Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Следуя [На1], определим расстояние И > на каждом неустойчивом многообразии следующим образом. Пусть р и д — две точки на одном и том же неустойчивом многообразии. Положим д<„>(р, д) = е где г — действительное число, такое, что д(фь(р), фь(о)) = е. На универсальной накрывающей каждое неустойчивое многообра зие (дополненное точкой) отождествляется с бесконечно удаленной сферой. Полученные вьппе расстояния на бесконечно удаленной сфере попарно локально эквивалентны. Сравним расстояние на пространстве О„траекторий длины и с д„.
Пространство О„можно рассматривать как Т1У, снабженное метрикой д„. Шар радиуса г с центром в р для метрики д„— это произведение шаров радиуса е в направлениях потока и устойчивого слоя точки р на шар радиуса е " для й в направлении неустойчивого слоя. Как следствие пьопологическаа энтропия геодеэического потока — это харсдорфоеа размерность длв а В случае симметрических пространств ранга 1 метрика дьь задается явно.
Группа изометрнй действует транзитивно на каждан сфере и, следовательно, на каждой орисфере. Орисфера может рассматриваться как орбита некоторой нильпотентной подгруппы Ли нзометрий, т.е. В. 1 в действительном случае н группы Гейзенберга в комплексном случае. Расстояние Ы вЂ” это евклндово расстояние в первом случае. Ьо втором случае зто инвариантная метрика ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 243 Карно, т.е.
кривые конечнои длины касаются неинтегрируемого поля плоскостей (этот случай соответствует пространству тчистойт кривизны — 1). 9.2. Вероятностная энтропия. Можно ожидать, что Ь-мерная хаусдорфова мера для д будет играть важную роль. Это действительно так: эта мера была фактически придумана Г. А. Маргулисом, который охарактеризовал ее следующим образом. Теорема (Маргулис [Мат]). Сущестпоуетп единстпаеннал мера, ковыряя локально разлагается а произаедение ай'д ", где рт — семейство мер на устойчивых многообразиях и действие потока умнонсаетп их точно на сьт. Ссмейстпоо дтЩ' — тпрансверсальная мера, инеариантпнал относитлельно неустпойчиаого слоения.
Эта мера была переоткрыта Р. Боуэном (у него она обозначена через,ивы). Теорема (Боуэн [В]). Мера рлм — предел средних мер Дирака вдоль замннутпых геодезических длины, меньшей 1, при Ф, старемящемсл к бесконечностпи, Другими словами, замкнутые геодезические равномерно распределены в ТтУ, но относительно меры, которая не совпадает, вообще говоря, с мерой Лиувнлля. Наконец, зта мера рвы появляется и как решение вариационной задачи. Если дано преобразование ф, то инвариантнгл мера д позволяет по-другому учитывать различные орбиты, откуда появляется другое число, ееролптносптнал зншропия ф по отпношению к мере р, обозначаемая Ьо(Ф).
Е. И. Динабург [О] показал, что в общем случае Ь(ф) — верхняя грань энтропий инвариантньпс мер. Он установил,что имеется аналогия с тем, как обстоит дело в термодинамике: если дано преобразование ф и мы воспринимаем инвариантную меру как описание термодннамического состояния системы, то равновесное состояние — это состояние, которому отвечает наибольшая энтропия.
В случае геодезических потоков с отрицательной кривизной зта верхняя грань достигается для единственной инвариантной меры, которая называется меРой максимальной знптропии и является не чем иным, как ттлм . Сравнение энтропий геодезического потока между собой и с традиционными инвариантами римановой геоме-рии позволяет высказать целую серию гипотез, из которых мы представим трн. Пьер Папою 9.3. Случай равенства энтропий. В силу единственности меры максимальной энтропии из равенства И = геыоое1ие следует, что мера максимальной энтропии и мера Лиувилля совпадают и что условные меры вдоль устойчивых слоений абсолютно непрерывны друг относительно друга.
Это целый пучок соотношений. Могут ли они быть выполнены для несимметричной'> метрики? Ответ известен только в размерности два, где он принадлежит А. Катку. В этом случае каждая метрика д конформно эквивалентна метрике до постоянной кривизны, д = угдо, с той же самой площадью поверхности.
Можно измерять расстояние между д и до числом Р=~У<1. Теорема (Каток [Каг]). Имеют месньо следующие неравенства: )И |оееае(9) ~ ~Рй(9о) ~ Р Гь(до) ~ ~гг(д) ° См. также [СР]. 9.4. Энтропия н объем. М. Громов [Ог1] предложил следующую проблему: пусть ео — компактный фактор действительного гиперболического пространства. Верно ли, что метрика постоянной кривизны с данным объемом минимизирует топологическую энтропию? Ответ положителен в размерности два.
Это следует из прнведенной вьпце теоремы А. Катка. В размерности, большей трех, имеется следующий частичный результат. Теорема (Громов [Сг1]). Пусгпь Ъ~ — компактное многообразие криеизны — 1 с энтропией Ьо = и — 1. Если е' — риманоео многообразие, гомеомарфнае 'ео, с тем эсе объемом, гяа энтропия многообраэи,я У удоелетаорлет неравгнстеу Ь ) с(и) Ао, гдг с(н) — константа, эаеисяиьал только от размерности п.
Доказательство основано на понятии симплиииального объема, топологическом инварианте многообразий, который при постоянной кривизне -1 пропорционален объему. Множитель с(п) в неравенстве связан с соотношением между объемом шара и объемом симплекса. Недавно Г. Вессон, Ж. Куртуа и С. Галло [ВСгз] попытались освободиться от этого множителя, введя свой вариант симплициального объема. Это число само ограничено энтропией, остается вычислить его для многообразий постоянной кривизны.
Этот последний этап выполнен сейчас только в размерности два. П >Пояравумеваетсеьметрика не иа симметрическом пространстве. — Прим. перев. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК'НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 245 Заметим, что благодаря формулам из [ККК) для первой и второй производных от энтропии вариационный подход к этой проблеме вполне возможен. 9.5. Энтропия и кривизна. Если принять интерпретацию энтропии как хаусдорфовой рззмерности бесконечно удаленной сферы для универсальной накрывающей и если вспомнить, что нормзлизационное условие К < -1 необходимо для того, чтобы расстояние У.
Хамменштадт удовлетворяло неравенству треугольника, вопрос о том, какая метрика дает наименьшую хаусдорфову размерность, решается весьма естественно следующим образом. Теорема (Хамменштадт [На2]). Пустпь Ув — локально симметрическое компактпное простпранстпво непостпоянной кривизны, заключенной между -4 и — 1, имеютцее энтропию Ао. Пусть У вЂ” компактпкое римаково многообразие с секционной кривизной К < -1 и энтпропией и, имеющее тпотп же гомотпопический тпип, чтпо и Уо. Тогда Ь > Ао, и если имеет место равенстпво, тпо всякая гомотопическая эквивалентность между У и Уь гомотпопна изомептрии.
Замечание. Неравенство А > Ао впервые появилось в [Рап]. Доказатпеяьство. Эта теорема обобщает теорему жесткости Г. Д. Мостова для случая ранга 1 [Мов], которая покрывает случай, когда уже известно, что У вЂ” симметрическое пространство, и доказательство на этом первом этапе идет по пути, проделанному Мостовым. Используется гомеоморфизм у между бесконечно удаленными сферами, уже появлявшийся в равд. 6.
Равенство энтропий влечет за собой абсолютную непрерывность гомеоморфизма 1 на почти каждой кривой в У(со). Предположение К < -1 обеспечивает, что д мажорирует риманово расстояние и, следовательно, д >-спрямляемые кривые почти всюду имеют производную, которая порождает вдоль геодезических параллельное поле Якоби направлений, удовлетворяющее условию У'+ д = О. Мы теперь имеем условие, которое напоминает определение ранга в случае неположительной кривизны, и вторая часть доказательства состоит из реконструирования, шаг за шагом, симплектической геометрии для ранга один: метрики Карно, нильпотентных подгрупп изометрий.
10. ИЗОСПЕКТРАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА Зададимся следующим вопросом (ср. конец равд. В): будут ли изометричны два римановых многообразия, которые имеют сопряженные геодезические потоки? В этой общности ответ отрицателен: су- Пьер Пансе шествуют деформации сферы, все геодезические которых заа«кнуты и имеют длину 2«т, см. [Вев], но вопрос остается открытым в размерностях более трех в контексте отрицательной кривизны. Эта проблема связана с другой — излюбленной проблемой римановой геометрии — проблемой иэоспектральных многообразий: изометричны ли два многообразия, имеющих один и тот же спектр лапласи- анаУ Связь проходит через снгатнр длин, т.е. множество длин замкнутых геодезических.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
