Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2.5 нам понадобится следующее определение. Определение 1,7.3. Если Т' = вх(Т), то обозначим через Б(Т, Т') семейство подмножеств 1 множества А 1 Я, таких, что существует 1 с Я, для которого О(1) есть симплекс максимальной размерности некоторой триангуляции множества Я, а О(1 О .1) — симплекс максимальной размерности триангуляции Т. 2. МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА И ДИСКРИМИНАНТЫ 2.1. Начинаясзтогораздела,мысчитаем, что А = (а1,...,а„) С Е".
Кроме того, если не оговорено противное, будут считаться выполненными следующие условия: (е1) существует линейная форма Л: Е" -+ Е с целыми коэффициентами, такая, что А С Л 1(1); (*2) аддитивнап группа М(А), порожденная множеством А, совпадает с Е». Обозначим через Я(А) полугруппу, порожденную множеством А, и через М вЂ” целочисленную решетку Е". 2.2. Дискримииант Дя.
Обозначим через Ъ' векторное пространство С". с координатамн (с1,..., с„) . Мы будем отождествлять $~ с векторным пространством всех полиномов вида 1 = 1 '1<1<„ссх" Е С[х1,..., х»]. Обозначим через мя замыкание в топологии Зарисского множества таких 1 Е 1', для которых существует точка хо Е (С')», удовлетворяющая условию Дхр) = (хо) = ' ' ' = — (хо) = О. д1 д1 дх1 дх» Определим дискриминант Дя Е Е[с1,..., с„] как неприводимый полинам, определенный с точностью до знака, множество нулей которого совпадает с объединением неприводимых компонент кораэмерности 1 многообразия 17я .11 Данное определение остается без изменений также в том случае, когда условия (*) не выполнены. 2.3.
Проективиая интерпретация дискримиивпта Дя. Интерпретация дискриминанта как уравнения двойственного многообразия в целом является классической. Мы ее детвлизируем в нашем случае. с1В действительности зто многообразие всегда неприводимо. Единственная непривтность, которая может случиться, — это то, что его корезмерность может окюаться больше единицы. В этом случае положим сзл = 1. — Прим. »Г прокоса. (По просьбе переводчкка М. М. Капранов озиакомчясч сделал ряд ценных замечаний. — Ред.). ззв Франсуа Лазер Обозначим через 'у'" пространство, двойственное к )т, и пусть (у1,..., у„) — двойственные координаты.
Имеется морфизм зд; (С )а — » у'ч (хз,..., ха) н» (х",..., х'") . Условия (») гарантируют, что зд является иммерсией. Обозначим через Хд тор зд((С")"), и пусть Хд — замыкание в топологии Зарисского множества Хд в пространстве у'". Это — некоторое торическое многообразие (вообще говоря, не являющееся нормальным). В самом деле, действие тора (С*) на Хд, заданное формулой (уз,...,у„) н» (х" уз,...,х'"у„), где х 6 (С'), продолжает естественное действие тора (С") на Хдо умножением. Алгебраически можно определить Хд как Ярес С[Я(А)], задавая его вложение в 1с" формулой сд.
С[уз,..., у„] -+ С[Я(А)], у; ух". Нормализация Х„' многообразия Хд задается так: Хд = Брес С[К~.Я(А) й М]. Обозначим через 1д ядро отображения сд. Оно является идеалом, определяющим Хд в у'~. Согласно (*1), Хд есть конус и имеет двойственное многообразие Хд С Ъ'.
Следующее утверждение по существу тавтологично. Предложение 2.3.1. Имеет место раеенстео Хд = 'уд . 2.4. Дискримииант Ед . Вообще говоря, результаты работы [О-КЕ 2] относятся не к дискриминантам Ьд, а к дискриминантам Ед, которые мы сейчас определим, Мы здесь приведем комбинаторное определение дискриминанта Ед. Геометрическое описание будет дано в равд. 4. В п. 2.6 будет объяснено, как перейти от Ед к Ьд. 2.4.1. Пусть т — некоторая грань многогранника Я(А) . В векторном пространстве В.т имеются две естественные целочисленные решетки, вложенные одна в другую: решетка М(Я(т)), порожденная полугруппой 5(А) П Кт, и М П Кт.
Обозначим через з'(т, Я(А)) индекс первой относительно второй. Если 5 с М вЂ” полугруппа конечного типа, содержащая начзлокоординат, порождающая решетку М(5) и такая, что множество К+Я строю выпукло, а отображение Я -+ М(Я) инъективно, то положим ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 339 К (Б) = Н+Б'1 Я(Б'1 (0)). Определим целое число и(Б) как объем множества К (Б) относительно решетки М(Б) . Если т — грань многогранника Я(А), обозначим через Б(А)/т образ полугруппы Б(А) в Нг/Вт и через М(Б(А)/т) порожденную им решетку. Положим по определению и(т, Б(А)) равным и(Б(А)/т) .
Определение 2.4.2. (1) Если т — грань многогранника Я(А), то положим тп(т, Б(А)) = 1(т, Б(А)) ° и(т, Б(А)) . (Н) Дискриминантаом Ел называется следующее произведение, заданное с точностью до знака: где т пробегает множество всех непустых граней многогранника Я(А) (в качестве одной из которых рассматривается и сам Я(А)).
2.5. Основной результат. Напомним,что если Е Е С[с1,...,с„] — полинам, Е =,[ и. орсо, то его многогранник Ньютона Нк(г') по опРеделению есть выпУклаЯ оболочка в Нь таких Р, что ар ф О. Основным результатом в [С-К-2 2] является следующая Теорема 2.5.1 [С-К-Е 2]. (1) Многогранник Ньютпона дискриминанща Ел совпадаеп| с вторичным многогранником: Ук(ЕА) = ЯЩА) . (2) Ес щ Т Е 7е(А), то коэффиииенпь при манаме со' в полиноме Ел равен П( ьет Этот результат имеет следствие, а рпоп' достаточно удивительное: коэффициенты при крайних мономах являются произведениями чисел, каждое из которых имеет вид )т'о, где Ф целое.
Это обобщает тот факт, что в формуле 4рз + 27дг мы имеем 4 = 2г и 27 = Зг (ср. равд. 3). На самом деле Гельфанд, Зелевинский и Капранов нашли, как связаны между собой знаки коэффициентов при крайних мономах, если эти манамы соединены ребром. В обозначениях п. 1.7 имеет место Теорема 2.5.2 [О-К-Е 2]. Если выбран знак перед полиномом Ел, пьо формулу длл коэффиииентов из и. (2) предыдрцеб тпеоремы можно переписать в виде ( — 1)р1т1 П (чо15)'ы ьеТ 340 Франсуа Лелер где р(Т) Н Е/22 удовлстпвордстп следуюиьсму условию: если Т, Т' Н Те(А) и если фт и фт соединены ребром в многограннике Щ(А), тпо р(Т) — р(Т) = ~ )с(д() Я)(уо1Я(70 Е) + 1) шоь(2, леБ(т,т') где Š— цикл, на котпарьь»1 опираюшсл Т и Т', а lс(,УОЯ) — индекс отпноситпельно 2" рстаепьки, порожденной 1 О Я.
Замечание. Формула для р(Т') — р(Т) в том виде, в котором она приведена в [С-К-Е 2], неверна; однако, если следовать доказательству из [О-К-Е 2], то получится формула, которую мы здесь привели. 2.6. Переход от Ел к сад. Если Я вЂ” некоторая полугруппа, как в п. 2.4.1, то мы, следуя [К], определим целое число ь (Я) = у (-1)со ' 'и(Я () т), где т пробегает множество граней конуса К+Я.
Согласно [К], всегда') м(Я) ) О н ьт(Я) = О тогда и только тогда, когда полугруппа Я иэоморфна )ч(", т > 1. Напомним (см. [Щ), что если С вЂ” полиэдргльный конус размерности т, имеющий единственную вершину в начале координат, то аффинное торическое многообразие вида Х = орес С[С П2" ] является гладким тогда и только тогда, когда С имеет вид Н ~и»+ ..+В,~и„, где (иь,..., ег) — базис в 2".
Отсюда немедленно выводится следующее утверждение: Предложение 2.6.1 [О-К-Е 2]. Если тпоричсскос многообразие Хл С )т" лвллетпса конусом над гладким многообразием (тп. е. Р(Хл) С Р((т") гладко), пьо числа пь(т, Я(А)), ввсдсннььс в и. 2.4, все равно» 1. Другими словами, Е» =+Пь)ьлгьт, где т пробсгастп множсстпво всех нспустпых гране(( многогранника Я(А) . Если Р(Хл) гладкое, то этот результат позволяет явно описать »чьи(ь)ьл), используя результаты нз п.
2ть Если т — грань многогранника Я(А), обозначим через то1 форму объема на аффинном пространстве, порожденном гранью т, нормализованную пересечением с 2" . ь)Это ие совсем так. Например, если В.».Б — конус вад единичным трехмерным кубом в В.», то к(Б) = -!. Однако если конус В.еБ симплициалеп, то всегда и(Б) )~ Е. — Прим. М. М. Капроново. ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 341 Если Т Е Т(А), обозначим через Р,(Т) множество у-мерных симплексов о Е Т, таких, что Ф содержится в у-мерной грани многогранника Я(А), которую мы, в свою очередь, обозначим через т(о) .
Положим фт,' = ~~ чо) ( )Ь(е,(И+ +е П)). ее в) (т) В частности, фт,ь совпадает с фт, определенным выше. Положим Фт = Я( — Ц 'фт,; Определение 2.6.2. Обозначим через Т(А) множество Т(А), профакторизованное по следующему отношению эквивалентности; Т Т' тогда и только тогда, когда Фт = Фт, и пусть То(А) С Т(А)— множество классов эквивалентности регулярных триангуляций. Из последней теоремы и из теоремы 2.5.2 выводится такой результат; Предложение 2.6.3 [С-К-2 2).
Если Р(Хл) гладко, то 1) Хчч(ЬА) являетсл выпуклой оболочкой всех Фт, Т Е Т(А), и вершинами в Ичч(ЬА) служат» Фг, Т Е То(А); 2) если Т Е То(А), то коэуэриииент в полиноме Ьл при манаме свг равен 'П П )(-).)нн )' '" ' 1=0 евое(Т) 3. ПРИМЕРЫ 3.1. Дискриминант полинома от одной переменной. Пусть Р = с„х'+с„1х" '+ +со есть полинам от однойпеременной. Классически дискриминант определяется как где )(1,..., )(„— корни полинома Р в алгебраическом замыкании. Это полинам от с; с целыми коэффициентами. Пусть А = (ао,..., а„), где а, = ((, 1) Е 11з. Ясно (упражнение), что (э(Р) = хЬл.
Легко видеть, что все триангуляции множества А регулярны и задаются подмножествами множества (1,..., г — Ц . 342 Франсуа Ле»ер Если Т задано подмножеством Й = (««,..., «,) С (1,..., г — Ц, где ««« «'„то фт — точка в 1ь"+' с координатами хо =«ш х, =г — «„х«, = «а«.« — «ь», х; =0 для остальных «, причем считается, что «о = 0 и ««+» — — г. По предложению 2.6.1 имеем Вл = хсос,Ьл . Теоремы 2.5.1 и 2.5.2 непосредственно дают следующий результат: Теорема 3.1.1 [О-К-Е 3]. Вершинами многогранника Ньютона дискриминанта Р(Р) служат точки с координатами хо — — «« — 1, х, = г-«,-1, х;, = «а+« — «а «, х; = 0 длл ос«вольных «, где набор индексов «» « . «, пробегает все подмножества множества (1,...,г-Ц. Коэффиииент при манаме, о«пвечаю«яем «» « «„ равен П— 1)с»(«»-«)/»3«» а ь<ь<« где 3» = «ь+« — «ь, если счита«пь, что 3о = »» и 3, = г — «,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
