Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Далее вводится аналог корневыз векеторов: Ев. =Т;,Тт,...Ти,(ЕС), Ев. =от(ЕЛ.) = Т;,Тт, Т;.,(Р,.). Для с = (ст,..., с„) в М" положим Е(т') = ТАТ;,...Т;,,(Е,' ) и Е(с) Е(ст)Е(сс) Е(с.) т ттт ас ''' в г (с) (Е(с)) Тогда справедливо следующее Предложение [Ьб, 1)-Ц. (т) ((лл каждого 1 иэ Х элементаы Е('), с Е )ч", лежатп в Ил+. Они обраэуюпт А-баэис в Ил+ и С)(о)-базис в И. (й) Точно атак же элементы Ет('т, с Е Х", обРаздют А-базис в Ил и О(т()-базис в И.
(ш) Элемениты П,".,К;т ', нт > О, б; Е (0,1), обРаэрюпт А-базис в Иел и Щд)-базис в ио. (!у) Умножение оттределлети иэоморфизм А-модулей ил эл и„' эл и+ - ил. (у) Кмеем илэ, щу) =и. Кроме итого, ил лвляетпся алгеброй Хонфа и справедливы соотпно- А-подалгеброй алгебры И,(, порожденной элементами Е( (соотв. (тт) ) для Ф > О, т = 1,...,и, и ила — зто А-подалгебра в Ил, (Ф) порожденная элементами ~ ~, К;, К( , т = 1,..., н, тт' > О. Люстиг построил А-базис в Ил, являющийся аналогом Е-формы Костанта, следующим образом. Пусть юе — элемент группы тт' наибольшей длины, и пусть тт— эта длина. Пусть Х вЂ” множество разложений элемента юо, т.е. множество последовательностей 1 = (тт,..., т„) целых чисел, лежащих между 1 и и и таких, что юв = т;, ... т;„.
Такая последовательность следующим образом определяет линейное упорядочение множества Кт. Марк Россо и Ь(Е[ ~) = ~ ~» ~Е» ~К6 Е(» « =~ д» « «® »=о »« 1(г. »и)) ч-~ -»»»«-ь)г»ь» К ьг. (»«-ь» д»н с При доказательстве предложения для установления линейной независимости над ь)(д) используется специализация д = 1 неприводимых модулей достаточно большою старшего веса (ср, п.
2.3.4). Замечания. (!) При рассмотрении И или И, иногда предпочитают рассматривать элементы Ев = Т», ...Т;.,(Е' ), Е; = Е ...Е~" и Р" ,= «о(Е»«) вместо разделенных степеней. (й) Если теперь й — поле характеристики нуль, предложение доставляет базисы алгебры И над й(д) и для каждого е 6 й", такого, что еац ф 1 для всех «, базис алгебры И, над й. (Для И«используются элементы Е.; и лемма из п.
2.6 ниже,) (ш) Указанные базисы зависят от разложения элемента юв . Люстиг [1,6) и Касивара [Ка] построили «канонический», или «крнстэллический», базис, который не зависит от выбора разложения и обладает весьма замечательными свойствами. По этому поводу я отсылаю к обзору О. Матье в этом же выпуске «Трудов семинара». (1») Непосредственным следствием предложения является то, что характер модуля Верма М(Л) над И дается той же формулой, что и в классическом случае. Соглашение.
В дальнейшем фиксируется разложение 1 элемента юо и указание на 1 опускается. 2.6. Аналоги корневых векторов Ее удовлетворяют следующим кваэикоммутационным соотношениям (для любого разложения» элемента и»о): Лемма [1 -Б1]. Если для линебного упорядочения на Я». вмполнлютсл соелашения и. 2.5, то при» ( у Ее»Ед» вЂ” д»Д"о»)Ев»Ео, = ~~~ а,Е', «е»ч" еде а, — элемент из й[д, д '] и а, = О, когда ср = О длв р «(» или Р ~),1 ° Де Кончини и Кац [11С-К] вводят далее фильтрацию на И (соотв.
на И,), такую, что ассоциированная градуированная алгебра является првдстлвлвния квантовых ггупп 389 алгеброй квазиполиномов (т.е. алгеброй, порожденной образующими хы..., х„и соотношениями хгя1 = Л, х я; для ненулевых ЛВ из соответствующего основного ноля) . К тому же они выводят, что И и И, являются алгебрами без делителей нуля и цеяозамкнуты в определенном смысле (см.
[ПС-К-Р, Кешах)с с), 6.4)). Определение [ПС-К]. Пусть А — алгебра без делителей нуля, 2 — ее центр и ц(Я) — поле частных кольца 2. Положим Ц(А) = Я(Я) эя А. Говорят, что А иелоэаикнута, если для всех подколец В в Я(А), таких, что А с В с л ~А для некоторого ненулевого л в Я, имеем В = А. Замечание. Если А коммутативна, из этого следует обычное опре- деление. 2.Т. Можно, используя антиавтоморфизм ш, ввести, как в классическом случае, для каждого модуля Верма М(Л) (положим б = 1 для упрощения обозначений) эрмитову форму, контравариантную в следующем смысле. Обозначим через й-билинейную инволюцию поля й(9), которая отображает 9 в д '. й-билинейная форма Н иа векторном й(9)-пространстве У называется зрмитовой, если Н(аи,ш) = аН(и,ю), Н(с, аш) = аН(и,ш), Н(и, в) = Н(ш, е) для а 6 й(д), е и ш из У.
Пусть ех — вектор старшего веса модуля М(Л). На М(Л) существует единственная эрмитова форма Н, такая, что Н(и~,е~) =1, Н(Хи,ш) =Н(е,ш(Х)ш) для Х6И, о,ш6М(Л) Тогда, как обычно, подпространства различных весов ортогональны, ядро формы Н является единственным максимальным собственным подмодулем и представляет интерес ограничение Н„формы Н на подпространства весов Л вЂ” 9, и 6 Я».. Пусть бес„(Л) — определитель формы Н„в базисе Р'щ, введенном в и. 2.5, где с пробегает множество Раг(П) = ((с1,..., с„) 6 )Ч";,[ с;а» = ~Д.
Заметим, что можно интерпретировать каждый элемент из Ие как функцию на Р со значениями в й(д) благодаря соотношению КЛ(Л) = д(л'"~ для Д 6 Я, Л 6 Р . Используя формулы характеров из пп. 2.3.4, 2.5 и формулу Шаповалова для детерминанта в классическом случае, Де Кончини и Кац пдлучнли следующую формулу: Марк Россо Предложение [ПС-К].
Справедливо соотношение со ( Рьт(о-~Р) ( ' .= П П (( ~ [к ( а-7ю,т)]) рея+ ш=т где др = дт для Д б В+, есяи )У принадлвзкит орбитпе элементпа си относитпельно дебствик гр(тпьт Вебля Ит. Они также получили обычные критерии включения модулей Верма друг в друга; эти критерии получены также в [А-Р-%1] когомологическими методами.
2.8. Центр и гомоморфизм Харнш-'Чандры, Т, Танисаки в [Та] установил аналог изоморфизма Хариш-Чандры над Ь[[Ь)] . В [тсоЗ] доказан аналог критерия Хариш-Чандры для центральных характеров над Ь(о) . Изоморфизм Харшп-Чандры над Ь(о) установлен в [ПС-К] и [д-У 1]. Мы следуем здесь Де Кончини и Кану, так как их конструкция позволяет построить специализацию Ит для Ь = С и г й С', если г не является корнем из единицы. 2.8.1. Пусть Я вЂ” центр алгебры И.
Произвольный элемент из И записывается в виде з= ~~~ ~ ' Ррь,„Е', где (рж бИо. Овтз+ К,сЕРат(О) ОтобРажение з т-т (оо о ЯвлЯетсЯ гомомоРфвзмом Ь: Я -т Ио, называемым гомомордтиэмом Хариш- Чандры. 2.8.2. Пусть у: Ив -+ Ио — гомоморфизм, определенный соотношением .((К;) = щК(. Если (о б И~ рассматрнваетсе как функция на Р, то у((о)(Л) = (о(Л + р), Л Е Р . ГРУппа Оз действУег на Ио по фоРмУле б(КР) = д()т)КЗ, 6 Е Оз, (т б (д, что дает действие полупрямого произведения т)т х Я на Ио.
Пусть Йт — подгруппа этой группы, порожденная подгрупцамн ойто ', о Е Оз, и Ион = (тр б Ио ] то(~р) = (о для любого ш б ру) . Теорема [ПС-К, 2-11]. Отпображение у-' о Ь переводит И в Иоит и определяет изоморвтизм Я на Ивй. 2.8.3. Идея доказате тьства. (а) Тот факт, что у ( оЬ(л) лежите Иви для г из Я, доказывается путем рассмотрений включений мОдулей Верма. ПРЕЙСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП 391 (Ь) Де Кончини и-Кац фактически построили обратный изоморфизм: выбирая»р в Ио, ищем е Е Я в форме, представленной в п.
2.8.1, с уоо = у. Определяем с помощью рекуррентной формулы по и матрнцу 1ОЕ .—— (уц„,)Ь ЕРе»„у. РаССМОтрИМ МОдуЛЬ ВЕРМа М(Л) И для каждОго 7 из (д». матрицу Оператора ~ ,'ь ер,(,„) Р"фц,Е" в базисе У*и~, в Е Раг(уу), подпространства весов Л вЂ” ц; обозначим ее С (Л). Используя то, что если я Е Я, то э действует в указанном подпространстве умножением на скзляр 1о(Л), получаем уравнение, связывающее функции с матричными значениями: 7<о гДе Ст, У ( В, пРедполагаютсЯ известными. Из формулы для определителя формы Н„из п. 2.7 видно, что если Я обозначает множество произведений элементов [Кр, (р, Д)— шз(Ф Ф)] для р Е»е+, тп Е гу', то ~рц обязательно лежат в Я 1И. Де Кончини и Кац показали, что в этом случае 1ок действительно лежат в И тогда и только тогда, когда у '(1о) Е Ион .
Рассмотрение степеней (у К») показывает, что ~ре равны нулю для достаточно больших Й и ш. Вдобавок, поскольку построенный таким образом элемент я действует умножением на скаляр на каждом модуле Верма, то он находится в центре. Обозначим его ее. 2.8.4. Предположим, что е Е й' не является корнем иэ единицы. Тогда длЯ У Е Иео~ можно»специаеизиРоватье элемент э„, постРоенный вьппе, и получить, в очевидных обозначениях, изоморфизм ХаришЧандры: 7-1.8; У. -1Иой, 2.8.5.
Замечание. Полная приеодимосшь конечпомерпых предсп1аеяепвб аяеебры И,. Используя утверждение из п. 2.3, можно показать, что для характера конечномерного модуля старшего веса справедлива формула Г. Вейля. Поскольку п. 2.8.4 дает критерий Хариш-Чандры для инфинитезималъных характеров, когда е не является корнем из единицы, можно повторить аргументы работы [ВОЗ] для И и найти в силу п. 2.5, замечание (Ге), характеры модулей Верма. 2.8.6. Рассмотрим, например, случай и = е1(2).
Тогда центральный элемент С = (К»у+ К 'д ')[(9 — д ')з + РЕ, введенный Джимбо в [Л2], порождает центр алгебры И. зуг Марк Россо 2.8.7. Используя квазитреугольную структуру алгебры И» (подробнее см. в следующем разделе), Дринфельд построил в [05] аналог квадратичного элемента Казимира. Прокомментируем это.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
