Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 78
Текст из файла (страница 78)
На представлениях размерности 4 имеется отношение частичного порядка: если T, Ъ" — два таких представления, то полагаем Р ( $", если орбита представления Р при действии Со в Ео включается в замыканке орбиты представления Р'. Доказательство сюръективности морфизма Е основано на индукции по 4 н на частичном упорядочении, определенном выше (см. [Ьи1, Бес. 5)). Существует естественное отображение (симметризация) Зс 11 -+ Яд, определенное единственным образом условием Т(х") = х" (это отображение в действительности определено для произвольной обертывающей алгебры). Отображение у есть изоморфиэм векторных пространств. Обозначим через КЩ функцию разбиения Костанта, т.е.
число способов записать 4 в виде суммы отрицательных корней с целыми положительными коэффициентами. Используя симметризацию Т, получаем дпп(7о — — К(д) . Обозначим через йо подмножество в й, образованное классами неразложимых представлений. Так как неразложимые представления соответствуют отрицательным корням (теорема Габриэля), то число элементов в йо также равно К(4). Кроме того, пространства Сйо и (1о имеют одну и ту же размерность.
Следовательно, В есть иэоморфнэм. Далее, изоморфизм Рингеля отождествляет 11 с алгеброй Сй, которая имеет естественный базис, а именно й. Этот базис не является каноническим в смысле Люстига, так как зависит от выбора ориентации графа Дынкина. Как мы увидим в следующем разделе, конструкция Люстига является модификацией предыдущей конструкции. Пример 4.3. Вычислим базис Рингеля в случае, когда 1 имеет тип А1 (случай, когда 1 сводится к точке).
Алгебра Ли В(1) изоморфна я!(2), и ее базис составляют элементы е, 1 и 6 (так как здесь имеется лишь один индекс, то мы его опускаем). Для каждого целого 368 Оллвье Матье числа е( пространство Пе сводится к одному элементу. Обозначим через Р(И) соответствующий элемент из 11 . Обозначим через дж..а(д) число векторных подпространств размерности Ь в Й~, факторы по которым имеют размерность а. Это число всегда равно нулю, исключая случай И = а+ Ь. Это соотношение отныне будет предполагаться выполненным. Тогда дне а(д) есть число Ь-точек грассманиана С(е(, Ь) векторных подпространств размерности Ь в я~.
Разложение Брюа есть разложение многообразия С(е1, Ь), страты которого изоморфны векторным пространствам. Следовательно, дае а(д) = 1 а„д", где а„ есть число стратов размерности и. Так как число стратов размерности та не зависит от характеристики, то мы видим, что в этом случае дие а(д) есть многочлен от д. Явные формулы для коэффициентов а„ сложны, однако известно, что общее число стратов равно Ы!/о! Ы (это число элементов в Ее/Я, х Яа). Значит, мы имеем див а(1) = е()/о! Ь! . Отсюда мы выводим, что базис Рингеля образован элементами вида /л/ Замечание. Здесь мы приводим специализацию многочленов Рингеля дг,ю, к ° (д) при д = 1.
В действительности теорема Рингеля является более точной. Теорема 4.1 позволяет определить структуру алгебры на. СП <В С[д). Рингель отождествил эту алгебру с некоторой замечательной подалгеброй квантовой обертывзющей алгебры Джимбо и Дринфельда. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КОНСТРУКПИЯ БАЗИСА В В этом разделе приняты те же обозначения, что и в предыдущем. Предполагается заданным граф Дынкина 1, снабженный ориентацией, и через С обозначен соответствующий колчан. Конструкция базиса В зависит от выбора ориентации, но не сам базис. Здесь в качестве основного поля выбрано поле С, а не конечное поле й. Пусть е(: 1 -+ Х, и пусть г Е Ее. Напомним, что группа Се действует на Ее.
Обозначим через Се(т) стабилизатор точки г относительно группы Се. Из односвязности,графа 1 вытекает, что группа Се(т) связна. Пусть Х вЂ” замыкание орбиты О группы Се в Ее. Комплекс когомологий Горески — Макферсона 1С(Х) есть неприводимый Се-эквивариантный извращенный пучок на Ее. Обратно, из конечности числа Се-орбит в Ее и связности стабилизаторов вытекает, что всякий извращенный эквивариантный пучок на Ея является пучком когомологий Горески-Макферсона замыкания орбиты. Обозначим через Ря множество неприводимых эквивариантньп~ извращенных пучков на пространстве Ее, и положим Р = ПРе. Пусть СР— векторное пространство с базисом Р. Как утверждает Люстиг,на СР, существует естественная структура ассоциативной ал- БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП 369 гебры.
Для определения умножения фиксируем д, д', до Е г(~ и рас- смотрим следующую диаграмму: Еи х Ев <~- Е' — + Ео — + Ев, определенную следующим образом. Напомним, что мы раз и навсегда выбрали векторные 1-градуированные пространства Г, Е', Ео размерностей соответственно д, У, до. Точка пространства Ев — это по определению представление колчана С на Г. Точка пространства Ео — зто задание представления колчана С на Р и подпредставления Уо размерности д". Точка из Е' — это задание представления С на Е, подпредставления У" размерности д" и двух изоморфиэмов векторных пространств ух У'о -+ Ео и р'. г7Г -+ Р'.
Отображения ,3, В', Во являются естественными. Группа Св х Си х Св действует естественно на многообразиях укаэанной выше диаграммы, и, кроме того, (а) отображение В' является главным расслоением с группой Св х Св; (Ь) отображение )3 является локально тривиальным расслоением с гладким слоем; (с) отображение Во собственное. Пусть Р Е Рв, Р" Е Рв . Из утверждений (а) и (Ь) вытекает, что существует извращенный пучок Я на пространстве Е", такой, что ~3" Я = Д'(Р Э Ро) . Иэ теоремы Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера вытекает, что имеет место разложение ~3," Я = ® Р З Ар, где Р пробегает Рв и Ар — градуированные векторные пространства.
Умножение Люстига на СР тогда определяется следующей формулой: Р. Ро = ~ йш(Ар) Р. Для всякого г Е 1 обозначим также через г) единственный элемент иэ Р, отвечающий простому корню де. Теорема 5.1 (Люстиг). Существует изоморфиэи олгебр 1' С -+ СР, переводящий образующие 1< в Ре. Так как алгебра СР имеет естественный базис (а именно Р), то сформулированная теорема позволяет указать базис В подэлгебры С . Доказательство этой теоремы основывается на рассуждениях, аналогичных рассуждениям в теореме Рингеля.
Доказательство следующей теоремы имеет совершенно другую природу. Оно основано 370 Овввье Матье на результатах Девине, касающихся геометрического преобразования Фурье. Теорема 5.2 (Люстиг). Базис В леллетпсл каноническим, тп. е. он не зависитп отп выбора ориентпации графа Дынкина 1. Размерность векторного пространства есть целое положительное число. Следующая теорема, которая является непосредственным следствием формулы, определяющей умножение в СР, показывает, что топологический подход является более точным, чем элементарный. Теорема 5.3 (Люстиг).
Произведение 6. в' двух элеменптое канонического базиса В есть линебнал комбинация с целыми положительными коэффициентпами элементов из В. В действительности Люстиг доказал аналогичный результат для копроиэведения [ЬиЗ]. Кроме того, векторные пространства Ар в формуле, определяющей произведение, являются И-градуированными. Следовательно, на СР З С[д, д т] можно ойределить структуру алгебры. На самом деле результаты Люстига являются более точными, так как он отождествляет эту алгебру над С[о, о '] с замечательной поделгеброй квантовой обертывающей алгебры. Пусть о: 1 -ь Х, и пусть х — вектор старшего веса в Ци). Пусть, далее, тт„: У -ь Ци) — отображение, определенное по формуле ев(и) = и.х для и Е У .
Из теоремы Пуанкаре-ВиркгофаВитта вытекает, что отображение ев сюръективно. Положим В„= (и Е В [ тт„(и) ф О), так что е„(В„) порождает векторное пространство 1,(о). Теорема 5.4 (Люстиг). Длл всякой функции е множество лв(В„) есть базис в Це). В дальнейшем изложении обозначим, кроме того, через В„базис в к„(В„). Пусть т', Ъ" — два простых конечномерных 0(1)-модуля. Тензорное произведение тт бь Г полупросто. Разложить это тензорное пРоизведение — это значит ОпРеделить пРостРанство Нопзв00 ( т" ® Ъ", Е(о)) для любых о.
Существуют единственная функция и: 1 -+ М и ненулевой вектор у модуля тт, такие, что ет. у = 0 и и,. у = и(Ь<) для всякого в 5 1 (вектор у является вектором старшего веса и единствен с точностью до скалярного множителя). Аналогично, существует единственная функция ит: 1 -+ Я и ненулевой вектор г модуля тт, такой, что 1;. г = 0 и йт. г = то(йе).
г для всякого в Е 1 (вектор г является вектором младшего веса и единствен с точностью до скалярного множителя). Обозначим через Ци)[и + ю, и] надпространство в Ь(о), образованное элементами тп пространства Ци), БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП 371 такими, что 51. тп = (и+в)(51).Гп и (с)~ЫП+1. ти = О. Следующая лемма хорошо известна. Лемма 5.5.
Ошображскис Нош П1(5' Э Ъ", Ци)) -+ Ь(е)[и+ и,п], переводящее д в д(р Э г) (экачвкис в шочкс (у Э л)), *вллсшсл иэоморфвзмом. Следовательно, представляет интерес нахождение базисов А модулей Це), таких, что для любых п: 1 ~ г1 и кп 1 -в Е множество АПЬ(е)[и+и, и] является базисом в Ци)[п+е, и]. По лемме 5.5 такие базисы обеспечивают разложения тензорных произведений. Базис А, удовлетворяющий указанным выше условиям, называется хорошим базисом. Существование хороших базисов в общем случае было доказано в [М], но до работ Люстига явное построение хороших базисов было известно лишь для ЯЬ„благодаря работе Кончини и Каждана [1ЗК]. Теорема 5.6 (Люстиг).
Базис В„лвлвствсл хорошим. Наконец, Люстиг получил комбииаторное описание множеств А Г1 Цо)[и + и, и], что позволило ему дать новые комбинаторные формулы для кратностей тензорных произведений и комбинаторно описать пространство ковариантов тензорных произведений трех модулей. б. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ БАЗИСЫ КАСИВАРЫ И ЦВЕТНЫЕ ГРАФЫ Пусть д — простая конечномерная алгебра Ли. Для простоты предположим, что это одна из алгебр В(1) из равд. 1.
На самом деле теория Касивары построена для любой симметризуемой алгебры КацаМуди и нет существенной разницы между частным случаем, рассмотренным ниже, н общим случаем. В работах [Ка1] и [Ка2] Касивара дает конструкцию базисов конечномерных простых представлений алгебры д(1) . Как и элементарная конструкция Люстига, конструкция Касивары существенным образом основана на использовании квантовых обертывающнх алгебр Дринфельда и Джимбо. Впрочем, Люстиг показал, что базисы Касивары совпадают с теми, которые получил он [Ьи2]. Следует отметить, что построения и доказательства Касивары элементарны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
