Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 77
Текст из файла (страница 77)
элементами Л», 1в), и пусть У+ (соотв. Уе, У ) — ее обертывающая алгебра. Обозначим через У обертываюшую алгебру алгебры 9(1) . Тогда 9(1) =9+ ~9'~9- (треугольное разложение Картана) и У+ ® Уо ® У- Пусть г1 — отображение 1 в Х. Обозначим через д,г подпространство в ц, образованное линейными комбинациями скобок Ли элементов 1г, в которые каждый элемент 1г входит с кратностью гг(в), так что мы имеем разложение д = ®9 .
В том случае, когда векторное пространство ц~ ненулевое, оно имеет в точности размерность 1, и г( тогда называется отрицательаым корнем алгебры 9(1) . Обозначим через Ф множество отрицательных корней. Аналогично, через У обозначим подпространство пространства У , образованноелинейными комбинациями произведений элементов Д, в которых каждый элемент 1г встречается с кратностью о(г), так что имеет место разложение У = ЩУя . Обозначим через Ф+ множество функций г1: 1 -+ л, таких, что — г( принадлежит Ф . Аналогичным образом, д+ = ®э еь ц~.
Множество Ф называется множеством положительньпг корней. Через Ф будем обозначать множество всех корней. Определим теперь отображение хв: У -г Це) по формуле яи(и) = о. х. Из теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта следует, что отображение яи сюръективао. Канонический базис в Ь(е), построенный Люстигом, дает базис пространства У . Более точно, Люстиг построил канонический базис В пространства У, удовлетворяющий следующему условию: (*) Пусть В„= (и 6 В ( яв(и) ~ О) .
Тогда для всякого с множество яи(В„) есть базис в 1(с). Работа Люстига заключается в описании канонического базиса В пространства У, удовлетворяющего условию (в) . Важно дать его явное описание. 2. КОЛЧАНЫ Колчан С вЂ” это четверка (1, Е, я, Ь), где 1 и Р— множества, а я н Ь вЂ” отображения ю 7 в 1. Элементы множества 1 называются вершинами колчана, а элементы множества Г называются его стрелками, и для всякого 1 б Р вершины я(1) и Ь(,1) называются началом и концом стрелки 1. Пусть Ь вЂ” поле. Тогда Ь-представление Е колчана — это задание набора векторных й-пространств Е;, в 6 1, и БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП 363 для каждой стрелки 1 линейного отображения о(1) = Е,< тт -т Еь(П . Ниже мы будем предполагать, что колчан С конечен и что рассматриваемые представления конечномерны.
По определению размерность представления Š— зто,функция тт: 1 -т ут, определяемая равенствами тт(т) = бипЕт. Г1 Пример колчлиа с 4 лершиилми и б стрелками Пусть (1, А) — граф. Ориентация графа определяется заданием двух отображений з, Ь: А -+ 1, таких, что для всякого ребра а имеем а = (з(а), Ь(а)) . Кроме того, всякий ориентированный граф является частным случаем колчана. Пример ориеитации графа Ал Пусть С вЂ” колчан.
Естественным образом определяется понятие морфизма представления. Категория Нера(С) (конечномерных) представлений колчана С есть абелева категория. Представление Е колчана называется неразложимым, если оно не может быть представлено в виде црямой суммы двух ненулевых представлений. Известно, что всякое представление Е есть прямая сумма неразложимых представлений и такое разложение единственно с точностью до изоморфизма. Говорят, что колчан С вЂ” колчан конечного типа, если он имеет лишь конечное число нердзложимых представлений.
Напомним теорему Габриэля. Теорема 3.1 (Габризль). Колчан С «месит конечиый тпип тпогда и тполько тогда, когда он лвллептсл ориепптироеоииым графом Дыикиню. Более того, в атом случае можно описать все неразложимые представления колчана С. Творима л,л (Габризль), Пустпь С = (А,1) — ориеитпироеаииыб граф Дыикииат и пуспть тт — фуикииа, опьображаитщаа 1 в гт, если д — размерностпь иекотпороео неразложимого представления графа С, то оиа лвлаептаа отрииатпельным коркам алгебры д(1).
Обратпио, если д лв метпсл оитрииатпельиым караем алгебры у(1), тпо С допусквепт едиистпвеииое неразложимое прсдсптавление размерности д. Оливье Матье 364 Кроме того, если С вЂ” колчан ориентированного графа Дынкина 1, то отображение Е ье Сбш Е определяет биекцию множества классов изоморфных неразложимых представлений этого колчана на множество отрицательных корней алгебры п(1), Пример 2.3. Рассмотрим следующую ориентацию граФа Дынкина А„: п-1 и 1 2 3 Отрицательные корни алгебры Ли п(1) — это в точности все ненулевые функции 41: 1 -+ Х, которые принимают значения 0 и 1 и такие, что носитель,7 = (4 ( Ы(4) ,-4 0) связен.
Пусть 44 — такая функция, и пусть (г,г + 1,...,а) — ее носитель. Единственное неразложимое представление размерности 4 — зто векторное пространство Е = ® Е4, где векторные пространства Е; имеют размерность 1, если 4 6 (г,в), и 0 в противном случае, причем заданы вложения Еи 4 Ее+41 1 Еа-4 4 Ел ° Пример 2.4. Рассмотрим следующую ориентацию графа Дынкина Р4: Наибольший отрицательный корень — это функция 4, такая, что 41(0) = 2, а остальные ее значения равны 1. Соответствующее неразложимое представление — это задание векторного пространства Ео размерности 2 (соответствующего вершине 0) и трех различных прямых пространства Ее. Это единственное неразложимое представление размерности 4, так как известно, что СЬ(2, й) действует трижды транзитивно на проективной прямой.
3. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КОНСТРУКЦИЯ ЛЮСТИГА В этом разделе мы коротко опишем элементарную конструкцию Люстига. Настоящий раздел не зависит от остальной части изложения. Мы не напоминаем определения, касающиесл квантовых групп, и отсылаем за ними читателя к статье М. Россо из этого сборника. Пусть 1 — граф Дынкина. Ему сопоставляется матрица Картана А = (аьв) по следующим правилам. Ее диагональные элементы а4; равны 2, а внедиагонзльный элемент а4, равен -1, если 4 и у— БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП 365 концы одного и того же ребра, и равен О в противном случае. Квантовая обертывающая алгебра Дринфельда и Джимбо — это ассоциативная алгебра 11 над полем Ще), порожденная образующими Ет, Рт, Кт и К, ~ и полностью определяемая следующими соотношениями: КК; '=1, К;К.
= К.К;, КтЕ, = и"'ЕтКт, (1) (2) КтР = о "стРтКт, Кт — К, ' с †о ' +Е,Ег =О, если а;, = — 1, ЕтР, — Р;Ет ЕгЕ, — (и+ и ') ЕтЕ Ет и ЕтЕ;=ЕЕ; Рг РЗ вЂ” (и + о т) РтР Рт и РтР; = РЗРт (4) в противном случае, +РРг =О, если аь = -1, в противном случае. Пусть о — инволюция Я-алгебры 11, переводящая Ет в Ет, Р, в Рт, Кт в К, т и о в о '. Пусть 11 есть Що,о ']-подалгебра алгебры Ю, порожденная элементами Рт~, где Р ~=Р"~[ДЧ [ (]= П тт>л>т Р' = Р;, .
Т(' )Р;,... Т(' )... Т(ттт) Рт„. Элементы Р' образуют базис, называемый базисом ПуанкареВиркгофа — Витта Се[с, с т]-влгебры 11 . Так как этот базис зависит от выбора приведенного рвало;кения г элемента ы, то он будет обозначаться через В,. Пусть .С„есть С1[и ']-модуль, порожденный В„. Предложение 3.1 (Люстнг), (1) 41[и "]-модуль С„, рассматприваемыб как подпросщрансщво подалгебры Ю, нв зависитп отп выбора приведенного розлоткения. Можно положитпь ь„= С. (2) Пустая тт; я.' -е и тя. — каноническая проекиил.
Тогда я(В„) естпь базис Д простпранства С/о тЮ, нс завислияиб отп приведенного разложения г, Для всякого я Е 1 Люстнг определяет некоторый автоморфнэм Т(т) алгебры У. Пусть ьт — наибольший элемент группы Вейля 14т алгебры Лн у(1), и пусть Ж вЂ” его длина. Выберем приведенное разложение т элемента ьт. Это дает некоторую последовательность ят,..., ттт элементов из 1. Для последовательности целых чисел с = (ст,..., стт) Люстиг полагает Оянеье Матье Хотя формулировка следующей теоремы элементарна, ее доказательство использует теорию колчанов.
Теорема 3.2 (Люстиг). (1) Ограничение проекции х, ь" -+ С/и тт". индуцируетп изоморфизм р: ь' й оь ~ ь/о та.. (2) Положим В = р т(Д). Тогда В есть Базис С1[е т]-модуля С. Формально соотношения, определяющие обертывающую алгебру алгебры д(1), получаются, если в представлении квантовой обертывающей алгебры Джимбо и Дринфельда положить о = 1.
Следовательно, глобальный базис В подалгебры 11 определяет базис В подалгебры П 4. БАЗИСЫ РИНГЕЛЯ Пусть 1 — граф Дынкина. Выберем ориентацию на 1, что позволит связать с 1 колчан С (см. равд. 2). Пусть й — поле, и пусть й — множество классов изоморфных к-представлений колчана С. Обозначим через 2Ф свободный 2-модуль, порожденный Ф . Теорема Габриэля (см. ргзд. 2) утверждает, что имеется естественный изоморфизм й ЕФ . В частности, й не зависит от й. Обозначим через Сй векторное пространство над С с базисом й. Предположим теперь, что й — конечное поле с д элементами, и пусть У, У', Уо Е Й. Обозначим через дтт,ю,о число подпредставлений представления И, изоморфных Ун, факторы по которым изоморфны У'.
Рингель (В1) определил структуру ассоциативной алгебры на Сй, положив У! Ут! ~~, ~ У Заметим, что указанная сумма на самом деле конечна. Действительно, если коэффициент ди к,т! — не нуль, то дтш У = аппп У' + т)ип У", так что для данных У' и У" только конечное число коэффициентов отлично от нуля. Теорема 4.1 (Рннгель). Пуствь У, У', Уо Е й. Тогда козффициеннт д~ тт ю, рассмантриваемыт1 как функция онт д, *вляетнсл многочленом одт д с целыми козффициеннтами. Можно также определить новую структуру ассоциативной алгебры на Сй, положив д~,ю,тт (1)У. Пусть т Е 1.
Обозначим через Рт элемент модуля й, соответствующий простому корню дт, определенному равенством дт(у) = 6;,т, где Бт,т — символ Кронекера. Легкое вычисление показывает, что БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП Зб7 (Г;, Г ] = О, если 1, 1 не являются концами ребра графа 1, ао(Г;)~(Г1) = О в противном случае. Следовательно, существует единственный морфнзм алгебр Е: 11 -+ Сй, такой, что Е(1;) = Г;. Теорема 4.2 (Рингель). Морфеем Е есшь иэоморфиэм. Поясним принцип доказательства. Пусть 4: 1 ~ Х. Выберем векторное пространство Г, имеющее разложение Г = Щ Г;, такое, что 41шГ; = 4(1).
Положим Ео = ЩНош(Г<, Гб), причем суммирование проводится по парам (1,1), которые соответствуют ориентированным ребрам графа 1. Положим Со = ПОЬ(Г;). Пространство Ео отождествляется с пространством представлений колчана С, ассоциированного с ориентированным графом 1, и фактормножество Ео/Со есть множество классов изоморфизма представлений размерности д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
