Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В свою очередь, (2) непосредственно вытекает из предложения 7.4.2, теоремы 8.2.1 и следующей (легкой) леммы. Лемма 9.2. Пусть 1 — мономиальный (порожденный мономами) идеал в С[у1,...,у„]. Неприводимьте (р — 1)-мерные компоненпиа схемы БресС[ут,..., у„](1 сутпь 1 при [о[ = р. Пустпь т = [1,...,и) — о и т' С[ут,..., у„] -«С[у;];е — гомоморфизм, отоБражающий у; при т Е о в 1. Кратностпь компоненты 1., в БресС[ут,..., у„]/1 равна числу мономов отп у,, т й г, не содержащихся в у(1) .
Согласно (2), компонента формы Яул, соответствующая Т б 7е(А), имеет вид СП т[о]™е. Мы получаем, что С = х1, замечая, что (2) остается в силе над Е/рЕ для простого р. П 10. ВТОРОЕ ЙОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.5.1 В этом разделе мы покажем, следуя [К-Б-Е], как по-другому получить результаты равд. 2, используя результаты предыдущего раздела о формах Чжоу.
Сравнивая комплексы Кошуля иэ равд. 4 и 7, мы получаем, что / дУ д,Г '1 Ед = хТ«у„[ хт —..., хь — « . "[, Б*,"' Бх/ вторичныв многогранники и дискриминднты 357 ЛИТЕРАТУРА ВсПега 1., Р)11)шав Р., Зсогш1е!в В., Сопл!гесс)опв апй сошр)ехну о) весопйагу ро)усорев, АсЬ, ш МасЬ. 83 (1990), 155 — 179. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий. — УМН, 1978, т. ЗЗ, еып. 2, с. 85-134. Гельфанд И.
М., Зеленинский А. В., Капранов М. М. Гипергеоме- трические функции и торические многообразия. — Функц. ана- лиз и его прилои., 1989,т. 23, вып. 2, 12-26. Гельфанд И. М., Зелевииский А. В., Квпранов М. М., Дискримн- нанты многочленов от многих переменных и триангуляции мно- гогранников Ньютона. — Аюебра и анализ, 1990, т. 2, вып. 3, с. 1-62. Се)!авй 1. М., Каргавоч М. М., Ее)еч)ввЬу А. Ч., 5)еисов ро1усорев авй СЬе с)авв)са) гевц!СавС апй ймснш)пав!, Айч. ш МаСЬ. 84 (1990), 237-254.
Се16шй 1. Мг Каргавоч М. М., Ее)ечшвйу А. Чо Севега))вой Ео!ег шге8га1в аай А-Ьурег8еошегпс 6шсС)овв, Айч. ш МаСЬ. 84 (1990), 255-271. Гельфанд И. М., Зеленинский А. В., Капранов М. М. Проективно- двойственные многообразия и гипердетерминанты. — ДАН СССР, 1989, т. 305, №6, с. 1294 — 1298. СеИапй 1. М., Каргавоч М.
М., Ее!еч!пв1су А. Ч., 1))вспшшапгв, гово)ганге, апй пш)С)й)шева)опа) йеСепп)павСв, ВЫгЬапвег, ВовСоп, 1994. Каргапоч М. М., Ясигш)е)в В., Ее)еч)ввйу А. Ч., СЬои ро!угорев апй 8епега1 гевонынв, )уоЬе МасЬ. 3. 67 (1992), 189-218. Квовйеп рч Мош)огй Пч ТЬе рго]есспйсу ог СЬе шойп)! красе ог веаЫе согчев 1: Рге!)шшапев ов "йеС" авй ")У)ч", МаСЬ.
Ясавй. 39, 19-55 (1976) . [В-Р-8) [С-К-Е 1) [С-К-Е 2) [С-К-Е 3] [С-К-Е 4] [С-К-Е 5] [С-К-Е] ) [К-В-Е) [Кп-М) О Добавлено при переводе. — Прем. ред. (Это соотношение можно проверить прямыми вычислениями.) Теперь заметим, что (и х Ь)-матрица коэффициентов (хг д//дхг,..., х» д//дхь) имеет в качестве строк векторы с;а!.
Символу Плюккера [сс...св) в Яу, при отображении р' соответствует минор йеС(с;„) в Аул и, значит, выражение йеС (а;,,..., а;„) сц ° ° . с;, в Ел . Поскольку йеС(а;,,..., ас„) Равен объемУ симплекса д, гДе а = (сс,..., св), мы получаем (чо1 д) с, . Таким обрезом объясняется происхождение коэффициента (чо18)чм в формуле для Еяс показатель появляется как кратность, а другой объем появляется из символа Плюккера! Итак, мы получаем теорему 2.5.1 в качестве следствия из теоремы 9.1. Несколько большими усилиями можно аналогичным образом получить теорему 2.5.2, пользуясь замечанием 7.4.3.
358 Франсу» Д3аер [К] КооаЬшгеойо А. С., Ро!уЫтеа бе Неачсоа е$ аошЬтез бе М11аот, 1ачена МаСЬ. 32, 1-31 (1976). [8) 8топЫе1а В., СгоЬнег Ьааеа о1 сопс чапет! еа, 'УоЬойн МатЬ. 2., Вет. 2 43 (1991), 249-261. [Ч] Виро О. Я. Склеивание алгебраических гинерноаерхностей, устранения особенностей и построения кривых. — В кнс 1руды Ленинградской меидун. топологической конфереянви.
— Лс Наука, 1983, с, 149-197. БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП (по Касиваре, Люстигу, Риигелю и др.)1> Оливье Матье О. ВВЕДЕНИЕ Пусть л — простая конечномерная алгебра Ли над С, и пусть У вЂ” простой конечномерный д-модуль. Естественно поставить вопрос о нахождении в явном виде канонического базиса и-модуля У. Попытаемся корректно поставить эту задачу. Пусть С вЂ” группа автоморфнзмов структуры (9, У) . Связная компонента С~ группы 6' — это произведение присоединенной группы Ад алгебры а на группу С' гомотетий 9-модуля У.
Такая непрерывная группа не может оставлять ннвариантным базис 9-модуля У. В салу этого, чтобы получить в явном виде базис В д-модуля У, к структуре (д, У) необходимо. добавить дополнительные данные И. Такой базис заслуживает названия канонического, если, с одной стороны, дополнительные данные 6 определены единственным образом (с точностью до автоморфизма) и если, с другой стороны, подгруппа Г группы С, состоящая аз автоморфизмов, стабилизирующих д, переставляет элементы базиса В.
Эти условня можно записать в виде 0 = Г к его и Г.В = В. В этой статье будут представлены главным образом работы М. Касивары и Г. Люстига. Дополнительные данные д, которые составвпот существенную часть представления алгебры д, и задание вектора старшего веса х и-модуля У будут описаны в первом разделе. Затем будут представлены три конструкции базиса В: 1) элементарная конструкция Люстига (см.
равд. 3), 2) топологическая конструкция (по Люстнгу, равд. 5), 3) элементарная конструкция Касивары (нли кристаллический базис, равд. 6). Элементарная конструкция Люстига существенным образом использует теорию квантовых групп (или, более точно, теорию квантовых обертывающнх алгебр Дринфельда и Джимбо). Она основана на теореме существования и единственности, формулировка (но не доказательство) которой элементарна. располагая лишь этой теоремой, трудно представить себе сам базис. Топологическая конструк- г>мавп1вп Обе! ег. Вовсе дев герг4вепга11опв дев ягопрее в1гпр1ев сопгр1ехее (д'аргьг КааЫчага, 1пвв11рь Н1пяе1 М а1.).
— 94пппмге Вопгьа1г1, 1990-91, пе743, АМАгЬчпе, 201-202-203, 1991, 421-442. Оливье Матье 360 ция, основанная на теории представлений колчанов (см. Рззд. 2), приводится в совершенно явном виде. Эта конструкция дает также базисы представлений квантовых групп, однако квантовая теория в ней существенным образом не используется. Элементарная конструкция Касивары имеет общие черты с конструкцией Люстига, однако дока зательства Касивары совершенно элементарны. Наконец, будет показано, что эти базисы удобны при работе с тензорными произведениями и связаны с новыми формулами кратностей (см, равд. 5 и 6).
Кстати, эти базисы интересны для теории представлений алгебраических групп в конечной характеристике. Проблема явного нахождения базисов представлений простых групп — это классическая проблема, имеющая многие замечательные приложения. Для того чтобы эта статья не превысила разумный объем, упомянем их лишь мимоходом. Не претендуя на полноту списка, я хотел бы отметить работы Ходжа (базисы для о1 (п)), теорию стандартных мономов Лакшмибан, Мусили и Сешадри [ЬВМ] (базисы для классических групп), базисы Гельфанда-Цетлина (случай оь(п)), комбинаторные базисы Кончини и Каждана [ПК] (для о1(п)), построение хороших базисов (Гельфанд и Зелевинский для о1 (п), см.
[ВЕ], Ретах и Зеленинский для ор(4), [М] в общем случае), конструкции базисов для обертывающих алгебр (Бейлинсон, Гинзбург [ПЛ], Люстиг, Макферсон [ВЬМ], Рингель) и базисов для о1(п) Каждана и Люстига, связанных с комбинаторикой (Гройновски и Люстиг). Отметим также, что канонические базисы определяются и для симметризуемых алгебр Каца-Муди. Напомним, что отыскание базисов в явном виде для представлений аффинных алгебр являлось предметом многочисленных исследований, связанных с теорией вершинных операторов (работы Френкеля, Каца, Каждана, Леповского, Мисры, Примка, Вилсона).
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ Пусть 1 — неориентированный граф, т.е. даны конечное множество 1 элементов и множество А пар элементов множества 1. Элементы множества 1 называются вершинами графа, а пары из множества А — ребрами графа. Для простоты впредь будем предполагать, что граф 1 связен. Введем алгебру Ли д(1), порожденную элементами е,, 1» и Ье (где 1 пробегает множество 1) и следующими соотношениями: 1) [Ле,ч=о; 2) [Рц,е,] = 2е, и [Ь;,Д] = — 21,; 3) когда а и у различны и (а,у) не является ребром, то [х, у] = О, если х=е;, Йе или1; иу=еэ,л илий;; БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП ЗЕ1 4) если ь, у — две вершины ребра то [Ь;, еу[ = — е1, [й;, Д] = 11, аб6(е;)(е ) = О и ад~(Л)(Д) = О для любых 1, 1 в 1. Вообще говоря, алгебра Ли д(1) бесконечномерна.
Она конечно- мерна тогда и только тогда, когда 1 — граф одного из следующих типов: а [— Эти графы частного вида называются графами Дынкина. Если 1 — граф типа А„, то алгебра Ли в(1) изоморфна алгебре я1(п+ 1). Если 1 — граф типа Р„, то алгебра Ли д(1) изоморфна алгебре яо(2п). Наконец, если 1 — граф типа Е„для и = 6, 7 или 8, то о(1) в этом случае является одной иэ исключительных алгебр Ли типа Е. Указанное выше представление алгебр называется представлением Серра. Не имеет значения, какой автоморфизм т графа 1 индуцирует автоморфнзм алгебры Ли л(1), обозначаемый также через т. При этом автоморфкзме элементы е;, 1), й; переходят в элементы е, 11, Ьу, если у = т(1).
Известно, что простые алгебры Ли над С классифицируются парами (1, т), где 1 — граф Дынкина и т — автоморфизм графа 1, имеющий хотя бы одну неподвижную точку. Эта классификация связывает с парой (1, т) алгебру Ли неподвижных точек автоморфизма т алгебры Ли в(1) . Для простоты здесь будет рассмотрен лишь случай, когда автоморфизм т является тождественным. Это ограничение не является существенным, так как канонические базисы инвариантны относительно т при условии, что последний переводит в себя данное представление. По теории Картава н Вейля простые конечномерные представления алгебры я(1) классифицируются с помощью функций на графе 1 со значениями в г1.
Для любой такой функции о существует единственное простое конечномерное представление $~ = Ь(е), имеющее ненулевой вектор х, такой, что е; . х = О и Ь; . х = е(1) . х для всякого элемента 1 множества 1. Более того, вектор х единствен с точностью до скалярного множителя. Вектор х называется старшим вектором или вектором старшего веса. 362 Оливье Ывтьв Пусть ц+ (соотв. це, ц ) — подалгебра Ли алгебры д(1), порожденная элементами е; (соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
