Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Через ]д] здесь обозначена длина элемента д относительно некоторой системы образующих в Г. Вопрос 2. Индуцирует ли вложение А„-+ С'(Г) иэоморфиэм К-теорий для всякой группы Г? Так как коциклы с полнномизльным пересечением всегда можно продолжить на алгебру А„, из положительного ответа на вопрос 2 вытекала бы гипотеза Новикова для всех коциклов группы с полиномиальными пересечениями. Можно действовать следующим, более общим, образом (ср. [10]): по данному нормализованному групповому коциклу с построим подалгебру А (возможно, зависящую от с) алгебры С'(Г), К-теория которой совпадает с К-теорией для С'(Г) и на которую продолжается коцикл ф, . Например, инварианту Годбийона-Вся соответствует 2-коцикл (коцикл Вотта-Терстона) длл каждой группы Г, действую~ щей на окружности днффеоморфизмамн, сохраняющими ориентацию (ср.
[18]). Копн [10] доказал, что этот коцикл определяет гомоморфизм К-теории алгебры С'(Г) в С, а значит, и гомотопический инвариант. Таким же образом исследуются все ввторичные классьп когомологий групп. 3. еПОЧТИ ПЛОСКИЕ РАССЛОЕНИЯ» Строго говоря, речь идет не о почти плоских расслоениях, а о почти плоских элементах К-теории: Определение 3.1 [12]. Пусть а > 0 — вещественное число, У вЂ” риманрво компактное многообразие и Š— риманово расслоение над У.
Пусть ~ — унитарная связность на Е и д = ~?э — ее кривизна. Связность ~7 называется а-плоской, если ]]д]] < а. Если на Е существует унитарная а-плоская связность ~7, мы говорим, что расслоение Е подход к гипотбзй новикова 2б1 является а-плоским. Элемент К-теории х й Кв(У) называется почти плоским, если для всякого а > О существуют а-плоские векторные расслоения Еь, такие, что х равен разности классов расслоений Е+ и Е в Кь(У), Кривизна й — это 2-форма со значениями в эндоморфиэмах Расслоения Е. Так как размерность расслоения Е растет при а стремящемся к нулю, необходимо уточнить, какую норму кривизны й мы рассматривае. Для пары Х, У касательных векторов в одной точке х многообразия У кривизна определяет зндоморфизм йл,у гильбертова пространства Е,; обозначим через ййл,уй норму этого зндоморфизма. Положим ))д)! = зир Яйх у)~: ()Х(! < 1, )~У)! < 1) .
Аналогичное определение можно ввести и для К'. элемент группы К»(У) называется почти плоским, если для любого а > О его можно представить сечением и расслоения унитарных автоморфизмов Унитарного расслоения Е с заданной о-плоской унитарной связностью и, для которой б уий < о. ясно,что произведение двух почти плоских элементов К-теории является почти плоским: для почти плоских х; ч К"(У,) (ь = 1 2) тензорное произведение х18хэ й К'(У» х Уз) является почти плоским. Пример 3.2. Легко описать почти плоские элементы группы К: 1. Снабдим тривиальное расслоеняе размерности Ж над окружностью Т = В./Е унитарной связностью, параллельный перенос ерл) вдоль которой на ориентированном отрезке (в, Ф) С К задается в базисе (Ьа,..., Ьн») формулой ир О(Ь») = езй»~м~ "О ИЬ».
Обозначим для всех С й К/Е через и» унитарный оператор в С, действующий на базисе (Ьа,..., Ьм») по формулам исЬ» — — Ь»», если й Ф О~ и~Ьь = езеыЬм». Тогда сечение й -+ и» представляет образующую группы К'(Т); для всех Ь имеем и(вл)иаир е) = е з'"'~ми» т.е сече ние $ -+ и» почти ийвариантно относительно связности. Отсюда следует, что элемент Бетта на Тз является почти плоским элементом К-теории. Почти плоские элементы К-теории происходят иэ фундаментальной группы.
Действительно, нетрудно доказать Предложение 3.3. Пусть У вЂ” риманово адносвлэное многообразие. Тогда все по апи плоские классы К-теории многообразия У тривиальны. Точнее говерл, суиьествувт такое о > О, что все а-плоские Расслоения над У тривиальны. Теорема 3.4 [121. Пусть У вЂ” компактное ориентированное многообразие и х й К'(У) — почти плоск.й элемент К-тпеории. Тогда длл каждой гомотапическвй эквивалентности /: ЬУ -+ У имеем 262 Жорж Снанлалнс (ог,х) = (онт,~'(х)), где через о««(соотпе.
онт) обозначен класс оператпора сагиатпурм иа У (соотпе. на И') е группе К-гомологиб К,(У) (состое. К,(Ит)). Эту теорему можно доказать непосредственно: для сохраняющей ориентацию гомотопнческой эквивалентности ~: И' -« У и достаточно плоского расслоения Е над У можно непосредственно сравнить сигнатуры многообразий У и И' с коэффициентами в расслоениях Е н у'Е и показать, что их индексы совпадают (ср.(23]).
Приведенное в [12) исходное доказательство этой теоремы не столь непосредственно, однако в нем развиваются интересные идеи: ° почти плоскому расслоению сопоставляется «почти представление« фундаментальной группы Г; ° определяется образ симметрической сигнатуры Мащенко при почти представлении; это самосопряженнел обратимая матрица; а доказывается теорема об индексе, которая устанавливает равенство сигнатуры с коэффициентами в почти плоском расслоении в прообразе н сигнатуры этого самосопряженного оператора.
Поясним вкратце каждый нз этих моментов. Почти представление, ассоциированное с почти плоским расслоением. Пусть У вЂ” риманово многообразие. Выберем базовую точку х в многообразии У и для каждого элемента фундаментальной группы Г многообразия У зафиксируем представляющую его петлю. Рассмотрим унитарное расслоение Е над У, снабженное унитарной связностью ту.
Параллельный перенос вдоль выбранных представителей определяет отображение и группы Г в группу унитарных преобразований слал Е,. Если связность У плоскал, то отображение и- является представлением. Если связность «т ст-плоская и ст доста точно мало, отображение и является почти представлением: для заданного е > О и конечного подмножества Е группы Г существует такое и > О, что для отображения и, ассоциированного с некоторой аплоской связностью имеем )(и(ху)-и(х) и(у))( < е для всех х, у б г'. В этом случае отображение и называется (Г, е)-представлением.
По причинам, приведенным выше, рассматрйваются почти представления, для которых и(д ') = и(д)* для всех д б Г. Для этого отображение и заменяется на отображение д «-т -'(и(д) + и(д т)'). При этом и перестает быть унитарным, но остается почти представлением (и поэтому почти унитарным). Замечание. Наоборот, легко построить конечное подмножество Р группы Г, обладающее следующим свойством: для всякого ст > О существует е > О, такое, что всякому (г', е)-представленню можно сопоставить ст-плоское расслоение. Таким образом, мы получаем другой подход к гипотйзй новикова 263 способ доказательства того, что элемент Бетта на Тз является почти плоским. Пусть, наконец, и является (г', г)-представлением, ассоциированным с некоторым а-плоским расслоением Е.
Тогда ассоциированное с этим представлением расслоение изоморфно Е. (Этот факт обобщает предложение 3.3.) Образ ннварианта Мищенко прн «почти представленинь. Инвариант Мищенко является элементом группы Уолла ЦС[Г]) и предстаааяется поэтому самосопряженным обратимым элементом х б М„(С[Г]) . Пусть и — отображение группы Г в Мк(С), для которого и(д ') = и(д)' для всех элементов д е Г.
По отображению и можно построить линейное отображение, также обозначаемое через и, алгебРы С[Г] в Мм(С), положив и( , 'говд) = 2 егави(д). Заметим, что отображение и самосопряженное, т.е. и(х') = и(х)' для всех х б С[Г]. Наконец, и можно продолжить на матрицы; при этом получается линейное отображение, вновь обозначаемое через и, из М„(С[Г]) в М„у(С). Нетрудно доказать следующий результат: Лемма 3.5.
(а) Пусть х — самосопряженный обратимый элемент в М„(С[Г]) . Тогда существуют конечное подмножество г' группы Г и вещественное число е > О, такие, что образ и(х) при любом (Г,г)-представлении и обратим в М„и(С). (Ъ) Пусть х и у — два самосопряженных обратимых элемента в М„(С[Г]). Если х и у определяют один и тот же элемент в ЦС[Г]), то существуют конечное подмножество Е группы Г и вещестпвенное число г > О, для которых и(х) и и(у) имеют одинаковую сигиатуру при любом (Г, г)-представлении и. Утверждение (а) вытекает из того, что элемент и(х ') и(х) близок к 1.
Утверждение,(Ъ) без труда выводится из определения группы ЦС[Г]) . (Для этого нужна только сигнатура самосопряженного обратимого элемента и(х) б М„к(С), т.е. разность числа его положительных и числа его отрицательных собственных значений.) Теперь теорема 3.4 выводится из следующей теоремы. Теорема 3.6 [12]. Пусть У вЂ” ориентированное компактное рима- ново многообразие с фундамента вней группой Г.
Обозначим через ои класс оператора сигнатуры многообразил У в группе К-гомологий Ке(У) . Пусть х е С[Г] — представитель инварианта Мищенко. Тогда существует и > О, о«акое, что для любого а-плоского расслоения Е имеем (оо, [Е]) = сигнатура(и(х)), где через и обозначено почти представление, ассоциированное с Е. Символ [Е] обозначает здесь класс расслоения Е в Ке(У) .
264 Жорж Скаидаеис Эта теорема является частным случаем более общей теоремы об индексе, в которой оператор сигнатуры заменяется произвольным эллиптическим оператором О. При этом рассматривается индекс оператора О в группе Ко(зс[Г]), а не в группе Т(С[Г]). Образ элемента х Е Ко(ус[Г]) при почти представлении можно определить тогда, как в лемме 3.5. Доказательство этой теоремы аналогично приведенному вьппе доказательству теоремы 2.4.
В нем используются целые циклические когомологии, представляющие собой естественное обобщение циклических когомологнй. Важность теоремы 3.4. Согласно [12], для получения нового доказательства гипотезы Новикова в случаях (а) когда группа Г является дискретной подгруппой связной группы Ли или фундаментальной группой полного многообразия отрицательной нли нулевой двумерной кривизны [30], (Ъ) когда группа Г является дискретной подгруппой алгебраической группы над локальным полем [32] достаточно построить почти плоские расслоения.
Кроме того, эта теорема дает новое доказательство гипотезы Новикова для гиперболических групп. Замечание. Конструкция всех почти плоских расслоений,используемых в доказательстве следствий из теоремы 3.4, основывается на построении собственного липшицева отображения нз Г в В". Каждому такому отображению можно поставить в соответствие элемент К-гомологнй алгебры'> С'(Г), с которым ассоциирован некоторый гомотопический инвариант. Преимушество такого подхода, помимо его простоты, состоит в том, что он доказывает сильную гипотезу Новикова. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
