Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Этим фактом можно воспользоваться так: если Х вЂ” поле векторов Киллинга метрики у (т.е. удовлетворяет условию Сх у = О или, что эквивалентно, симметричная часть его ковариантной производной нулевая), то дифференциальная 1-форма тлТ имеет нулевую дивергенцию, т.е. если Мт означает образ гиперповерхности Коши М, то ] *т,((хТ) ] Т(Х, Р) им не зависит от $. Этот закон сохранения позволяет оценить функцию по начальным условиям. Именно этим способом, взяв за Х конформное поле Киллинга |т, Катлин Моравец (см. [35]) установила, что электромагнитные волны — решения уравнений Максвелла в пространстве Минковского — принадлежат классу Вэ.
Этот подход систематически применяется в [14] к линейным уравнениям. Здесь предполагается обобщить его на нелинейный случай. 6.3. Поскольку мы занимаемся вакуумными пространствами-временами, т.е. Т ив л О, зти рассуждения нельзя применить буквально. Одна из важных идей Клайнермана и Кристодулу — эаменитль Т на твензор Белл-Робинсона Яьг замкнутпого полл Веблл Ит. Они используют обращение в нуль его кодифференциала для того, чтобы получить оценки изучаемого поля. Чтобы получить дифференциальную 1-форму, двойственная которой относительно действия оператора Ходжа интегрируема по гиперповерхности, нужно свернуть это поле с УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 289 тремя векторными полями.
Тот факт, что след тензора (~ит равен нулю, позволяет использовать инфинитезимальные конформные преобразования Х, также называемые конфврмными полями Киллингщ Это такие поля Х, что С»Т кратна Т или, что то же самое, часть тензора РтХ с нулевым следом равна нулю. Следовательно, дли всякого замкнутого поля Вейля Ит и для всяких конформных полей Кнллинга Х,, Хг и Хз значение Д, *в,(тх,тх,тх,И') не зависит от Ф. Более того, если Х; — времениподобные направленные в будущее поля, то иэ свойств тензора Я следует, что этот интеграл положителен.
Чтобы использовать эти результаты в нашей задаче, необходимы еще два дополнительных понятия, которые мы сейчас введем. 6А. Чтобы получить нужные оценки, сначала следует породнить достпатпочно много замннутпыя полг6 Вгблл. Клайнерман и Кристодулу воспользовались такой модификацией производной Ли ь", чтобы она была совместима с метрикой Т. Они определили эту метрическую производную Ли ьт способом ее вычислениятт. Ее основное свойство — то, что она сохраняет все величины, определенные только по метрике у: так, для любого векторного поля Х выполняются равенства СтТ = О и ьтет = О, Ст коммутирует со свертками, использующими у, и т.д. Следовательно, .Ст» сохраняет пространство полей Вейля (это пространство определено условиями симметрии и обращения свертки в нуль) для любого поля Х.
Для обычной производной Ли Сх это неверно. 6.5. Можно также воспользоваться конформноб коварианшностпью простпранстпва замкнутпых полей Вейлл, упомянутой в п. 5.6, заметив, что если Ит — эамкнУтое поле ВейлЯ, то Стхйт — тоже замкиУ- тое поле Вейля, при условии, что Х вЂ” конформное поле Киплинга. Поскольку существует большая группа конформных преобразований, зто поэвоняет породить вз одного замкнутого поля Вейля много новых. Таким образом, на вакуумном пространстве-времени (Б, у) для любых конформных полей Киллннга Хт,..., Хт поле ьтх, ьт»,Итт — снова замкнутое поле Вейля.
Таким способом можно построить много сохраняющихся при продолжении начальных данных величин, например /" сл л'„и" *,.(... д. " м, где Хт, т = 1,..., 5, суть конформные поля Кнллинга. ттОднако в (9] приведено концептуальное геометрическое определение, опирающеесл на универсальную процедуру сравнении ортонормнрованных балйсов относительно двух метрик. 290 Жен-Пьер Бургнньен 6.6. Нет ни малейших причин, чтобы вакуумное пространство-время (Е, у) обладало нетривиальной группой конформных преобразований. Однако мы предполагаем, что наше пространство есть возмущение пространства Минковского (еь~, с), у которого, как мы видели, группа конформных преобразований пятнадцатимерна.
Из этого следует, что, если мы определим на (Е, у) поля, близкие к конформным полям Киллинга Х на пространстве Минковского,их »ленгор деу»ормаини ЕХ7 будет достаточно мэл. Теперь остается заметить, что все рассмотрения, которые мы провели, считая, что поля суть конформные поля Киллинга, т.е. решения однородного уравнения, могут быть распространены на новый случай в форме оценок на поля, тензор деформации которых ограничен.
Законы сохранение, выведенные выше, сшоновлшсл в эшоб сн»пуоцнн ирнблннсеииымн эпкоиамн сохранеинл. Возможно, их следует именовать эакоиамн поведение. Они контролируют интегралы по пространственноподобиым гиперповерхностям некоторых 1-форм»», полученных из поля Вейля сверткой его тензора Беля-Робинсона с приближенно киллинговыми конформными полями. В соответствующие формулы входят величины, квадратичные по еу и линейные по ьл7. Требуется найти полл, тензор деформации которых убывает достаточно быстро на бесконечности.
Тогда убывание величин, поведение во времени которых мы изучаем, будет контролироваться их значением. 7. ИЗОТРОПНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 7.1. По очевидным физическим соображениям причинная структура пространства (Е, 7) имеет основополагающее значение. Подмножество Я С Е задает подмионсесшво влияния ип будущее 7+(Я), состоящее иэ всех причинных кривых, направленных в будущее, исходящих из точек множества Я. Таким же образом определяется подмнозсесшво влнеинл прошлого ! (Я) . Границы подмножеств влияния подмногообразия суть изотропные гиперповерхности, являющиеся поверхностями уровня оптической функции. Подмножества влияния точки р Б Е представляют собой световые конусы СР, исходящие из этой точки.
Если Е расслоено на пространственноподобные гиперповерхности М», то для р Б М», и Ф, лежащего в окрестности»о, множество СР 0 М» есть дифференцируемая сфера. Обратно, исходя из сферы Я в М», можно построить изотропные гиперповерхности, пересекающие М» по Я. »>Точнее, обрезов этне форм под действием оператора Ходжа. — Прим. нерее. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 291 Мы видели, что в пространстве Минковского введенные нами понятия определяются алгебраическими уравнениями. Т,2. Более удобный для работы подход заключается в рассмотрении гиперповерхностей уровня оптической функции и иизучении слоения на Е со слоями — поверхностями Ят,„, определенными двумя функциями 1 и и. Это слоение заменяет евклидовы сферы, которые были орбитами действия группы ЯОэ в пространстве Минковского. Основное средство для построения изотропной геометрии — выбор базиса в нормальном расслоении к многообразию Ят,„после того, как выяснено, что метрика на нормальном расслоении имеет сигнатуру ( — +) .
В качестве базиса берут изотропные векторы (,7, К) этого расслоения, проекции которых вдоль г" (градиента функции $ относительно у) равны 1. После этого можно определить основные ингредиенты того, что нужно для контроля эа решениями волнового уравнения, по аналогии с тем, что происходит в пространстве Минковского, а именно, у1уикцию расстояния Г, определяемую формулой т = площадь поверхности Ят „/4к, етпоРУю оптлвческУю тРУнкввю е:= и + 2т, опРеДелаюшУю конусы прошлого, и два весьма важных векторных поля: аналог поля Лиувилля в пространстве Минковского, порождающий расширения 1 = -'(тт.т'+ иК), и поле, обратное сдвигам по времени, имеющее вид тт — — -т(еээ + иэК).
Отметим, что вектоРное поле Р, поРождающее сдвиги по времени, связано с т и К формулой Р = -'(т + К). Т.З. Можно также измельчить разложение кривизны В", связанное со слоением на Е со слоями Мт так, чтобы приспособить его к слоению со слоями — подмногообразиями Ят „. Свернув Вт с векторами,7 и К, можно определить два поля билинейных симметрических форм на касательных проСтранствах к многообразию Ят,„, причем иэ-за равенства нулю тензора Риччи след этих форм будет равен нулю, две касательные к Ят „дифференциальные формы и две функции.
Все эти величины можно связать с выражением для кривизны, приспособленным к опоению Мт. Это измельченное разложение важно тем, что различные компоненты убывают на бесконечности по-разному. 8. ТЕОРЕМА КЛАЙНЕРМАНА И КРИСТОДУЛУ 8.1. Чтобы доказать свою теорему, Клайнерман и Кристодулу воспользовались такой стратегией. Им треб валось получить инструменты сравц. ния с пространством Минковского, т.е. построить Жан-Пьер Бургнньон 292 — слоение максимальными пространственноподобными гнперповерхностями, — световые конусы в направлении будущего как поверхности уровня оптической функции, — приближенно киллинговы конформные поля, чтобы получить оценки на кривизну.
Как только все эти инструменты построены, они проводят доказательство, опираясь на метод непрерывности. Сначала доказывается теорема существования, локальная по времени, но глобальная по пространству. После этого предполагается; что решение определено вплоть до времени б,ю и не может быть продолжено на большие времена без нарушения оценок на некоторые геометрические величины. Клайнерман н Кристодулу показывают, что такого момента времени не существует.
Для этого они устанавливают, что интегралы по времени от величин, в которые входит тензор Беля-Робинсона специально подобранных производных кривизны Вт, могут быть оценены функцией от значений этих величин при 1 = 0 и приходят к противоречию. При реализации этой программы возникают многочисленные сложности. В следующих пунктах мы сделаем их обзор' ). 8.2. Во-первых, упомянем о трудности, связанной с необходимостпью работпапть в спеииальноб сисшеме координата, чтобы аналитическая задача была корректно поставлена.
Самый наивный подход — пытаться продолжить локальные решения гиперболической задачи Коши в гармонических координатах, построенные в [11), до решений, локальных во времени, но глобальных в пространстве вдоль гиперпо-' верхности. К сожалению, Шоке-Брюа показала в [12], что такой подход приводит к неустойчивости в классе асимптотически плоских пространств-времен, близких к пространству Минковского. Клайнерман и Кристодулу не работают со специальной системой координат, а тполько фиксируютп врсмениподобную дтункиию Ф, поверхностпи уровня Мт котпороб максимальны. Они также используют точку зрения на эволюционные уравнения, развитую в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
