Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Предположим, более общим образом, что (А, Е) — квэзитреугольная алгебра Хопфа и П = 2 а; со 6«. Положим и = 2;Я(6«)а;. Тогда иН(и) = Н(и)и находится в центре алгебры А и квадрат антипода Яг в А является'внутренним автоморфиэмом, определенным по и. Предположим, кроме того, что А = Ил. Тогда Яг также является внутренним автоморфизмом, определенным по ехр(Ьр), где р — элемент подалгебры Картана в силу спаривания (, ) .
Таким образом, ехр(-Ьр)и=иехр( — Ьр) лежит в центре алгебры И», и Дринфельд наказал, что этот элемент действует на всем' модуле старшего веса Л путем умножения на ехр [ — » (Л, Л + 2р)] . 3. УНИВЕРСАЛЬНАЯ Н-МАТРИЦА ДЛЯ Ил В этом разделе определение Дринфельда применяется к построению универсальной Е-матрицы. Формула получена для в!(2) Дринфельдом, для в1(1У) в [Ко2) и, наконец, для общего случая Кирилловым-Решетихиным [К-КЗ] и Левендорским-Сойбельманом [1 -81].
Все рассмотрения основаны на конструкции квантового дубля, изложенной ниже. Алгебру Ил (для которой топологическая подаигебра Хопфа И»Ь+ Ь-адически порождена элементами Е«, Н«, 1 < «< и) Дринфельд называет (г11Е-алгеброй'1, т.е. это топологическая алгебра Хопфа над Ь[[Ь]], снабженная Ь-адической топологией, которая является свободным топологическим Ь[[Ь]]-модулем и «классический пределе А/ЬА для которой изоморфен универсальной обертывающей алгебре над Й. В категории 11ПЕ-алгебр можно определить дуальную С)0Е-алгебру в смысле, определяемом ниже. Все тензорные произведения являются полными в Ь-адическом смысле.
3.1. Теореыа и определение (Дринфельд [02]). Нусп«ь А — алгебра Хопфа и Ао — дуальная алгебра Хопфа, снабженная противоположным коумноженисм. Тогда существует едино«пвгнная кваэитреугольная алгебра Хопфа (см. определение 1.3) (Р(А), Н), такая, что (1) Р(А) содержит А и Ао как подалгсбры Хопфа; (й) Н является образом канонического элемента иэ А оо Ао при вложении А ® Ао -ь.Р(А) З Р(А); П С1 о Š— аббревиатур,, соответствующая русскому термину вквантовая универсаяьная обертывающае«. — Прая. еврее. 393 првдставлвния квантовых групп (ш) лииебиое ошображеиие АЗАо ~ Р(А), аЭЬ~-+ аЬ, лвллетлся изоморфизмом коалгебр. 3.2. Метод построения элемента В состоит в нахождении кввзнтреугольной структуры алгебры Иь по квазитреугольной структуре дубля Иьб+.
доказывается, что (ИьЬ+)в изоморфна как ь)ПЕ-алгебра алгебре Иьб (топологической подалгебре Хопфа, Ь-адически порожденной элементами Г„Н; с 1 < ! < п) и что это позволяет построить эпиморфизм алгебр Хопфа Р(ИьЬ+) -+ Иь.
Универсальная В-матрица алгебры Иь есть тогда 9брзз универсальной В-матрицы алгебры Р(ИьЬ+) при этом отображении. З.З. Формула Дрннфельда [П2] для з!(2) такова (д = е "1з): и 4 ~' [п]! х Ехр — Н .Е ® Ехр — — Н .Р 3.4. Общий случай. Заметим, что можно построить, как в п. 2.5, базисы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для Иь64 илн ИьЬ, используя автоморфизмы Т;. Для установления двойственности между ИьЬь н Изб, и вычисления канонического элемента можно, отправляясь от соответствующего базиса для ИьЬь, найти дуэльный базис.
Для этого необходимо определить ьь(Ез) для каждого Д иэ В . Действительно, уже говорилось, что Т; — автоморфизмы алгебр и не сохраняют структуру козлгебры! Тем не менее, основываясь на другой интерпретации Т;, Кириллов и Решетихин, а также Левендорский и Сойбельман (см., кроме того, [Яо2; ЯоЗ, Яо-У]) получили следующую формулу: 3.4.1. Лемма [К-ЕЗ, Е-Я1]. Для всех х из Иь д(Т (х)) — В(1)-'[(Т,, ® Т )Гь(х)] В(1) ЗЭ4 Марк Россо где х Ехр — д»Н; Е» Э Ехр — д»Н» Р» Идея состоит в рассмотрении скрещенного произведения алгебры Ил по действию группы кос и в применении автоморфнзмов Т, в каждом представлении алгебры Ул . Пусть т — антиавтоморфизм алгебр, определенный соотношениями т(Е») = Г», т(Е») = Е», т(Н») = Н».
Для г1(2), если р — конечно- мерное представление (т.е. лежит в свободном л[[Ь]]-модуле конечного типа), то р о т о Я изоморфно контрагредиентному представлению, и Кириллов и Решетняки построили в каждом неприводимом конечно- мерном представлении оператор, который реализует т к Я. Заметим, что это сводится к построению некоторой линейной формы в» в пространстве матричных элементов конечномерных представлений (Ил)' (ограниченном дуэльном пространстве). Используясоотношения между коэффициентами Клебша-Гордана для тензорного произведения двух неприводимых представлений и образом Н-матрицы в том же тензорном произведении, выводим равенство »а(ю) = т 'н»®ю.
Тогда автоморфизм Т реализуется элементом в» = п»Ехр(ааНг). Ваксман и Сойбельман непосредственно построили линейную форму ю как коэффициент некоторого конечномерного представления из (Ил),аа. В общем случае пусть Ил,; является подалгеброй Хопфа алгебры Ил, порожденной элементами Е», г», Н; (и изоморфной Илв1(2)). Беря композицию естественной проекции (Ил)„", -+ (Ил»);„с упомянутой вьппе линейной формой»г, получаем линейные формы»р» и показываем, что соприя»ение с помощью к»» совпадает, на Ил с автоморфнзмом Т». (Эти сопряжения имеют смысл в дуэльном пространк (И.)„"„.) Из приведенной выше формулы для Ь(п») непосредственно вытекает лемма, и, кроме того, скрещенное цронзведение, указанное вьппе, получается как подалгебра дуальной алгебры к (Ил); 3.4.2.
В этой ситуации можно показать, что дуэльный базис к базису типа Пуанкаре-Биркгофа-Витта алгебры Ила+ является, с точностью до скаляра, базисом типа Пуанкаре-Биркгофе-Витта алгебрь1 Иле, и методом квантового дубля получается ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП Теорема [К-НЗ, 1 Б1). Справедливо соотношение В ( а 9-»(»-!)/2Е» (т! Р» ВХр ~ ~ Е В Вг Н 1(1 2)» /(т [П], а а «[ ~2~ «гл+ т т где произведение беретпсл в соотпветстпвии с линейным упорядочением множесптва В+, заданным с помотаью приведенного разложения злементпа юо, 9 = Ут, если о принадлезситп орбитпе корня а! под действием группы Вейлл и (ВВ) — матрииа, обратная к метрике (дта! ). 4. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ рт+! В = е ~~, Еи Э Ет + ~ ЕВ ® Ед! +,~ Ет,' З Еи .
т«1 тат 1>т В этом случае макке рассмотреть тензорные степени фундаментального представления и изучить коммутант алгебры 14 . Этот коммутант всегда содержит сдвиги элемента В: В; = 1й!... 81 В ВЭ1Э ... ® 1 (В действует в позициях (т, т+ 1)), которые определяют представление группы кос типа А. Это представление факториэуется по некоторым конечномерным алгебрам, и В! иа самом деле порождают весь коммутант. Определения. 1) Алгебра 1екке т(р(е) — это ассоциативная С-алгебра, определенная элементами дт,, ур ! н соотношениями 9!9( = 919! [( — 1[ > 2, У!у!+!У! = 9(+туту!+! 92 = (е — 1)9!+с.
(Н1) (Н9) (НЗ) Вернемся к алгебре Ит с й = С и е, не являющимся корнем из единицы. Предположим, что (атт) — матрица Картана классической простои алгебры Ли (например, типа А, В, С, 1!). Фундаментальное представление старшего веса от! задается теми же формулами, что и в классическом случае (с очевидными изменениями для тт, ~). Образ В-матрицы в этом представлении найден Джимбо раньше, чем появилось понятие универсальной В-матрицы ([31[; по существу им даны те же формулы для В со спектральным параметром, и В, равное константе, получается путем надлежащего предельного перехода). Сохраним за ним обозначение В. Например, для (а,т) типа Атт имеем (Етт обозначают базисные матрицы) Зуб Марк Россо 2) Алгебра Бармен-Муракани-Вениаа [В-Ж, Ми] — это ассоциативнал С-елгебра Ср(г, е), порожденная элементами дт..., др т, которые предполагаются обратимыми, и следующими соотношениями: приведенными выше соотношениями (Н1), (Н2) н соотношенкями -1 е;д; = т ет, (Н1) где ет определяются условием (е — е ')(1 — е;) = д; — д, '.
Эти две алгебры можно снабдить следами, обладающими так называемым свойством Маркова [до, Не1, Тп, %е]. Они играют важную роль в теории полиномиельных инвариантов зацеплений (полиномы НОМРЬУ для первой и полиномы Кауфмана для второй). Следующий результат получен Джимбо для (атт) типа А [ЛЗ] и Решетихиным для (атт) типов В, С и Р [Ве1].
Теорема. (т) Пустое (а; ) имеетп тип А и (р, 1т) — фундаментальное предстпавление алгебры 1те. Тогда операторы еВ;, 1 < т < р — 1, дет1- ствуютиие в 1тиР, определяют предстпавление алгебры Гекке Хр(ег), и образы алгебр Хр(ез) и 14 в Епб()тио) в точности являютпсл коммутпантами один другого. (й) ПУстпь (атт) имеетп тпип В, С иеи Р и (Р, Ьт) — фУндаменптальное предстаавление алгебры У,. Тогда операторы В, (1 < т < р — 1), дет1ствуюитие в 1т®Р, опредеялют представление алгебры С„(т,ег) с т = ег", если (аи) имеет тпип В„, с т = — е(г" Отг, если (ату) имеет тип Р„, и с т = -е ~'"+'~, если (атт) имеетп тпип С„.
Образы аягебр Ср(т, ег) и 1,1е в Епт(()т®Р) являютпся в каксдом из зтит случаев коммутантпами один другого. 5. КОМПАКТНЫЕ КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ Здесь й = С, а е не является корнем из единицы. Вьппе упоминалась алгебра Хопфа (14);ее матричных элементов конечномерных представлений. Можно представлять себе, что она заменяет алгебру регулярных функций на соответствующей комплексной алгебраической группе. В классической ситуации это в точности алгебра представляющих функций на ассоциированной компактной группет>, и эта алгебра плотна в С'-алгебре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
