Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Читатель найдет в статье [С-К-2 3] более подробное описание многогранника 1чу«(Р(Р)) . Случай «малочлена» аналогичен: мы предоставляем читателю возможность в качестве развлечения убедиться, что дискриминант полинома х» + рх + д равен — (4ра + 27да) . Заметим, что простой общей формулы для коэффициентов цри неэкстремальных мономах дискриминанта Р(Р) неизвестно. 3.2. Результант двух полиномов от одной переменной. Пусть т,п ) 1 и Р(х) = аох + . + ае«, Я(х) еа 6ох" + .
+ 6„— два полинома от одной переменной. Результант Я(Р, Я) по определению равен ап6е П(сૠ— «»»), где а«(соотв. )33) — корни Р (соотв. Я) в алгебраическом замыкании. Это полинам от а; и 6; с целыми коэффициентами. Пусть А = ((«, 0), («, 1); «6 (О,..., «и), у 6 (О,..., и)) . Несложно проверить, что 1«(Р, Я) = х«3Л . Отношение эквивалентности, вве- ' денное в п. 2.6.2 на триангуляциях, в этом случае можно описать сле-' дующим образом; это отношение эквивалентности, порожденное отношением Т ш Т', если Т' получается из Т путем разбиения одного] из треугольников на два треугольника. Далее, можно проверить, что, все триангуляции регулярны.
Назовем триангуляцию базисной, если' объединение двух треугольников никогда не являетсл треугольником.[ Каждый класс эквивалентности из 7о(А) содержит единственный ба,, зисный представитель. Обозначим через В(А) множество всех базис-~ ных триангуляций. если т 6 В(А), можно проверить, что вектор Фт[ равен (р(Т), д(Т)), где р(Т) 6 Е +«, д(Т) 6 Е"+' заданы следующим] образом: р;(Т) = [6 — с[, если в Т существует треугольник с вершй[ нами («, 0), (6, 1) н (с, 1); в противном случае р«(Т) = О. Точно та~ ВтОРИЧНЫ6 ЫНОГОГРДННИКИ И ДИСКРИМИНЛНтЫ 343 ао а! аг 0 0 ао а! аг ь. ь, ь, о о ь.
ь, ь, = аозьз з+ аоазьз! — аз а! Ь! Ьэ + аз! Ьоьз + а~зь~о — а! азьоь! — 2аоазьоьз . Н(Р,(„>) = Все манамы, кроме последнего, соответствуют вершинам многогран- ника Уи(ИР, Я)) . Есть ровно шесть базисных триангуляций множе- ства А, котоРые отвечают соответственно мономам аозь~~, аоа»6»ьз, а»Ьоьз, оззьо, а»азьо6! и аоазьз! (см. рисунок). 3.3. Детерминанты. Обозначим через (е»,...,е,„) канонический базис в К'", а через (у»,..., у„) — в К". Пусть А = ((е», у!); » 6 [т], 1 6 [н]), Легко проверить, что полинам ЕлЦ) с точностью до знака Равен произведению миноров всех порядков матрицы (су), если У = Ес»»х»у! 6 С[х»,...,х,„,у»,...,у„!.
Если т = н, то»14(1) равен (с точностью до знака) определителю квадратной матрицы (си) . же д,(Т) = [Ь вЂ” с[, если в Т существует треугольник с вершинами (у, 1), (Ь, 0) и (с, 0); в противном случае у! (Т) = О. Из теоремы 2.6.3 вытекает следующий результат: Теорема 3.2.1 [С-К-Е 3]. Отображение Т»-» (р(Т),д(Т)) .является Биенцией между В(А) и множеством вершин многоеранника !1и(К(Р, Я)) . Козу»фициенты соответствую»цих мономов равны Ы. Множество пар (р(Т), д(Т)), Т 6 В(А), можно рассматривать как множество»монотонных путей» на решетке Е~, соединяющих точки (О, 0) и (т, и) (см.
[С-К-Е 3]). Можно вычислить знаки коэффициентов крайних мономов результанта В(Р,!'!)! согласно ([С-К-Е 3, Ргор. 15]), коэффициент при манаме, отвечающем триангуляции Т, равен ( — 1)ю+зт+'"+ о", где р(Т) = (ро,...,р ). Этот результат вытекает из теоремы 2.5.2, но в [С-К-Е 3] приведено его прямое доказательство. Фактически в [С-К-Е 3] дана формула для коэффициентов при всех мономах результанта В(р, д) в терминах комбинаторных функций, связанных с симметрической группой. В качестве иллюстрации разберем явно случай т = п = 2.
Мы имеем 344 Франсуа Л«зер Это наблюдение позволяет определить, следуя Кали, «гипердетерминант «1-мерной матрицы«[С-К-Е 5]: если А — семейство наборов (ец;,,..., еж««) Е В."'+"'+"', «л Е [па], где (еа «,);ае(„) — канонический базис в В."", и С = (с;, .,;,);,еИН то положим Ое$С = хсал(ус), где ус — полилинейнзя форма, соответствующая С. В работе [О-К-с 5] доказано, что Ьд(~с) у4 х1 тогда и только тогда, когда па <,>„у~а и — ««для всех к. 4.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Ел 4.1. Напоминание о «(ей и Р1«с [Кп-М]. В этом пункте мы вкратце приведем конструкцию из «Кп-М] в общности, меньшей, чем в этой статье, но более чем достаточной для настоящей работы. Определение 4.1.1. Совершенным комплексом над схемой Х называется комплекс Ох-модулей, который локально по Х квээиизоморфен ограниченному комплексу свободных бх-модулей конечного типа. Обозначим через Раг1х полную подкатегорию производной категории категории Ох-модулей, объектами которой являются совершенные комплексы. Согласно Гротендику, Феррану и Кнудсену-Мамфорду [Кп-М], существует естественный функтор «детерминант«, который объекту У" категории Раг(х ставит в соответствие некоторый свободный бх-модуль ранга 1, обозначаемый через бес(У') .
В дальнейшем мы считаем, что Х непрнводима и регулярнж Пусть Л: Е[ ~ Ез — некоторый морфизм ограниченных комплексов свободных Ох-модулей конечного типа. Предположим, что Л— квазииэоморфизм в общей точке схемы Х, и обозначим через У(Л) открытое множество, над которым Л является квззииэоморфизмом. Выбирая базисы в Е,', получаем изоморфизмы Ох -+ де«(Е;) и бес(Еа):-+ Ох .
В композиции с бес(Л): бес(Е[) -а «(е«(Еа) получаем морфизм Ох -+ бх, являющийся нзоморфизмом над У(Л) . Он определяет сечение в в Г(У(Л), О'„), и уравнение в = 0 задает дивизор Картье на Х, обозначаемый через О(у(Л) . Этот дивизор не зависит от выбора базисов. Эта конструкция распространяется на те морфизмы Л; У' -+ м" категории Раг(х, которые являются кввэиизоморфизмами в общей точке схемы Х. В частности, если У" Е Раг1х точен в общей точке схемы Х, то, применяя ее к нулевому отображению 0 -+ У", мы получим дивизор Пп У" = 01у(0 -+ У") . Свойства функтора О1у подробно изучены в [Кп-М]. Одно из наиболее важных — следующее: ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 345 Предложение 4.1.2 [Кп-М].
Пустпь У" — совершенный комплекс О»-модулей, точный в общей точке схемы Х. Для любого неприво- димого дивизора В на Х обозначим через Ох,р локализацию кольца О» в 11, и пусть тр: Бресбх,р — ь Х. Кольцо бх,р есть кольцо дискретного нормирования ранга 1, и тр(Н'(У')) сутпь Ох р-модули кручения; обозначим через тр(У'') их длины, и пустпь тр(У") 1 ( — 1)'тпр(У'). Тогда В!Т(У") =) тр(7')О.
4.2. Мы опять предполагаем выполненным условие (*) иэ п. 2.1. Пусть А — некоторое конечное подмножество в Е", А = (ат,..., а„) . Пред- положим, что существует СВ-линейная форма Ь: СВ» -+ !4, такая, что А с Ь '(1) . Предположим, что дана полугруппа конечного типа 5 С Е", содержащая начало координат, такая, что (!) если в Е 5 — ненулевой элемент, то Ь(в) > 1; (!!) А содержится в 5 й Ь '(1) и К+А = К+5; (ш) решетка М(5), порожденная полугруппой 5, такова, что Е-модуль Е»/М(5) свободен. Пусть 5; = 5 П Ь '(т) и М = Е" — целочисленная решетка. Для целого положительного т и р Е Е положим Л*(р) = (Лтв»(С»))""+т.
Для а Е А определим дифференциал д,: Л'(р) — т Лт ы(р) по формуле (д, у)(и) = а Л у(и — а), считая, что Т(и — а) = О при и — а ф 5ьь».ьр. Если у = 1 („)с хтч лежите Ъ', положим ду = ~ 1 !„! с д„т Для каждого р мы таким обра- зом получаем ограниченный комплекс свободных ОР-модулей конеч- ного типа Л'(р)Р на Ъ'.
На самом деле, так как на Л'(р) имеется це- лочисленная структура, то, полагая Л'(р)х = (Л'~" (М))~'+'+т, можно точно так же задать'Вграниченный комплекс свободных ОР -модулей конечного типа Л'(р)Р над )тх = БресЕ[ст]. Эти комплексы, зави- сящие от А, 5, М, мы будем, если понадобится, обозначать через Л'(р)(А, 5, М)гя,.... 4.3.
В этом пункте мы интерпретируем полинам Ел геометрически как уравнение, задающее дивизор П!т, соответствующий комплексу л (р): Теорема 4.3.1 [6-К-Е 2]. Предположим, что А удовлетпворлт усло- виям (*). Тогда для больших р комплекс Л'(р)(А, 5(А), М)Р точен в общей тпочке схемы ттх и О!Т(Л'(р)(А, 5(А), М)Р ) есть дивизор, задаваемый уравнением Ел = О. Доказатпельстпво. (1) Покажем, что для для больших р комплекс Л'(р)(А, 5(А), М)гя точен в общей точке пространства Ъ', и его О!ч 346 Франсуа Лазер задается уравнением Ел = О. (Эта часть доказательства остается верной, даже если (*) не выполнено; надо лишь заменить целочисленную решетку М на М(А)). Легко видеть, что Л' = ®Л'(р) как модуль над кольцом С1Я(А)). Поэтому ему отвечает пучок У(Л') на Хл = БресС(о(А)).
Пусть я: Хл -+ Хл — нормализация Хд (Хл = ЯресС[В~.Я(А) О М]). Обозначим через Е замкнутое множество Хл '1 Х~~ (это объединение (С")~-орбит корэзмерности > 1), и пусть Я' = я '(Я). На нормальном торическом многообразии Хл рассмотрим пучок дифференциальных (алгебраических) 4-форм с логарифмическими полюсами вдоль Е' (определение см., например, в (Р1); обозначим его через П'„, (1оя Е'), Положим й»„(1оя Е) = я,йд, (1о~Е'). Из описания пучка й», (1обГ), приведенного в (Ц, следует, что й~~„(1обЯ) канонически иэоморфен У(Л') над Хд ~(0); градуировки на сечениях пучков У (Л') и й»„(1об Я) соответствуют друг другу' благодаря наличию конической структуры на Хл.
Далее, дифференциал Ыу соответствует внешнему умножению на ф. Непосредственно вкдно, что если ЕлЦ) ~ О, то (П' „(1ояЯ), фЛ) ацикличен над Х С (0). Поэтому для больших р получаем, что Л'(р) (А, 5(А), М) ~ точен в общей точке пространства Ъ' и что соответствующий дивиэор Р!ч не зависит от р. Отсюда также следует, что неприводимые компоненты дивиэора 01» имеют вид Ьдо,, где т — грань многогранника Я(А).
Поэтому для больших р можно написать 01~(Л (~НА Я(А) М) ) = П ~й . Осталось показать, что д(т) = т(т, Я(А)). Для этого рассмотрим (й»(1оя Я), с(1Л) как комплекс пучков на Ич х У, который обозначим через П'. Каждой грани т многогранника Я(А) поставим в соответствие торическое подмногообрэзие Х(г) в Хл С Ъ'", заданное уравнениями р; = 0 при а; К т. Обозначим через Т; его конормальное пространство, содержащееся в кокасательном пространстве Т'У" (по определению Т; есть замыкание конормального расслоения к множеству гладких точек многообразия Х(т)). Будем рассматривать Т; как подмножество в Ъ'" х Ъ', отождествляя У~ х У с Т"У".
Стандартные рассмотрения кратностей, как в предложении 4.1.2, показывают, что д(т) равняется альтернированной сумме кратностей цучков Н'(П') в общей точке пространства Т;. На последнем этапе доказательства используются Р-модули. Обозначим через Рк кольцо алгебраических дифференциальных операторов на Ъ'", и пусть Е— фильтрация по порядку оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
