Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 84
Текст из файла (страница 84)
непрерывных функций на компактной группе. МТо есть функций, орбиты которых порождают конечномерные надпространства, — Прим. иерее. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП 397 5.1. Воронович ввел компактные квантовые группы матриц следующим образом [%1, %2]: Определение. Компактная квантовая группа матриц задается С'-алгеброй А и И х Л-матрицей и = (ип) элементов из А, удовлетворяющей следующим условиям: (1) инволютивная подалгебра А, порожденная элементами п;, плотна в А; (Я) существует морфизм С*-алгебр Д»: А -» А ® А, такой, что Ь(и»1) = ~ ом Эиау; (ш) и обратима и существует линейное антимультипликативное отображение 5: А -+ А, такое, что 5(8(а')') = а Ча Е А и матрица (5(иб)) является обратной к и. Воронович установил, что в данном случае существует мера Хаара (т.
е. такое состояниец й Е А', для которого Ь, »1 = и. Ь = п(1) . й при всех и Е А') [%2]. Он развил общую теорию (унитарных) конечномерных представлений (т.е. А-комодулей) и получил характеризацию этой категории в духе Танаки-Крейна [%3]. Это позволяет, отправляясь от дуального объекта (И,);„, е ) О, строить компактные квантовые группы матриц [Но4, Яо2, Ап]. Алгебра И, действует тогда в алгебре А «подкрученными дифференциальными операторами». Представления соответствующей алгебры А подробно изучаются в [Яо1, Яо2, Ь-Я]. 6.2. Рассмотренные квантовые группы придают геометрический ха рактер теории д-аналогов специальных функций, в частности, ортогонельных полиномов.
Например, »д-малые полиномы Якоби» естественно возникают как матричные элементы неприводимых унитарных представлений квантовой группы ЯЩ2), а коэффициенты Клебша — Гордана выражаются через о-полиномы Хана. уравнения в конечных разностях для этих полиномов возникают из действия оператора Казимира 2.8.б. Мера Хаара выражается через интеграл Джексона д-перечислений, а соотиощения ортогональности полиномов интерпретируются как П В квантовой мвханнхв состовнкв — функционал на алгебре наблюдаемых.— Првм. перев.
398 Марк Россо таковые для матричных элементов представлений по отношению к мере Хаара. См., например, [К-К, Коо, К-В2, ММНН1), Во-7]. б. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ (ИЛИ ОГРАНИЧЕННАЯ) СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ В данном разделе 1 есть целое нечетное число, взаимно простое со всеми элементами матрицы Картана. Пусть й = ь1 и А = Е[9, д т]. Напомним (см. и. 2.5), что А-аягебра Ил обладает базисом типа Пуанкаре-Биркгофа — Витта. Для каждой А-алгебры А можно взять Е<лА и получить А-алгебру Ил, в частности, это можно сделать для А = Е или 1г, где д действует как 1. Пусть  — фактор кольца А по идеалу, порожденному Им круговым полиномом. Можно определить В-алгебры Ив, Ивц, Иво.
Точно так же можно рассмотреть фактор В кольца ь)[д, д '] по тому же круговому папиному (В С В) и получить Ив, Ив~, Ин. Кроме того, обозначим через Ус< обертываюшую алгебру над Ч простой <1-алгебры Ли, ассоциированной с (а<т), и пусть Е<, Р<, Й< — ее образующие, удовлетворятощие стандартным соотношениям. Пусть Лг — это 2-форма Костанта, порожденная разделенными степенями: Е~ ) = Е,'~(<АП<, г ~ ~ = РР<(Х< для 1 (т ( и, и ) О. Если р — нечетное простое число, то пусть Рр — поле из р элементов. Тогда УР, = Уг Эг Рр есть гипералгебра простой алгебраической группы над Рр, ассоциированной с (а<т) .
6.1. И в Ив, и в Ив справедливо соотношение Кг' = 1, причем К,'. — центральный элемент. Обозначим через Йв и Йн соответствующие факторы по двустороннему идеалу, порожденному элементами К< — 1, 1 < т ( и. Кроме того, К< является центральным элементом в Иг или в И<1 и можно определить алгебры Йг, Йта. Предложение [1А, Ь5]. (<) Йц и 0<1 (соотпв. Иг и Уг) изоморфны как алгебры Хопфа. ' (Я) Лустпь 1 = р. Можно отозсдествить В((у — 1)В и Рр, превратив тпгм самым Рр в В-алгебру, и образоватпь Й<р„= Йв «рв Рр. Тогда ЙР, и УР, изоморфны как алгебры Хопфа. 6.2. Пусть  — подалгебра в УР„, порожденная элементами Е<, Р<, 1 ( т ( и. Это алгебра Хопфа размерности рг"+" над Рр.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП 399 Е( Ртс (ет) Ес О ( рОе~б ру(Ф")) = ~ ~с 6(К») =1. если 1 делит )(т, в прогнанном случае, если 1 делит Ж, в пропп»вном случае, Ограничимся морфизмом В-алгебр ЕУ: Ив -» Их Эх В и пропустим его через факторы Ив и Йв. Пусть и' есть В-подаягебра алгебры Ив, порожденная элементами Ес, Г;, К(, 1 <» < п, н н'~ — ее В-подалгебра, порожденная элементами Ес.
Доказательство существования морфизма Рт основано на интерпретации алгебры Йв+ как »скрещенного произведения» и' на обертывающую алгебру Й<+~ Эс) В, действующую на н'~ с помощью некоторых дифференцирований. Точнее, пусть бс (соотв. б,') — дифференцирование алгебры Ив, определенное соотношением б(х) = Е( ) х -хЕ( ) (О О) »)В оригинале — е)фЬ»е Ое сое(вс!ени. — Прим. нерее. Двусторонний идеал алгебры сГР,, порожденный ядром аугментации алгебры Б — не что иное, как ядро отображения Фробениуса й". 7»у, -+ ГГР, (обобщение обычного отображения Фробениуса на групповом кольце'> простой группы над Рр): Рт(Е( ~)) = Е( У ), если — (и) -(и~о) р делит ))т, и гг(е( )) = О в противном случае, гт(Г~ )) = г)~~р~, если р делит Г»т, и гт(г'» )) = О в противном случае.
Рассмотрим параллельно В-подалгебру и алгебры Йв, порожденную элементами Е;, Р», Кс, 1 <» < и, и ее фактор й по двустороннему идеалу, порожденному К,' — 1. Тогда й является свободным В-модулем ранга 1»"+". Мы увидим, что он допускает интерпретацию, аналогичную интерпретации алгебры В, в терминах некоторого »отображения Фробениуса в характеристике нуль». 6.3.
Отображение Фробениуса в характеристике нуль (Люстиг )Ь5]). Теорема. Суо»ествует едвнсп»еенный мору»изм В-алгебр Рг: Ив -+ 7(с) Эс) В, такой, что 400 Марк Россо (соотв. б,' = г;~ х — хг," ). Тогда б; оставляет и и и+ на месте, а б,' <0 (0 оставляет на месте и и и Можно показать, что на (Иц+ЭсзВ)Эви'+ существует единственная структура В-алгебры, которая совпадает с известными структурами на Ис+ Э В и на и'+ и такова, что Е;х = хЕ; + б;(х) для всех х в и'+. Эта алгебра изоморфна Ив+, причем соответствующий изоморфизм у переводит Е; й И~ц Э<~ В в Е, ~ и Ив+ и у 6 и'+ в себя.
Тогда Рг определен на Ив~, для чего используется у ' и отображение алгебры (1Я Эсз В) Эв и'+ на ~Я Эц В с помощью аугментации алгебры и'+. 6.4. Ядро отображения гг, Ив -+ Ух Эх В есть ие что иное, как двусторонний идеал, порожденный идеалом аугментации алгебры Хопфа й, введенной в п. 6.2.
6.5. В данном пункте ( = р. Применим функтор ЭвРр к Йв и к Пх Эх В. Согласно и. 6.1, получаем в обоих случаях Ур,, и Й становится отображением Фробениуса из п. 6.2. Кроме того, йЭв Рр и й взоморфны как алгебры Хопфа над Рр. Пусть й' = й Эв В. Предложение (Люстиг [1А]). (() Простые й'-модули вараметризуютсл миохсвством (Е/рЕ)" .
(й) Если М является простым й'-модулем, то оп содерхсит В-решетку Мо, которая является й-подмодулем, такую, что Мо ЗвРр имеет у«актер, являющийся простым й-модулем с твм хсе параметром, что и у'М в (Е/рЕ)". Люстиг фактически предполагает, что и н й имеют одинаковые теории представлений (для малых р). В частности, простые й-модули, связанные с М, как указано вьппе, должны иметь ту же размерность, что и М. 6.6. Возвратимся к случаю не обязательно простого ! и рассмотрим категорию С конечномерных Ив-модулей, на которых К~ действует как 1 (можно всегда свести дело к этому случаю). (См. (1 2].) 6.6:1. Простые объекты категории классифицируются доминантными весами.
Действительно, если Л вЂ” доминантный вес, то имеется конечномерный простой И-модуль ЦЛ) над Ц(д) и вектор старщего веса с. Пусть ЦЛ)л является Ил-подмодулем, порождейным вектором о, и )а'(Л) = Ь(Л) л Э.я В. Это Ив-модуль, который имеет единственный простой фактор С(Л). Отображение Л «+ С(Л) является 401 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП биекцией множества Ра на множество классов эквивалентности про- стых объектов в С.
6.6.2. Если М является ««л-модулем из категории С и Л Е Р, Л = л«ш«, Люстиг определяет подпространство веса Л =( «««)««=«,' [ '] =['] « =~,..., ). М является суммой весовых подпространств, и если М = 1У(Л), то размерность весовых подпространств дается формулой Г. Вейля. Для С(Л) эти размерности неизвестны. По аналогии с имеющимися гипотезами для простых рациональных модулей над простыми алгебраическими группами над алгебраически замкнутым полем ненулевой характеристики Люстиг предложил гипотетическую формулу для размерностей весовых подпространств модуля ь(Л) в терминах полиномов Каждана — Люстига аффинной группы Вейля, связанной с (а; ) [1 2].
6.7. В силу аналога теоремы Стейнберга о тензорном произведении все сводится на самом деле к случаю, когда координаты Й«доминантных весов Л таковы, что О < я«< 1 — 1 (Ьоеэ116 [Ь2]). Действительно, доминантный вес Л единственным образом записывается в виде Л = Л'+1Л", где Л" — доминантный вес, а координаты веса Л' заключены между О и 1 — 1. Тогда С(Л) ь(Л') З ь(1Л") как 1«в-модули. На самом деле и' действует в ь((Л") тривиально, и представление ИВ в ь(1Л") пропускается через отображение Фробениуса Рг: УВ -+ УО Э«1 В, так что структура весовых подпространств модуля,С(1Л") известна.
Кроме того, ограничение ь(Л') на и' остается неприводимым, и каждый неприводимый и'-модуль, на котором п( действует умножением на 1, получается именно как такое ограничение. 6.8. Теория представлений алгебры 1«в для случая, когда (а;.) имеет тип А, подробно изучается в [А-Р-Ж1, А-Р-%2, А-%] и в [Р-%]. Андерсен, Поло и Вен ввели для 1«' «алгебру координат«, которая является свободным Е[д]-модулем, я испольэовали ее для развития общей теории индукции.
В частности, они получили аналоги теоремы Серра, теоремы об обращении в нуль Кемпфа для доминантных характеров и формулы характеров Демазюра, а также определили фильтрацию типа Янсена. Они проверили гипотезу Люстига для случая системы корней ранга 2 и для случая, когда (а; ) имеет тип Аэ. За более точной информацией мы отсылаем читателя к их статьям. 402 Марк Россо 7. СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ Результаты данного раздела получены Де Кончини и Кацем [ПСК). Пусть й = С н г — примитивный корень (-й степени из 1. Положим У = 1, если ! нечетко, и У = 1/2, если четно. Предположим, что У ) шах(д») 7.1. Элементы Е~, Р|, Кос, удовлетворяют следующим соотноше- ниям: Е' Рэ = РэЕ', КлгЕа с ' ЕаКлг ~ Р„'Р, = <'д>'Р,Р.', Р' Еэ = ЕдР~, КРР -(к,о)РР КГ д к — г а О ° 0<т;<1, 0<я <1, 0<го<(. (ьч) и,'Лг;=Ее.
(ч) Ео инвариантна относительно автоморфиэмов Т;. Следовательно, элементы Е~, Р~, КЭ~ (а Е В»., Д Е ()) лежат в центре Е, алгебры У,, И Р~~ил порождает в модуле Верма М(Л) собственный подмодуль старшего веса для каждого а б В+ . Диагональный 17;модуль М(Л) определяется как фактор модуля М(Л) по подмодулю, порожденному всевозможными Р~„ол, а Е В».. Из этого непосредственно следует, что элементы Рл '... Рв "и~, где 0 < ть < Г, образуют базис модуля М(Л) над С. Кроме того, при рассмотрении детерминанта контравариантной эрмитовой формы (которую можно специализировать, когда [г[ = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
