническое расслоение, и, согласно приведенной вьппе лемме, Нртл(Нотп(Е", Е')) Нрт,1(Нота(Е", Е')). Дяя д = О зто равенство означает, что плоские морфизмы отождествляются с морфизмами расслоений Хиггса. Если д = 1, то векторное пространство Нртп(Нопт(Е", Е')) классифицирует расширения плоских расслоений О -+ Е' -т Е ~А Ео -+ О У т с плоскими у и д; точно так же, пространство Нрт„(Нота(Е", Е')) классифицирует расширения О -т Е' -';т Г -т+ Е" -т О, где Р— расслоение Хиггса, а т и у — морфизмы Хиггса.
Более общим обрезом, для любого плоского расслоения Е имеется фильтрация О С Е1 С С Е1 = Е, такая, что дтт = Ет(Е1 1 для любого т есть неприводимое плоское расслоение. Каждому расслоению дт; по теореме 2 сопоставляется гармоническое расслоение; легкое обобщение предыдущих рассуждений показывает, что фильтрации, приведенной вьппе, можно сопоставить фильтрацию расслоений Хиггса. Окончательно приходим к следующему результату: Теорема 3.
Катпегория плоских расслоения эквивалентпна катпегории расслоений Хиггса, обладаютлих фильтпраииеб, тпакоб, чпто присоединенные фактпоры сутпь р-стпабильные расслоения Хиггса, классы Черна котпорых удовлетпворяютп следующим условиям: с1 . Ь" ' = О, В следующем разделе мы покажем, что в действительности так получаются все р-полустабильные расслоения Хиггса, удовлетворяющие таким условиям на классы Черна (см. следствие 1 теоремы 4).
РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 201 4. ОГРАНИЧЕНИЕ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ Речь идет о том, как распространить на расслоения Хиггса теоремы ограничения Мехты-Раманатхана [25, 26]. Напомним сначала, что на любом когерентном алгебраическом пучке без кручения Г на Х существует фильтрация ОСР1С СРь=Р, такая, что (1) Р/Р) — пучок без кручения; (й) дг< — — Р)/Р; 1 д полустабильны, причем наклоны рл строго убывают. Эта фильтрация единственна и называется фильтрацией Хардера-Нарасимхана пучка Р. В дальнейшим мы будем использовать обозначения д1 —— д (г'), иь = д м(г') . Из теоремы ограничения Мехты-Раманатхана (25) следует, что можно выбрать (сколь угодно большое) д и гладкую гиперповерхность У Е ~ОХ(д)), такую, что Р)н — пучок без кручения и фильтрация Хардера-Нарасимхана пучка Р)г совпадает с Р;.)г.
Двя пучка Хиггса (Р, о), такого, что Р— пучок без кручения, также можно определить фильтрацию О С Р1 С ° С гь = Р, удовлетворяющую условиям (1) и (й), приведенным выше, где считается, что Р) — подпучки Хиггса и полустабильность понимается в смысле пучков Хиггса. Эта фильтрация также единственна и будет называться фильтрацией Хардера — Нарасимхана пучка Хиггса (г', б) . Если (Р, б) — пучок Хиггса, а У вЂ” гладкое подмногообрезие в Х, определим индуцированный пучок Хиггса (Р(у, бт) на У, рассматривая композицию Следующее предложение обобщает классическую теорему МехтыРаманатхана на ручки Хиггса: Предложение 3.
Пусть (Р, б) есть д-полустабильныб пучок Хиггса на Х, а де — иелое число. Существуют д > до и гиперповеряность У е (бл(д)), такие, что (г (у, дг) р-полустабилен. Конечно, справедливо также аналогичное утверждение для д-стабильных пучков Хиггса. Доказательство основано на следующей лемме: Лемма 4. Пусть У Е (Ол(ф — общая гиперповергность, а О С С1 С ° . С Сь — фильтраиия Хардера-Нарасимхана пучка Хиггса С = Р(г.
Тогда С; иивариантеи относительно опершпора б~г. С -ь Й~л~, ®С, если д достаточно большое. 2О2 Жозеф Ле Потея Доказательство. Благодаря точной последовательности О ~ Оу(-Ы) -ь йх»рк -+ йг~ -+ О достаточно проверить, что Нош(С», С/С»( — »()) = О, если»1 достаточно велико. Пусть Р» — (обычнал) фильтрация Хардера-Нарасимхана пучка Р, и предположим, что д и У выбраны так, что Р» ~ г — (обычная) фильтрация Хардера-Нараснмхана пучка С = Р(у. Тогда»»тпх(С) = д»»тпх(Р) ~ »»т»п(С) = п»»хп»п(Р)» с другой стороны, элементарное вычисление с центрами тяжести показывает, что »пп»п (С»)»»ххах (С/С») ~> г(»»хп»п (С) — Йтьх (С)), где г обозначает ранг пучка Р. Но»»(Ог(1)) = д»)еб(Х) . Таким образом, если»( > г(»»„, (Р) — »и м(Р)), то Нщп(С», С/С»( — »()) = О, что доказывает лемму.
Теперь доказательство предложения 3 завершается так же, как в классическом случае у Мехты-Раманатхана (25, 11, 18]: если число Ы достаточно болыпое, а гиперповерхность У достаточно общая, то фильтрация Хардера-Нарасимхана пучка Хиггса С = Р(г продолжается до фильтрации пучка Р когерентными подмодулями (Р»)»-»...ь, такими, что Р/Р» — пучок без кручения: остается проверить, что .Р» — подпучки Хиггса, если»» достаточно велико. Точная последовательность О + й»х(»() + йхУ Ф йхУ~ + О и лемма 4 показывают, что достаточно проверить равенство Нопз(Р», йх»(-о) З Р/Р;) = О. Это будет так, если о >»» ~(Р/Р») — р»„(Р») + р пх(й»х). Как и выше, »»м (Р/Р») — »»пп»п(Р») ~ (г(»»пах(Р)»»п»п(Р)), так что условие будет выполнено, если взять и > г(»» (Р) р' м(Р)) +»»та (йх) ° Ймеем»»(С») = Н,и(Р»); таким образом, расслоение Хиггса Р может быть»»-полустабнльным, только если й = 1; следовательно, Р(у »д-полустабильно.
Для двух пучков Хиггса Р и С векторное пространство морфиэмов Хиггса из Р в С будет обозначаться через Нот»пдд,(Р, С). Похожими рассуждениями доказывается следующее утверждение: Лемма 5. Нуспзь У Е»Ох(д)( — гладкая зиперпоеерзносп»ь, Р и С вЂ” два лучка Хиггсз без кручение на Х. Если целое число д достпаточно велико, то морфиэм ограничения Ношн»дд (Р, С) -+ Ношдпдд,(Р(», С(г) иньекдпивен; если, кроме»ного, С рефлексивен, то эдло иэоморфиэм.
Если Р и С пробегают ограниченные семейства, можно выбрать достаточно большое д, не зависящее от Р и С. Инъектнвность на самом деле имеет место уже для морфизмов пучков О-модулей. Чтобы РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 203 проверить сюръективность, поднимем морфизм Хиггса и ! Р(г -+ С(г до какого-нибудь морфизма ьч Р -т С (здесь используется тот факт, что Ехь~(Р, С( — д)) = О для достаточно большого д (лемма Севери)) и проверим, что поднятый морфизм о есть в действительности морфиэм Хиггса, тем же методом, что и выше. Мы собираемся использовать этот результат, чтобы показать, что при эквивалентности категорий из теоремы 3 получыотся все р-полустабильные расслоения с нулевыми классами Черна. Более точно: Теорема 4. Пустпь (Р,д) естпь р-полустабильный пучок Хиггса, классы Черна с; которого удовлетпворяют следуюитим условиям: ст Ья-2 с! .
Ь" ' = О, Тогда (1) втпорой двойственный пучок Р" локально свободен и обладает фильптраиией подрасслоеииями Хиггса, такой, чтпо присоединенные градуированные фактпоры яв ьяютпся прямыми суммами р-стайильиыя расслоений Хиггса с нулевыми классами Черна; (2) канонический морфизм Р -+ Р"' .являетпся изоморфизмом вне замкнутого подмножества коразмерностпи > 3. Доказательство. 1. Если Х вЂ” кривая, то утверждение тривиально. 2. Если Х вЂ” поверхность, рассмотрим сначала случай р-стабильного пучка Хиггса Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
