Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 85
Текст из файла (страница 85)
видно, что если Л(К~д)э ~ 1 для всех,9 из В+, то М(Л) неприводим. 7.2. Для каждого а из В+ пусть х„= Е„', у„= Р,'„, и пусть гв = Ко~ для каждого Д из Я. Представляет интерес подалгебра Ео алгебры Е,, порожденная этими элементами, и ее подалгебры Ео», Ео, Яр~, порожденные соответственно элементами х, у и гв. Пусть г; = гт. Алгебра Еоо является алгеброй полиномов Лорана от г,, г» '. Предложение. (1) Ео — — Ео ЗЕод ®Ео . (й) Ео+ (соотг.
Ео ) лвллетсл алгеброй полииомов от х (соотг. уо), а Е В+. (й1) П, лвллетсв свободным Ео-модулем с базисом РьК1'... К„"Е", где пнвдстлвлвния квантовых групп 403 7.3. Ие, следовательно, является нетеровым Ее-модулем; поэтому его подмодуль л, конечно порожден над ле и, следовательно, является целым над Яе. По теореме ГЪльберта о базисе Я, является конечно порожденной алгеброй. Можно, следовательно, рассмотреть ее спектр Ярес Я,, т. е. аффинное алгебраическое многообразие гомоморфиэмов алгебры Е, в С.
То же можно сделать и для Яе. Получим Ярес ли — Сэ" х (С')" (не канонически) . Пусть НерИ, — множество классов эквивалентности неприводимых конечномерных представлений алгебры И над С. Имеются следующие канонические отображения: НерИ, -+ Ярес Е, -'+ Ярес Яе, где Х сопоставляет каждому неприводимому представлению его центральный характер и т индуцировано вложением Яе с 2,. Так как Я, является целым над Яе, г является конечным и сюръективным (теорема Коэна-Зайденберга). Отображение Х сюръективно, поскольку если х Е Ярес Я, и если 1" — идеал в И„порожденный ядром гомоморфизма х, то алгебра И," = И,(1" не равна (О) (лемма Наквлмы). 7.4.
Для определения максимальной размерности неприводимых представлений алгебры И, и степени отображения т можно воспользоваться теорией конечномерных ассоциативных елгебр. Напомним, что И, не содержит делителей О. Можно, следовательно, рассмотреть поле частньпс сд(л,) кольца Я, н ьд(И,) Я(Я,) Эя, И,. Это алгебра с делением, конечномерная над своим центром. Пусть Р— максимальное подполе в Я(Ие): оно обязательно содержит Ч(Е,), и если т — его размерность над ц(л,), то размерность Я(Ие) над ц(Я,) равна тэ и Р Э<~~з,> И, иэоморфно алгебре т х т-матриц над е". Число т называют степенью алгебры И, . Сказанное выше позволяет рассматривать характеристический полипом, след ьг, норму элемента иэ И, и билинейную форму (я, р) = сг(хи).
Так как И, целозамкнута, то Я, также целозамкнута и коэффициенты характеристических полиномов элементов из Ие лежат в Е,. Дискриминантный идеал алгебры И определяется как (ненулевой) идеал в Я,, порожденный элементами бес((и;,из), 1 ~ (4,,1 ~( т ), где иь,..., ить пробегают И,.
Множество нулей этого идеала 2 образует некоторое замкнутое собственное подмногообразие З спектра Ярес Я,, называемое дискриминантным подмногообрезием. Можно сформулировать следующий основной результат. Теорема. Пусть ( — нечетное целое тело, 1 > щах(п,) и е— нрилитиеный корень Ив степени иэ единицы. Марк Россо (1) Ярес Е» является нормальны.н аффинным алгебраическим многообразием и отобраэсение т: Ярес Е, -+ Ярес Ео имеет конечную спьепень 1о. (й) Если х е Ярес Ы, ~ с, то Х '(х) состоит из единственного (класса) неприводимого представления алгебры И, размерности 1". 7.5.
Приведем этапы доказательства. Используя методы ассоциативных конечномерных алгебр, Де Кончини и Кац сначала показывают, что если Х не лежит в с, то алгебра Их (обозначения п. 7.3) изоморфна Мо»(С), и что если Х лежит в с, то размерность И," больше или равна тз, а размерность каждого ее неприводимого представления строго меньше чем т. Речь идет, следовательно, о нахождении т и степени отображения т. Напомним, что имеются диагональные представления М(Л) размерности 1к и что если Л(гоз) ~ 1 для любого сь е В»., то М(Л) неприводимо.
Зафиксируем такое Л. Пусть Но С Ярес(оо) определено соотношениями х = О, р = О и гз ~ 1. Тогда т ох(М(Л)) Е Но и полный прообраз при отображении т ь т этого элемента содержит 1" элементов. С другой стороны, д1шсдх,» 1~(И,) = 1з"+" (предложение 7.2(ш)); следовательно, 1гк+к = тз део т и т > 1к Далее, введем группу автоморфизмов С некоторого пополнения Й алгебры И,, действующую в Пер(И,), Ярос(Е,), Ярес(Ео) (Х и т зквивариантны) и такую, что орбита СНо содержит открытое по метрике непустое подмножество из Ярес(ло) . (Эта орбита состоит из образов диагональных непрйводимых представлений размерности 1", подкрученных группой С. Каждая точка этой орбиты имеет ровно 1" прообразов.) Отсюда следует, что Аеят > 1" и, значит, беат = 1" и т = 1".
Опишем построение группы С (будем считать 1 нечетным): а) Напомним, что в специализации типа Люстига вводятся дифференцирования, заданные через коммутатор с аналогами разделенных степеней. Можно, разумеется, рассмотреть подобные дифференцирования в алгебре И над С(»7); замечательно, что эти дифференцирования спускаются на И,. Обозначим через е, 7', йа дифференцирования, связанные с Ео» га» К~о/[1]вв' и пОлОжим е» ео; »,1» уа» . Тогда если сь = Рд Рд Рд юсс;, ю б И', то ео = Тые;Т„,', 7о = Т,„1;Т„,' и е;, 7», й~з даются явными формулами. Ь) Рассмотрим алгебру Ли й дифференцирований алгебры И„ определенную над оо и порожденную элементами е, уо, lсхо.
Она 405 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП нормализуется элементами Т;, и ло является инвариантным относительно 9. с) Чтобы представить себе соответствующую группу автоморфизмов, удобно пополнить ло следующим образом: То есть алгебра формзльньпг рядов от хп, ра (а Е Н+), гг и г», сходящихся к голоморфной функщги на Сз" х (С')". Положим Й, = ле Эя, й, и А = Йо ®я, Л~. Тогда для всех Ф Е С ряды ехрФе, ехрйу, ехрйя сходятся к автоморфнзмам (над С) алгебры Й,, и можно рассмотреть подгруппу С группы автоморфизмов алгебры Й,, порожденную элементами ехр1е, ехр1у,„, ехр1й, а Е гг».. 2, и Ус инвариантны относительно С, так что последняя.действует голоморфными преобразованиями на Ярес л, и Ярес го.
г]) Из явньпг формул для действия элементов е„, ~~ в г'с следует, что орбита СНе содержит открытое по метрике непустое множество из ЯресНе. 7.6. Действие 0 на ЯресЯе глубже изучается в [ВС-К-Р]. 7.7. Неприводимые представления максимальной размерности для матриц (аб) типа А, упоминавшиеся в теореме 7.4, описаны в [Аг, Аг-СЬ1, ПЛММЗ]. См. также [Аг-СЬ2, 1ЗЗММ1, ВЗММ2, ПЗММ4]. РЕЗЮМЕ В промежутке между написанием данного текста и его публикацией Д. Каждан и Г. Люстиг установили в статье »Агйпе 1ле А!яеЬгая апд с)папсшп Сгопрзг (1пгегп. МасЬ.
НезеагсЬ ХОСез 2 (1991), 21 — 29) эквивалентность в смысле тензорных категорий между категорией представлений аффйнной алгебры Ли и категорией конечномерных представлений квантовой обертывающей алгебры. Отсюда вытекает в силу работ Л. Касиана и С. Кумара о гипотезе Каждана-Люстига для представлений отрицательного уровня аффинных алгебр Каца-Муди гипотеза Люстига о характерах простых модулей квантовой обертывающей алгебры с параметром, равным корню из единицы (см. и. 6.6.2), ЛИТЕРАТУРА (А-С-Я] А!гагы-Савше Ь., Сошег С., Я1егга С., »»вавсиш Егоир шсегргесаГ1ов о1 зоше совГогша1 бе16 гЬеоггез, Ргергшг СЕН1» [А-Р-%1] Авбешев Н.
Н., Ро!о Р., 1Чев К., НергезевГасюпз о1»»иавсвш а1яеЬгм, 1пгепа МаГЬ. 104 (1991), 1-60. Марк Россо [А-Р-%2] [А-%) [Ап) [Ат) [Ат-СЬЦ [Ат-СЬ2) [В) [В Ц [Ва2) [В-М-Ь] [Ве] [В-%] [Са) [С-РЦ [С-Р2) [С-Рз) [СЬЕ] [СЬ2] Аш!етвеи.Н, Н., Ро!о Р., %ев К., 1в)есС!че шойи1ев Еот цивпвиш а18е- Ьтж, Ашет. Л. МасЬ. 114, рсо. 3 (1992), 571 — 604. Аш1етвев Н. Н,, %еп К., Вартевепватюпв оЕ тсиапвиш а!беЬтав: СЬе пихей саве, Ртерппв АзтЬив Е)п!четв!Сез 1991, в' 5. Авйтивй!еюсввЬ Кч Яоше ехсерСюва1 сошрвсС шаСт!х рвеийобтоирв, Ртертшс йсо!е Ро!усесЬшиие Атпаийоп В., Рет!ой!с аш1 Яав Ьтейис!Ые тертевепСаВопв оЕ ЯЕЕ(3)в, Сошш.
МаСЬ. РЬув. 134 (1990), 523-537. Атпаийоп В., СЬвЬтаЬзтС! А., Рот!ой!с авй ратз!вйу репой!с тертевев- СаС!опв оЕ ЯЕ)(ЕЧ)р, Сошш. МаСЬ. РЬув. 139, Но. 3 (1991), 461-478. Атваийоп В., СЬа!стаЬатВ А., Р!аС рет!ой!с тертезепзаВапв оЕ Ит(Д), Ртерпвс Йсо!е Ро!утесЬва1ие А023-П90, ВаЬе!оп О., Ехтепйей сопЕотша! а13еЬта оЕ Уапб — Вахтет еииаС!оп, РЬуа ЬеСС. В 125 (1988), 523-529. Ввхвет Н. Л., РвтСВюп оЕ СЬе е!8ЬС-четСех 1аСС!се шайс!, Авп. РЬуз.
70 (1972), 193-228. Вахвет Н. Л., Ехвсв!у во!чей шойеЬ ш ЯСаСЬСЬа1 МесЬашсз, Асайешю Ртевв, 1 опйоп, 1982. ВазЬзпоч Ч. Ч., Явтобзвоч У. С., СЬиа1 Роттв тоойеЬ вз а йевсепйавС оЕ СЬе в!х четтех шойе1, Л, ЯСаС. РЬуз. 51 (1990), 799-817. Ве!!!псов А. А., Мзс РЬетзоп ЕС., виват!8 Сч А беошеСпс зеСС!вб Еот СЬе циапвиш йеЕоппаВоп оЕ СЕк, Ви!се МаСЬ. Л. 61 (1990), Хо. 2, 655-677.
Ветпатй В., ЧетСех оретавот тертевептаВовв оЕ СЬе тсиаввиш а!Вне а1- беЬта ЕЕв(ВтВ!), ЬеСС. МаСЬ. РЬув. 17 (1989), 239 — 245. ВЬшап Л., %епз! Н., ВтакЬ, !шЬ ро!упопйаЬ авй а пею а!8еЬта, ТСапв. Ашет. МаСЬ, Яос. 313 (1989), 249 — 273, СатВет Р., Вече1оррептепсв тссепвв вш !ез бтоирсв йе стеснен; арр!1- саС!опв а !а соре!об!е ес а !'з185Ьте, Ябвиваые ВоитЪаЬ1, ехр. по716, Апж!вдие 189-190 (1991), 17-67. [Имеетсв перевод: Картав П. Но- вые достииенив з теории грутш кос.
Применение в топовогии к авгебре. — В кнс 'Е)туды семинара Н. Бурбаки за 1990 г. — Мс Мир, 1996, с. 14-49.] СЬап Ч., Ртевв!еу А., б)иавсиш аЕЯве а18еЬтвз, Сашш. МаСЬ. РЬув. (1991). СЬзт! Ч., Ртевв!еу А., Уапб!апв ввй Е-Маспсев, Евве!8в. МаСЬ. 36 (1990), 267-302. СЬап' Ч., Ртевв!еу А., Ривйашевеа! тертевевваеювв оЕ Уапб!аиз зпй в!пби!апстев оЕ ЕЕ-шатт!сев, Л. Еетпе Авдею. МасЬ.
417 (1991), 87- 128. СЬетейвсЬ Л., Е)иапсиш 8тоирв вв ЬиЫеп вушшезт!ев оЕ с!шз!са! тер- тевепсасюп сЬеоту, Ртосеей. оЕ 17сЫвс. СопЕ, ов й!ЕЕ. 8еош. шесЬосЬ ш СЬеотеВса1 рЬув!св, %от!й Яс!евт:, 1989, 47. СЬетейв!Ь Л., А веи !псетруесаВоп оЕ Се!Еавй-Тве!с!ш Ьззев, Вийе МасЬ. Л. 54 (1987), 563. прбдстдвлбния квантовых групп 407 [С-С] Сгешшег Е., Сеггшв Л.-Ь., ТЬе цпапвшп бгопр всгпссцге азвос!асей поп !шеш1у ехсепйей Чпмого а18еЬгав, Сошш. МаСЬ.
РЬув. 134 (1990), 619. [ВЛММ1] ВаСе Е., ЛппЬо М., М!Ы К., Мгла Т., Ыеи Я-шавг!сев аввос!аСей иНЬ сус!!с гергевепСМ!опв о( Иг(Ав ), РгерппС ВЛМБ 706, 1990. (г! [ВЛММ2] Васе Е., ЛшЬо М., М1Ы К., М!иа Т., В-пгаспх (ог сусВс гергевепсаСюпв о( Иг(в1(3, С)) ас 9~ = 1, РЬув. ЬеСС. А 148 (1990), 45-49. [ВЛММЗ] РаФе Е., ЛшЬо М., М!Ы К., Мнка Т., Сус!к гергевепФасювв о( Ид(Ы(п+ 1, С)) ас д = 1, РпЫ. ВЛМБ 27, Ыо. 2 (1991), 347-366. [ВЛММ4) Васе Е., ЛгоЬо М., М!Ы К., Мгла Т., Сепегайзей сЫга1 РоССв пгойе!в апй ш!пипа! сус8с гергевепсас!опв о( Иг(81(п, С)), Соппп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
