Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Более того, каждая орисфера является вложенным подмногообразием той же гладкости, что и данная метрика. Наконец, через две точки на бесконечно удаленной сфере проходит единственная геодезическая. Следовательно, когда $т — односвюное многообразие отрицательной кривизны, «рост«ранет«во геодезических О(Ъ') отождествляется с парами различных точек бесконечно удаленной сферы. В общем случае для неодносвязного многообразия $' отрицательной кривизны с универсальной накрывающей Р пространство геодезических 0(тг) является фактором по действию фундаментальной группы яг(ьг) множества пар рвэличньпс точек в Р(со), и наш список соответствий тем самым еще расширился (см. [ЕО, Е]).
4. ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В этом разделе мы объясним, почему при отрицательной кривизне имеется столько замкнутых геодезических. Основная идея, проясненная к 1924 г. Э. Артином, Я. Нильсеном и М. Морсом (см. [Не2]), состоит в том, что рядом с каждой почти замкнутой геодезической есть замкнутая геодезическая. Это следует из такого факта: если перемещаться в евклндовом пространстве, глядя вверх, то вид звездного неба не изменяется (углы между звездами не меняются). На гиперболической плоскости, наоборот, когда мы перемещаемся, то видим, как звезды смещаются одна относительно другой. Более точное утверждение: Лемма.
Пуст«ь Р— аднрсвлэиог многообразие, кривив«а котпврогв ограничена сверху втрииатвльной криста«той — тт. Пустпь Е сект«ар с вершиной х и углом раствора а, определяющий открытое миожествв О иа бвсквиечив удалеииой сфере. Если у й Е и д(х, у) > 1, та О видно из у пвд углам, самее малов, а'(тт, а) > а. Теорема (лемма о замыкании). Пусть Ъ' — многообразие втрииательной кривизны. Длл любогв двстпат«очно малого г и большого Т существует п(г,Т) св следуютцим свойсптвом: длл всякогв р Е Тг'гг', тпаквгв, чтв д(р, фт(р)) < т1, сутяествуют д Е Тт)т и Т' Е [Т вЂ” г, Т+ г[, такиг, чтив фт (у) = д и Й(фтр,фту) < г для всех 4 Е [О,Т[.
Действительно, перейдем к универсальной накрывающей. Существует взометрия у ч кг(М), такая, что д(у(р), фт(р)) < г ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 233 Нужно показать, что у оставляет инвариантной близкую к р геодезическую. Для малого е и большого Т точка т(р) содержится в секторе В(р, а) с малым углом. По лемме Т переводит зтот сектор в себя. По симметрии противоположный сектор Я(ф т(р), а) переводится в себя отображением Т '. Убывающее семейство выпуклых множеств Т" (В(р, о)) имеет пустое пересечение; следовательно, их замыкания в У О У(оо) имеют единственную общую точку, неподвижную относительно Аналогично находим неподвижную точку отображения у '. Геодезическая, которая их соединяет, инвариантна относительно Т и близка к р.
Следствие. Пусть У вЂ” односвязное многообразие отринательной кривизны, ограниченной сверху отрииательной константой Кахсдая возвращающаяся геодезическая (т.е. та, катарах имеет точки накопления на ней самой в Т1У) является пределом замкнутых геодезических. В частности, если обьем многообразия У конечен, то периодические точки геодезического попюка плотны в Т1У.
Есть и другие способы измерить, насколько поток богат замкнутыми геодезическими: считать количество замкнутых геодезических длины, меньшей заданного Т, изучать их распределение ьпо мереь (см. резд. 11) и, наконец, распределение длин при помощк дзета-функции (см. [РР]). Метод состоит в установлении соответствия между потоком и символическим погпоком, описываемым в конечных терминах. Отправная идея — кодировать каждую траекторию бесконечной последовательностью символов, — имевшаяся в зачатке в [Н1], развилась теперь в богатую теорию, окрещенную М.
Морсом в [МЦ символиче- ской динамикой. 234 Пьер Пансю 5. ТРАНЗИТИВНОСТЬ Неустойчивость геодезических, обнаруженная в п. 2.2, заставляет думать, что на компактном многообразии типичная геодезическая обойдет все многообразие. Это то, что подразумевают под транэитивностью. Например, Ж. Адамар [Н1] показал, что на данной вложенной в евклидова пространство поверхности отрицательной кривизны, имеющей, следовательно, бесконечные ветви, после небольшого шевеления можно заставить любую геодезическую уходить в любую из бесконечных ветвей.
Топояогическая транзитивность означает существование всюду плотных геодезических. Это довольно прямое следствие плотности периодических орбит [Не2]. В метрических терминах транзнтивность называется эргодичностью. Она означает, что единственные инвариантные измеримые рункиии — это функиии, которые почти всюду являются константами. Активно исследуемая — ее история восходит к Максвеллу и Больцману, но до начала 30-х годов существовало мало примеров эргодических динамических систем, — эргодичность доказана Хедлундом в 1934 [Не2] для поверхностей постоянной кривизны, имеющих конечную площадь.
В 1938 году Э. Хопф предложил следующие аргументы, которые обобщаются на случай переменной кривизны [Нор]. Они относятся к доказательству эргодичности действия группы я1(У) на парах точек бесконечно удаленной окружности. Лемма Г. Биркгофа позволяет свести доказательство к изучению функций, полученных как временные пределы непрерывных функций с компактным носителем в У (временные пределы 1 ~я(х) = 1пп — /,( о ф,(х) дв =-. с,/, существуют для почти всех х и почти всюду равны). Ясно, что предел У+ постоянен на устойчивых многообразиях, т.е.
на срезах С х Ч'(оо), а ~ постоянен на неустойчивых многообразиях. В это доказательство входит одна техническая деталь: нужно показать, что естественная мера на 0(Ч) является абсолютно непрерывной по отношению к мере-произведению. Это вытекает из дифференцируемости гомеоморфнзма между пространством геодезических С(У) и Ч (со) х Ч(оо) — О1а8, связанной с регулярностью устойчивого . слоения И". Хопф умел доказывать, что устойчивое слоение принадлежит классу С', только в размерности 2. В старших размерностях Г6ОДЕЗИЧ6СКИЯ ПОТОК НА ЕИМЯНОВЫХ МНОГООЬЕДЗИЯХ 2Зб проблема эргодичности геодезического потока на многообразивх непостоянной отрицательной кривизны оставалась открытой вплоть до 1962 г., когда Д.
В. Аносов решил ее, показав, что устойчивое слоение абсолютно непрерывно (А1). Мы вернемся к вопросу регулярности в равд. 8. б. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ На компактном многообразии отрицательной кривизны каждый класс эквивалентности замкнутых кривых относительно свободных гомотопий содержит единственную геодезическую (с точностью до сдвига параметра). Это следует иэ вариационного принципа (существование) и выпуклости (единственность). Следовательно, если возмущать метрику, то можно следовать за каждой замкнутой геодезической.
Верно ли то же самое для незамкнутой геодезической? Ответ восходит к М. Морсу [М1]: пространство геодезических по существу не зависит от конкретной метрики отрицательной кривизны. Это сле' дует из принадлежащей Г. А. Маргулису характеризации бесконечно удаленной сферы универсальной накрывающей посредством коазигеодезическия.
6.1. Инвариантность пространства геодезических. Кривая о в Р является коазвгеодезвческое, если (1) ее скорость ограничена; (2) отношение Ц1 — в!!/а(о(1), о(в)) ограничено. Можно показать, что в односвяэном многообразии, кривизна которого ограничена сверху отрицательной константой, каждая квазигеодеэическгя содержится в трубчатой окрестности ограниченного размера единственной геодезической. Следовательно, бесконечно удаленная сфера отождествляется с классами эквивалентности асимптотичных квазигеодезических.
На самом деле понятие квгзигеодеэической сохраняет смысл для дискретной группы конечного типа. Если У компактно, то Р(оо) связано внутренним образом с дискретной группой Г = я1(У) и Бесконечно удаленная сфера становится средством для изучения группы Г: из свойств действия группы Г на Г(оо) получаем структуру абелевых подгрупп, существование свободных нормальных подгрупп, конечность числа подгрупп, изоморфных данной группе, конечность Он$(Г) и т д. 23б Пьер Пллсю Эта точка зрения, начало которой положил А.
Прейсман [Р], была развита М. Громовым в [Сг2]. Она обобщает свойства фундаментельньпс групп, связанные с отрицательной кривизной, на класс гиперболических групп, который содержит «большую часты дискретных групп конечного типа, см. [Ст«3]. 6.2. Структурная устойчквость потоков Аносова. Пусть 1т— компактное многообразие, а Х вЂ” геодезический поток римановой метрики отрицательной кривизны, рассматриваемый как векторное поле на Тт У. Мы вскоре увидиы, что если возмутить Х в классе геодезических векторных полей, связанных с римановыми метриками, пространство траекторий останется неизменным. Что будет при более общих возмущениях? Это и есть проблема структурной устойчивости.
Д. В. Аносов [А2] сформулировал свои результаты при следующем предположении относительно дифференцируемого векторного поля Х, определяющего поток ф«на многообразии М: существует разложение ТМ = Е' 9 Е" Ю Ео, где Ес = КХ,и на Е* (соотв. на Е") дифференциал дфт (соотв.
с(ф т) — равномерно сжимающее отображение. С тех пор векторное поле, удовлетворяющее этому условию, называется по«паком Амосова.ц Аналогичное определение для диффеоморфиэмов очевидно (удалите слагаемое Ее). Теорема (Аносов [А2]). На компактном многообразии амосовское векшорное поле Х Ст-сшррктпурно устпойчиво, тп. е. если вектпорное поле Х' достаатаочно Ст-близко к Х, тпо сущесшвует гомеоморфизм (дифференцируемо зависящий оль возмущения), переводящий тараектаории потвока Х в твраектории потока Х'. Для доказательства этого результата Аносов приспособил метод, уже употреблявшийся Ж.
Адамаром [Н2]. Можно ли достичь большего? Определенно, невозможно заменить эту орбитальную эквивалентность на сопряжение (даже измеримое), поскольку тогда, например, длины замкнутых траекторий должны были бы сохраняться. Что касается регулярности, можно утверждать, что в общем случае орбитальная эквивалентность не может быть сделана абсолютно непрерывной.
Действительно, иэ доказательства.теоремы жесткости Г. Д. Мостова [Мов] следует, что для гомеоморфных, но не нзометричных поверхностей кривизны — 1 соответствие между ПВ ллтерлтуре лл русском лэыке также лспольэуется термлп «У-поток». ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 237 бесконечно удаленными окружностями не будет абсолютно непрерывным. Наконец, можно задаться вопросом, верно ли, что для двух многообразий отрицательной кривизны, имеющих один и тот же гомотопический тип, гомеоморфизм между единичными касательными расслоениями влечет эа собой гомеоморфизм между многообразиями.
Это верно в больших размерностях,но достичь диффеоморфизма не удастся [с'3). 6.3. Универсальность гиперболичности. Неустпойчиеостпь индиеидуального поеедениа тпраекшорий елечетв за собой устпойчиеосшь ия коллектпиеного поеедениа. Этот парадоксальный принцип, установленный Д. В. Аносовым в контексте геодезических потоков, был одновременно замечен С. Смейлом на его знаменитой «подкове». Смейл [В[ установил, что гипотезы [У) Аносова, выполненной только вдоль инвариантного компактного множества й, достаточно для устойчивости этого множества и его символического описания. Такой инвариантный компакт называетсл гиперболическим. Из этих работ можно извлечь метод исследования динамических систем: считая установленным, что инвариантные гиперболические множества достаточно исследованы, нужно описать, насколько поведение системы близко к гиперболическому или отличается от него.
Эта точка зрения все еще актуальна, см. например, [У). 7. ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ИЛИ НУЛЕВАЯ КРИВИЗНА И ЭРГОДИЧНОСТЬ Некоторые аспекты отрицательной кривизны обобщаются на случай, когда кривизне разрешается обращаться в нуль, оставаясь неположительной. В некотором смысле достаточно, чтобы геодезическая «встречала» немного отрицательной кривизны для того, чтобы ее поведение было совместимо с гиперболической моделью. Это обобщение составляет предмет обзорной работы Я. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
