Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Торическое вырождение называется максимальным, если оно соответствует вершине многогранника Я(А(е)) . Пример 7.2.1. Группа ОЪ„(С) естественно действует на пространстве У = о~(С") однородных полиномов степени г1 от а переменных. Это дает действие тора (С')" на У, для которого Я(А(Г)) есть не что иное, как многогранник Ньютона полинома у. 7.3. Пусть С(к, г1, а) — множество эффективных (чистых) циклов размерности й — 1 и степени г( в Р~О .
Снабдим С(й,г(,а) структурой проективного алгебраического многообразия (многообразия Чжоу). Обозначим через 0(а — й, г() грассманиан линейных надпространств размерности и — я — 1 в Р" г = Р~О '. Если Х С Р" ' — ' неприводимое подмногообразие размерности й — 1, то обозначим че- Франсуа Летер рез Я(Х) С С(п — й, и) подмногообразие линейных надпространств, пересекающих Х. Это неприводимая гиперповерхность в С(п — й, п) .
Рассмотрим плюккерово вложение С(п — 1с,и) т Р(тт), где Ъ' = Ль((С")~), котороекаждой плоскости коразмерности а сопоставляет внешнее произведение к линейных форм, задающих эту плоскость. Пусть  — координатное кольцо многообразия С(п — й, и), вложенного в Р(И). Отображение С[т'] -ь В сюръективно, другими словами, В порожденокакградуированнаяалгебрасимволами Плюккера [тттэ . ть], где 1 < тт < тэ « та < и.
Формой Кали многообразия Х назовем уравнение Вх е В, задающее л(Х). Она определена с точностью до ненулевой константы. Если Х = ~„птХт — некоторый цикл, причем Хт неприводимы, то определим Нх формулой и =ПН"'. Теперь мы определим многогранник Чжоу многообразия Х Е С(й, д,п). Естественное действие группы СЬ„(С) на Р" ' задает действие тора Н = (С')" на С(й, д, и).
С другой стороны, СЬ„(С), а значит, и Н действуют на В. Поскольку морфиэм Х -+ Нл Н-эквивариантен, можно определить А(Нх), как в п. 7.2. Многогранником Чжоу многообргзия Х по определению назовем многогранник СЦХ) = Д(А(Нх)). Пример Т.3.1. (1) Если Х вЂ” гиперповерхность, заданная уравнением 1 = О минимальной степени, то Сп(Х) с точностью до параллельного переноса совпадает с Мк(7) . (2) Если Х вЂ” точка с однородными координатами [хт,..., х„], то СЬ(Х) есть выпуклая оболочка тех базисных векторов е;, для которых хт ф О. Из п. 7.2 непосредственно следует такое Предложение 7.3.2.
Частично упорядоченное множгстпво граней многогранника СЬ(Х) иэоморфно частично упорядоченному множгстпву таврических вырождений иодмноговбраэия Х в С(к, д, и) . Т.4, Для и = (тт,..., тт), где 1 < тт « тт < п, обозначим через Ь» плоскость в С", натянутую на базисные векторы еч . и пусть Е.» = Р(7 ) . Легко убедиться в истинности следующего утверждения: Лемма 7.4.1.
Нгприводимог падмнвгвобраэие Х С Р" " удовлетпввряетп условию дтш СЦХ) = О тогда и только тогда, когда онв имеетп вид Ь». Иэ этой леммы и из 7.3.2 непосредственно вытекает следующее Предложение 7.4.2. Пусть Х ч С(й, д, и) . Вершины многогранника Чжоу СЬ(Х) находлтса во взаимно вдноэначном соответстпвии с торическими вырождениями цикла Х вида ~"~,~ ьт,Ь». Вершиной ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 353 многогранника СЬ(Х), сооптвеглсктвуюитеб и«якому циклу, лвляетлса =1:-.(1: ) )ара»»еа При этпом комноненпта формы Кэли Ел, соотпветпставующал а, име- етп вид Ех,а — Сх,а П [о] (а(=» где Сл, — ненулеваяконстланпта, а [о] — символ Плюккера [тт...т«], если о = (тт,..., т«). Замечание Т.4.5.
Можно показать (см. [К-В-Е, ТЬ6отеше 2.8]), что не- приводимые (Ь вЂ” 1)-мерные многообразия Х, для которых дпп СЬ(Х) = 1, имеют следующий вид: существуют о = (тт,..., т«а«) и целые числа а«,..., а«+т, такие, что Х совпадает с гиперповерхностью в Т., заданной уравнением П Х;.'-С П Х а'=О аахо ат <О с некоторой ненулевой константой С. 7.5.
Формы 'Чжоу и результанты. Т.5.1. Обозначим через М„» комплексные (н х й)-матрицы и через МО « — те из них, которые имеют ранг К. Имеется естественное отображение р: Р(М„" «) -+ 6(п — Ь, Ь), которое каждой матрице сопоставляет линейное надпространство, заданное уравнениями, получающимися из ее столбцов. Обозначим через (су) координаты на МО „. Тогда р*[тт...
т«] = 'де«(сад) . Положим Лх = р'Вл. Авторы работы [К-Я-Е] называют Лх Х-результантом; мы его назовем формой Чжоу. Легко видеть, что Лл = О есть уравнение многообразия, двойственного к Х х Р» ' (при вложении Сегре). В работе [К-Б-Е] Йх охарактеризовано как уравнение, задающее «т1и от некоторого комплекса Кошуля. Мы сейчас покажем связь втой конструкции с конструкцией Кнудсена-Мамфорда [Кп-М]. 7.8,2. Пусть У вЂ” регулярная нетерова схема, Š— локально свободный Оу-модуль ранга н, Р— соответствующее проективное расслоение, к: Р -+ У вЂ” проекция, Ри — двойственное расслоение, Ор(1) (соотв, Орч(1)) — тавтологическоерасслоениенад Р (соотв.над Ри) и Н С Р х РР" — универсальная гиперплоскость, задаваемая обращением в нуль д, где 6 Е Г(У, ЕетЕ" ) = Р(Р х г Р", рт ОР(1) аорг ОР» (1) ) Франсуа Лезер соответствует 1 Е Г(Ог) при морфизме Ог -+ 88Е».
Над Р хг Р" комплекс К(О'. 0-«р]Ор(-1) |Вр«Ор»( — 1) — -+ Орнр» -+ О, нормализованный равенством К~еΠ— — Орнр», является разрешением для Он. Над Р х г Р" рассмотрим комплекс %ц = ®р«, (К(И) где через ра,; обозначена ачя проекция на Р ®у Р". Пусть Х вЂ” не- приводимая (/с — 1)-мерная подсхема в Р, плоская над У.
Она определяется пучком идеалов 1х, который является точным комплексом. Положим У (г) = 1р,'1х(г) З~ К~«) . Легко видеть, что для всех г дивизоры Ппг(йр«,У'(г)) определены и совпадают друг с другом. Они определяют некоторый дивизор над (Р»)", который мы обозначим СЬоее(Х) . Если У = ЯресС, то прообраз уравнения, задающего СЬон(Х), прн морфизме Р(М„" «) -+ (Р")" совпадает (с точностью до константы) с Йх .
Таким образом, мы возвращаемся к описанию, данному в [К-Я-Е]: пусть С[Х], = Не(Х, Ох(т)), и положим К'(г) = С[Х]ре«+,.ЭЛ«+~С". При данных 1«,...,1«Е (С") = С[Х]а снабдим К'(т) дифференциалом д(1 ®е) = ~ 1 1 8(еу Ае). 1=1 Этому комплексу сопоставим комплекс пучков на Р(М„" «) (соотв. (Р")«), для которого РА» задается уравнением Вх (соотв. совпадает с СЬож(Х)). 8. ТОРИЧЕСКИЕ ИДЕАЛЫ И ВЕЕРЫ ГРЕБНЕРА (по работе Штурмфеяьсз [Б]) 8.1.
Пусть А удовлетворяет условиям (*) из п. 2.1. Напомним, что мы обозначили через 1л идеал, задающий торическое многообразие Хл в»"». Это ядро отображения С[у«,..., у„] -«С[Я(А)], у; ~-+ х". Напомним также, что через ЦА) обозначена решетка линейных соотношений между а;. Важно заметить, что если а и )У принадлежат г1", то у~ — ул Е 1л тогда и только тогда, когда а — Д Е 1 (А) . вторичныв многогранники и дискриминлнты 355 Если а й 1Г, положим а = а+ — а, где и+ и и — векторы с неотрицательными коэффициентами и непересекающимися носителями.
Следующая лемма является классической (см. [3, 1 ешша 2.5]). Лемма 8.1.1. 11деал 1л порожден элементпами у»+ — уа-, а й Ь(А) . 8.2. Каждому ненулевому вектору 1б,й К" соответствует предпорядок <в на С]уь,..., у„] следующим образом. Если Р с С]у], обозначим через 4(Р) верхнюю грань скааерных произведений (4~, т), где т пробегает множество показателей мономан иэ Р. Будем считать, что Р <и Я тогда и только тогда, когда 4(Р) < ФЯ).
Далее, если Р Е С]у], обозначим через 1п(ФЗ Р сумму тех мономан из Р, показатели рп которых удовлетворяют равенству (ф, пь) = ф(Р) . Обозначим через 1л и идеал, порожденный всеми 1шгс Р, Р Е 1л . Наконец, положим С(1л,р) = (4~ » Н»; 1л В = 1л В ) . Все эти открытые конусы образуют полный веер, который мы назовем веером Гребнера и обозначим через У(1л) . Следующий результат Штурмфельса показывает, что веер У'(1л) более тонкий, чем У'(А) . Теорема 8.2.1 ]8]. Пусть Т б То(А) — регуллрнае 1приангуллиие и 1т — мономиальный идеал, соотпвешсшвуюиьий (по Стэнли- Рейснеру) Т: по определению 1т порожден мономами у, ...
у,, такими, что (т1,..., тс) не лвллешсл гранью никакого симплекса из Т, т1 « . ° ° тс. Тогда длл любого вектора ф из внутпренности конуса С(А, Т) идеал 1т равен радикалу идеала 1д е. Доказаспельсшво. Покажем, что 1т содержится в радикале идеала 1л,в. Рассмотрим симплекс т = (т1,..., тс), не являющийся гранью никакого симплекса из Т. Тогда существует грань и = (о~,..., ор) некоторого симплекса нз, Т, такая, что пересечение относительных внутренностей симплексов 8 и т непусто. Следовательно, существуют целые строго положительные числа Л1,..., Лр и р1,..., рс, такие, что ~ 1«<рЛ;аю = ~с,,«<срлап Значит, бином у, — у принадлежит идеалу 1л .
Поскольку о является гранью некоторого снмплекса из Т, а т не является, мы имеем ФюЛв ь»,)' 1рпрь~ 1<1<с 1<зйр так как 1б принадлежит внутренности конуса С(А, Т), а значит, у," = 1п1»в 1. Следовательно, у, принадлежит'радикалу идеала 1л,в. Далее, для любого бинома у„" — у~ й Хл иэ у~ <и у," следует, что т не может быть гранью никакого симплекса из Т. Таким образом, применяя лемму 8.1.1, мы получаем обратное включение.
П Франсу« Лееер Замечание 8.2.2. В общем случае У'(1д) строго более тонкий, чем .Т(А) . Это связано с тем, что в общем случае манамы, порождающие 1д о, имеют вид у,'"' . у„', где т; ) 1. 9. ФОРМЫ ЧЖОУ И ТОРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Пусть А С Е" удовлетворяет условиям ( «) из п. 2.1. Обозначим через Хд торическое многообразие в 1Я = Брес С[у«,..., у„], ассоциированное с А. Заменяя С на Е, определим Хд над Е аналогичным образом в Ухч = Брес Е[ут,..., у„] . Напомним, что Хд есть конус над Р(Хд) с Р~ ', Пусть 1д = Р(Хд). Форма Кэли Ву, и форма Чжоу Лг„теперь определены с точностью до знака.
Следующий результат описывает многогранник Чжоу от уд: Теорема 9.1 [К-Б-Е]. (1) СЬ(Уд) = ЯО(А); (2) максимальные торические вырождения (над С) многообразия Уд имеют вид ~ тчо1б1~, Т е 7е(А); (3) компонентной формы Ну„, соответствующей Т б 7е(А), является маном х П т[о]™ Доказатпельстпво. (1) есть непосредственное следствие из (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
