Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Я(Л, 74) . В силу принятых здесь соглюпений решения уравнения (1), постоянные по (Л, 74), определяют представления группы кос в тензорных степенях пространства 1г и допускают интерпретацию в терминах сплетающих операторов. Любое решение уравнения (1) называется Я-матрицей. Назовем (Л, 74) спектральными параметрами, Имеется по крайней мере два способа применения алгебр Хопрга и их представлений для нахождения решений уравнения Янга-Бакстера. 1.2.
Следующая схема предложена в [11] и применялась в [С-Р1, С-Р2, ПоММ] и в других работах. г )Коево Маге. Перг4вепваоопв лав ягопрв чпаппопев. — 36п! пагге Ъопгьай, 1990- 91, и'743, Аве4пвопе, 201-202-203, 1991, 443-478. Марк Россо Рассмотрим алгебру Хопфа У и предположим, нто имеегпсз семейство ее предсгпавлени6 (У,к«)гав, индексированное подмножесгпвом Б просгпранства Сп и удовлегпворлющее следующим условиям: (г) длл произвольных (с, Л, р) представление (УЭУЭУ, к«Эк»З к„) неразложимо; (й) для с, и Е Б сущесгпвует сплетающий оператор В(с, р): У Э У -» У Э У, переводящий кг Эк„в л„З к«, (ш) В((, () = Ы для любого ~ Е Б. Тоеда В(с, и) удовлетворяегп уравнению Янеа-Бакстера.
1.3. Другой подход, связанный с «универсаяьной В-матрицей», в рамках квазитреугольных алгебр Хопфа, введенных Дринфельдом [02], описывается следующим образом: Определение. Задать квазитреугольную алгебру Хопфа — это значит задать пару (А, В), состоящую из алгебры Хопфа А и абра тимого элемента В алгебры А Э А, удовлетворяющего следующим условиям: (г) ВЬ(х)В ' = Ь'(х) для любого х й А, где Ь обозначает копроизведение в А, а Ь' — противоположное копроизведение; (й) («1 Э Ы)(В) = БгзВзз (г«ЫЭ«1)(В) = ВгзВ«з, где если В = ~а; ЗЬ;, то Вгз = 2 а; Э1ЭЬ«, Вгз = 21 Э а«ЭЬ« Тогда если (У, рз)лев — семейство представзений алгебры Хопфа А в одном и том же конечномерном векторном пространстве У, то В(Л, р) = Р(рз З рр)(В) удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера. Более общим образом можно, вслед за Дринфельдом [а»2], определить категорию квантовых групп как категорию, дуэльную к категории элгебр Хопфа с единицей, коединицей и обратимым антиподом.
Представляет интерес построение различных классов примеров, с той или иной точки зрения связанных с уравнением Янга-Бакстера. 1.4. Кулиш — Решетихнн [Ки-Я] н Склянин [%] даа случая И(2) и независимо Дринфельд и Джнмбо [Ш, П2, 33] для общего случая ввели деформации универсальных обертывающих алгебр простых алгебр Ли и симметриэуемых алгебр Каца-Муди, которые являются квазитреугольными алгебрами Хопфа.
Они связаны с так называемыми тригонометрическими решениями уравнения Янга — Бакстера (т. е. В(Л, р) является рациональной фупкцией от Лгг»»). пявдставлвния квантовых ггупп 379 Другим весьма важным классом примеров являются янгианы, введенные Дринфельдом и изучавшиеся, среди прочих, Чередником [Со1, Сй2], Дринфельдом [ВЗ, В4], Кирилловым-Решетихиным [К-В,1], Ояьшанским [О], Чари и Прессли [С-Р2, С-РЗ]. Они связаны с рациональными решениями уравнения Янга-Вакстера (т.е. рационально зависят от Л вЂ” д). 1.5.
Воронович предложил другой подход к теории квантовых групп, в рамках теории С*-злгебр, совершенно независимый от приведенных здесь мотивировок ['1т'1, %2, %3]. Он предлагает деформировать алгебру функций на группе Ли. Некоторые пополнения ограниченных дуальных к квантовым универсальным обертывающим алгебрам, рассмотренным вьппе, доставляют такие примеры. На этот подход будем (для краткости) ссылаться как на пятый. 1.6. Решетихин, Тахтаджян и Фаддеев [Р-В;Т], вдохновившись методом обратной задачи рассеяния, предложили другую формулировку, в которой алгебра Хопфа и ее дуэльная строятся исходя из В-матрицы.
1.7. Манин предложил подход в терминах квадратичных алгебр, в котором квантовые группы возникают как «группы автоморфизмов» квантовых пространств [Ма]. 1.8. Данное изложение в основном посшпцено представлениям квантовых универсальных обертывающих алгебр Дринфельда и Джнмбо. С точки зрения Дринфельда основным кольцом является алгебра формальных рядов С[[а]] (которая позволяет выразить универсальную В-матрицу), а с точки зрения Джимбо следует рассматривать алгебры Хопфа над С(д) или над С, но зависящие от ненулевого комплексного числа д.
Люстиг понял, что подобные деформации можно определить над И[9,д 1] (строя аналог Е-формы Костанта). Если взять д равным корню из единицы, получается модификация определения Джимбо. Это позволило Люстигу установить аналогию между теорией модулярных представлений полупростых групп над алгебраически замкнутым полем характеристики р и теорией конечномерных представлений соответствующих квантовых групп, отвечающих корню р-й степени из единицы, Он предположил, что эти теории в большой степени совпадают, Изучение представлений в определении Джимбо в случае корней нз единицы представляет интерес для физики. В самом деле, Де Кончини и Кац обнаружилн, что в этом случае квантовые универсальные обертывающие алгебры имеют большой центр и что их неприводимые зво Мере Россо представления максимальной размерности параметриэуются некоторым алгебраическим аффинным многообразием, размерность которого равна размерности ассоциированной алгебры Ли.
Вообще при некоторых ограничениях зти дополнительные параметры можно рассматривать как спектральные параметры в смысле, напоминающем п. 1.2. (На самом деле нужно рассматривать ассоциированные алгебры Каца — Муди; точнее см. [В-Б, ПЗММ].) Упомянутые представления также представляют большов интерес в связи с теорией рациональных конформных полей (интерпретация «правил слияния«~1 и представленгвй монодромий в терминах представлений квантовых групп с параметром деформации, равным корню из единицыв>) В [Т-К, Кой, 06] установлена эквивалентность между двумя представлениями группы кос: представлением, заданным с помощью монодромии уравнения Книжника — Замолодчикова, и представлением, заданным с помощью Н-матрицы.
2. КВАНТОВЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ: ОБЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА 2.1. Обозначения. 2.1.1. Пусть о — переменная и А = Е[о, д ']. Для и б Е и «16 Х пусть [п]и = (д"" — О ")/(Π— д ) б А. Полагаем [п]в] = [п]и[п — 1]в...[1]и и ~ .~ =,,; это (п] [п]и] элементы нз А. Если д = 1, то индекс «1 опускается. 2.1.2. Пусть (а, )г<е .<„ — неприводимая в х п-матрица с целыми коэффициентами, такими, что ан = 2, ао < О для «ф у и существуют взаимно простые с(«,..., Ио из набора (1, 2, 3), такие, что матрица (4ап) является симметричной и положительно определенной.
Следовательно, (аб) является матрицей Картана полупростой конечномерной алгебры Лн ь. Полагаем д« = дж. 2.1.3. Пусть Р— свободная абелева группа с базисом ог«, в = 1,..., п. ПОЛОЖИМ Р = '2'," ОГ«И а = ~ ",сн амм«ДЛЯ 1 = 1,..., П. Пусть Я = 2 ', Еа;, Я.« — — 2 '«Е+а« .
Для,О = 2 ' /с;а; определяется высота ЬсД = ~ вй«. На Р вводится частичное упорядочение: А ) ««и=о Л вЂ” с«6 с«+. «1В оригиниве ген!ев ое тпв1оп". — Прим. нерее. «1См., например, ]А-С-В, Р-С-Р, М-В, Р-В, ... ]. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП 381 КК,'=К, 'К;=1, (2.2.1.1) (2.2.1.2) К4К1 — Ку КП К4 — К, ' й4 Ч< (2.2.1.3) 1-ае ( — 1)* ~ 411 Ет "' *Е Е;. =О для т~у, (2.2.1.4) а=в 1-аи ( — 1)' ~ 411 Р, " 'РтР; =О для 1~~. (2.2.1.5) а=в тв4 У называется кввнтповой (универсальной) обертпывотоитей алгеброй илн квантповой груцпой, ассоииировонной с мотприией (ап). На самом деле И является алгеброй Хопфа с копроизведением 4!4, коединицей е и обратимым антиподом Я, определенными следующим обрезом: ЬЕ4 = Е4 484 1 + К4 Э Е4, ЬР4 = Р4 й4 К,. ' + 1 ® Р;, ЬК4 = К4 Э К4, г(Е;) = О, е(Р4) = О, е(К;) = 1, Е(Е,) = -К,-'Ет, Е(Р;) = -Рткт, В(К;) = К,-'.
Можно определить антнавтоморфизм й-алгебр ы н автоморфизм й-алгебр 4р, полагая ы(Е4) = Рт, От(Р4) = Е4, От(К4) = КГ', 4о(о) = о к4(Е4) = Р4, От(Р;) = Ет, 444(К4) = Кт, 4т(о) = о Определяется билинейное спаривание Р х ь) -+ лл (О44, а -) = дттд4. Пусть т; — автоморфизм группы Р, определяемый соотношением Г4(от,) = ш — ббат (1, у = 1,..., п). Тогда тт(ат) = ат — о;та . Пусть И' — подгруппа в 01 (Р), порожденная элементами т1,..., т„.
Тогда решетка ч' инвариантна'относительно И' и упомянутое вьппе спаривание тоже. Положим П = (а1,..., а„) и В = И'(П), В+ — — В П Я+. Тогда В является системой корней, соответствующей матрице (аб), а Ит— ее группой Вейлв. 2.2. Определения (Дринфельд (П1, П2), Джимбо (а1, Д2, 33)). 2.2.1. Пусть й — поле характеристики нуль. Пусть 44' — алгебра над й(д), определенная образующими Ет, Р4, Кт, К, ', 1 <1 < и, и соотношениями 382 Морк Россо Введем, наконец, аналоги разделенных степеней: (»» Е«««) «[8)л.1 «[8]о.
( а также [К;; и] = (К»д" — К; д ")/(4« — д, ), ! и П' «Ч« ; Я« Заметим,что [К;; О] = 2.2.2. Пусть И+ — подалгебра в И, порожденная элементами Е;, И вЂ” подзлгебра в И, порожденная элементами Г», и Ио — подалгебра в И, порожденная элементами К«, К;, 1 < «< и. Тогда (согласно [Во1] и [Воб]) имеется й(д)-изоморфизм векторных пространств и = и- оо ио Э и+. 2.2.3. Для каждого е е Й', такого, что е~~«ф 1 длл всех « = 1,...,и, можно рассмотреть й-алгебру И„определенную образующими Е», Е«, К«, К, ", « = 1,..., и, с теми же соотношениями, что и вьппе, где 4 заменено на е.
Ее можно рассматривать как «специализацию» следующего вида: пусть И' является (с[4,а»)-подалгеброй в И, порожденная элементами Е», Е», К», К; ~, [К; О], Легко получить ее представление с помощью образующих и соотношений и установить, что она является алгеброй Хопфа [ВС-К]. Тогда И, = И'~(д — е)И'. Алгебры И+, И,, И," определяются очевидным образом. Имеется также «треугольное разложение», подобное приведенному в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
