Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Часть этого расширения можно осуществить следующим образом: положим г* = г + 2та )оя(г — 2т), а затем определим оптические координаты и = т — г' и о = с+ г'. Теперь можно определить две области, в которых выражение ез в переменных (и, г, д, ю), с одной стороны, и в переменных (о, г, д, у), с другой стороны, определено для любого значения г.
В этих двух областях подмногообразие г = 2тп играет особую роль: оно позволяет светоподобным или времениподобным кривым проникать нз области г > 2тп в область г < 2т, если они направлены в первом случае в прошлое, а во втором случае в будущее. Это точное описание феномена черной дыры и симметричной ей во времени белой дыры. Поверхность, разделяющая эти две различные области (она действует как полупроннцаемав мембрана), называется горизоитаом собтятий. 2.5.
'Последнее свойство метрик Шварцшильда, заслуживающее упоминания здесь, — поведение их на (пространственной) бесконечности. Фактически е является асимптотически плоской для любого Я тв ~ ~О. Это значит, что риманова метрика д„„индуцироваиная на пространственноподобных гиперповерхностях Мт — — (т) х В.г, удовлетворяет при г -ь оо следующему условию: на Мт существует такая евклидова метрика е, что дю — е = 0(г ') .
Разность Ов †.0е ковариантных дифференцирований Леви-Чивиты метрик д,„и е ведет УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 277 себя как 0(т 2); наконец, кривизна метрики д,„удовлетворяет условию )Вв (, = 0(т е). Исследуя поведение на бесконечности, можно также интерпретировать константу тп, появапопсуюся в определении ев,. Поведение радиальной геодезической в вв (т(в)) этой метрики при достаточно больших т описывается дифференциальным уравнением сРт т — = — — +0(т ). двз тз Аналогичное уравнение описывает поведение пробной частицы в ньюшоновом гравитационном поле, созданном телом массы пь.
Таким образом, константа пс отождествляется с массой звезды, гравитационное поле которой мы модеяируемЦ. Мы вернемся к тому обстоятельству, что константа пс должна быть выбрана подоэситпедьноб, в равд. 4. 3. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА КАК ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ 3.1. Для того чтобы исследовать нелинейную гиперболическую систему уравнений Эйшптейна в пространстве-времени (Е, 7), предполагаемом глобально гиперболическим, естественно рассматривать задачу Коши для нюсарактеристических начальных данных,т.е. заданных на пространствеиноподобной гиперповерхности.
Эту точку зрения предложил Андрэ Лихнерович (см. [ЗО]), но ее систематизация часто приписывается Роберту Арновитту, Стэнли Дезеру и Чарльзу В. Мизнеру. Рассмотрим на (Е, 7) времениподобную функцию $. Обозначим ее градиент относительно 7 через Р. Введем обозначение сс. Мс ~ Е для слоения на Е со слоями-подмногообразиями точек времени с. Будем называть его временньсм сдоением. Кроме того, обозначим через дс = с,'( у) первую фундаментальную форму многообразия Мс, а через йс — — --ссс'(,С.,Р) его вторую фундаментальную форму.
Ковариантное дифференцирование Леви-Чивиты метрики дс будет обозначаться через Рс, тензор кривизны Римана-Кристоффеля — через тес, кривизна Риччи — через Все и скалярная кривизна — через Всасс. Когда речь будет идтпи о времени с = О, мм будем опускатаь индекс О. Временное слоение (Мс) позволяет построить диффеоморфиэм мно: гообраэия Е на ККМ, такой, что у = — фас сссз+дс. Принято называть функцию фс, определенную на Мс формулой фс — — ( — 7(г',г")) с>Тот фант, что тв выражена в единицах длины, объленлетсл нашим выбором еднннц намеренна. 278 Жен-Пьер Бургнньен функцией промеясдгака, ассоциированной с функцией Ф (1арее шпс= Моп).
Легко видеть, что яе = --'ф, ' дд/д1. 3.2. Важная особенность излагаемого подхода — перевод геометрии пространства (Е,7) на язык геометрии кривой $ ье (де, /се,фе) в произведении касательного расслоения над пространством римановых метрик на М на тривиальное расслоение. Часть этого перевода — выражение общих структурных уравнений гиперповерхности, которые дают составляющие кривизны многообразия (Е, 7) при разложении ТЕ = В..Р ее ТМ.
С помощью уравнений Гаусса находятся составляющие кривизны юг, не содержащие Р, а с помощью уравнений Кодашш — те, которые содержат Р по одному разу. Эти два семейства уравнений помимо тензора кривизны многообразия (Е, 7) включают лишь величины, заданные на М в терминах д и й. Из последнего семейства уравнений находятся компоненты кривизны Я", содержащие Р дважды. В уравнения этого семейства входит 1-струя отображения см йе. З.З.
Поскольку из уравнений Эйнштейна нам известен лишь след тензора Я'г, нужно взять след всех упомянутых вьппе общих уравнений, кроме последнего, так как в него входит только В1с~. Получающиеся при этом уравнения можно разделить на две группы. Первую иэ этих групп составвпот так называемые эволюцвонные уравнения. Они имеют вид < — = -2ф/се, дд дс ай — = -Ог1ф+ ф(В(с'+(?ув йе) й — 2йетнйе) .
(3.4) Уравнения второй группы, уравнения ограниченел, имеют вид с йг ~~ (Тги е ) Яса)~ -(йе!2 + (Тгу, ЙФ) = О, где бе обозначает коднфференциал поля билинейных симметрических форм, т.е. след ковариантного дифференцирования метрики д. Эта терминология требует объяснения: „— эволюционные уравнения определяют эволюцию кривой $ ь+ (де, йе), так как задают ее вектор скорости в каждый момент времени 8; — уравнения ограничения получили это наименование, потому что если они выполняются на М = Ме, то будут выполняться и на поверхности Ме для любого 7.
нз области определения кривой $ ~-ь (де, Йе) . УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 279 3.5. Артур М. Фишер и Джеррольд Е. Марсден показали, что этот подход мояаю рассматривать до некоторой степени как нахождение геодезических в пространстве рнмановых метрик на М при соответствующих ограничениях; см. [19). Из-за этого такая точка зрения иногда называется гамельяьоновььи формализмом.
Они получили таким способом новое доказательство локальной теоремы существования; см. [20]. Этот подход Кристодулу и Клайнерман использовали в [15]. 3.6. Следует заметить, что в эволюционных уравнениях 13 неизвестных (6 для дь, 6 для йь н 1 для ф), тогда как уравнений у нас только 12. У нас осталась свобода в выборе времениподобной функции $. Задание временного сяоения (Мь) определяет функцию 2 с точностью до замены переменных.
А рпоп кажется, что наиболее естественно выбрать ф = 1. Такой выбор (обычный в рнмановой геометрии) означает, что нормальное зкспоненциальное отображение многообразия М рассматривается как координата в его трубчатой окрестности. Здесь нужно быть осторожным, потому что из уравнений (3.4) вытекает, что если ф: — 1, то ( Уа 2) [й [2 ~ (Т й)2 что приводит к взрыву за конечное время, так как по лемме Гронуоляа Тг, йь положительно по крайней мере в одной точке многообразия М.
Из-за этого особую роль играют такие подмногообразия, вторая фундаментальная форма й которых имеет нулевой след. (В лоренцевой геометрии говорят о максинальнмя подмногообразнлх в противоположность минимальным многообразиям римановой геометрии.) Заметим, что из второго уравнения ограничения следует, что максимальное подмногообразие вакуумного пространства-времени обязательно имеет положительную скалярную кривнэи. Кристодулу и Клайнерман работают с максимальными подмногообраэиями, т.е.
им нужно выбрать специальную времениподобную функцию. Возможность расслоить пространство-время на максимальные пространственноподобные гнперповерхности, установленная в [2), позволяет устранить неопределенность, остававшуюся в формулировке уравнений Эйнштейна для вакуума. В их ситуации, т.е. в возмущенном пространстве Минковского, удобно поставить такое условие на бесконечности, что задача, решением которой является функция ф,станет эллиптической. Обычно требуют, чтобы ф ~ 1 на бесконечности на гиперповерхности М, которую предполагают диффеоморфной внешности открытого шара в Вз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
