Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Мы не будем приводить эту конструкцию, зато поясним, как Касивара испольэовал этн базисы, чтобы получить замечательные комбинаторные формулы для разложения тензорного произведения представлений (эти формулы основаны на совершенно иной комбинаторике, чем формулы Люстнга). Цветной граф определяется заданием: 1) множества С, называемого множеством вершин; Оливье Матье 372 2) множества А пар элементов из С, которое называется множеством ребер графа; 3) двух отображений, называемых начальным и конечным, в, 6: А -е С, таких, что а = (л(а), 6(а)) для всякого а е А; 4) множества 1, называемого множеством цветов, и отображения с: А ~ 1.
Ребро а называется ребром цвета з, если с(а) = з. Нитью назовем нецветной и ориентированный граф следующего вида: Пример нити длины 4, т. е. с питью точками Следуя Касиваре, определим тензорное произведение некоторых цветных графов следующим образом. Сначала рассмотрим два множества Сз и Сз, снабженные структурой нецветного ориентированного графа. Предположим, что Сз и Сз являются нитями.
Тогда на произведении Сз х Сз можно определить структуру нецветного ориентированного графа. Укажем общую формулу на примере: Произведение двух нитей. Первал строка представллет граф из шести точек Сз. Первый столбец представллет граф из четырех точек О1 Пусть С есть 1-цветной граф. Скажем, что он допустимый, если для всякого цвета з к 1 выполнено следующее условие: если оставить в графе только ребра цвета з, то получится объединение нитей. Пусть Сз и Сз — два допустимых цветных графа.
Тогда указанная выше процедура позволяет определить структуру цветного 1-графа на произведении Сз х Сз. Пример. 6.1. В этом примере рассмотрим графы с двумя цветами а и Ь. Будем изображать ребра цвета а сплошными линиями, а ребра цвета 6 пунктиром. Пусть С вЂ” граф с тремя элементами следующего типа: Если сохранить в С лишь ребра цвета а, то граф распадется на две нити: вазисы прадстлвлвний простых комплвксных групп зтз Аналогично, если сохранить лишь ребра цвета Ь, то граф распадется на две нити; Положим 01 — — Сз = СЕ. Тогда произведение 01 х Сэ есть следующий граф с 9 точками: Г Пример 6.2. При тех же соглашениях произведение следующих гра- фов: есть граф 1 1 ) Возвратимся к представлениям.
Пусть сс 1 -+ Х. Пусть Це)— представление алгебры Ли 9(1), определенное в равд. 1. Пусть далее х — старший вектор, и пусть „— канонический базис. Касивара естественным образом определил на В„структуру Е-цветного графа. Вот перечень свойств графа Касивары: (1) Граф В. связен. (2) х есть начальная точка графа В„(т.е. х не является концом ни для какого ребра графа) и притом единственная его вачальнзл точка. (3) ГРаф является допустимым, (4) Нить цвета 1 с началом в х имеет длину и(1) . На самом деле предыдущие утверждения (1) и (2) можно сформулировать иначе: для всякого элемента у графа В„существует ориентированный цуть, идущий из з в у . Заметим, что свойство (4) позволяет найти о, отправляясь от графа.
Пусть и, ьч 1 -+ Х. Напомним, что всякое конечномерное представление алгебры Ли д(1) полупросто и является суммой некоторых Ь(и). В частности, тензорное произведение Ци) ® Ь(о) полупросто. 374 Оливье Мать« Теорема 6.3 (Касивара). Граф-произведение В„х В„ес«пь несвязное обьединение графов В««. Кроме того, число связныя компонент графа В„х В„, изоморфныя В,„, есть в точности кратность представления» (»о) в Й(и) З Цо), Теорема Касивары дает комбинаторную процедуру и алгоритм для вычисления кратностей тензорных произведений.
Действительно, предположим, что графы В„и В„известны. Чтобы получить кратности тензорного произведения Ци) З Ь(о), достаточно проделать следующие вычисления: (1) используя предыдущие формулы, вычислить граф В„х В„, (2) разложить В„х В„на связные компоненты, (3) для каждой связной компоненты найти единственную вершину, которая является начальной (единственность начальной вершины утверждается в теореме Касивары), (4) каждой начальной вершине в связной компоненты сопоставим функцию»о,: 1 -» Х, которая определяется следующим образом: и,(») — это длина нити цвета» с начальной вершиной в.
Например, пусть Ъ' — естественное представление алгебры Ли в1(3) . Пример 6.1 демонстрирует разложение произведения У З У, а пример 6.2 — произведения У З 1". Само собой разумеется, что оба примера выбраны очень легкими, но замечательно то, что этот метод применим ко всем простым алгебрам Ли. Формула Стейнберга (Я], дающая кратности тензорных произведений, есть общая формула, имеющая большое теоретическое значение. Тем не менее она содержит как положительные, так и отрицательные члены. Поэтому многие авторы делали попытки указать комбинаторные формулы для вычисления разложений тензорных произведений.
Здесь слова «комбинаторная формула» обозначают формулу, описывающую кратности как число элементов некоторого множества, но не как разность мощностей двух множеств. Например, для группы 31 (п) формула Литтлвуда и Ричардсона выражает эти кратности в терминах таблицы Юнга. Литтлман (1) недавно обобщил эту конструкцию на все классические группы. Тем более замечательно, что формула Касивары справедлива для всех полупростых алгебр Ли (включая особые) и на самом деле для всех симметризуемых влгебр Каца-Муди. Добавление (сентябрь 1991 г.).
В работах шести авторов (Касивары, Канга, Мисры, Мины, Накасимы, Накаяснки) дано комбинаторное описание кристаллических базисов представлений аффинных алгебр с помощью «путей на диаграммах» [КМХ1, КМХ2). ЛИТЕРАТУРА ВеВьпвоп А., ЬыгСщ С., МсРЬегвоп ЕЬ, А беошеСпс веССшб Еог ьйиап- Сшп бтопрв, ЕЗпЬе МаСЬ.
Л. 61 (1990), 655. Вегеыйеш А., 2е1ещыЬу А., Тепэог ргодисй ши!Нр1кййез апд сопчех ро1уйорев !п рагс!й!оп врасе, Ргерппй, 1989. ЕЗасе Е., 32шЬо М., Мига Т., Вергевепсас!оп оЕ Етг 81„(С) ас д = 0 апд сЬе НоЬ!пвоп-ЯЬепвйед сотгеврошйепсе, РЬув. апй МайЬ. оЕ вйппбв (чо!. 5 !а шешоьге йе Ч. Кшгп!Ь) ьЧ. Яе., Яшбарош, 1990, 185 — 211. ЕЗе Сопсии С., КыЬдап О., Ярес!а1 Ьвзев Еот Яв апд СЬ„, 1вг. Л. МайЬ. 40 (1981), 416-432.
Дрннфеяьд В. Г. Алгебраь Хопфа н квантовое уравнение Янга— Вакстера. — ДАН СССР, 1985, т. 283, Льб, с. 1060-1064. СшгЬигб Ч., Ьабгапб!ап соыйпкйюпв оЕ йЬе епче!ор!пб а18еЬга оЕ ЕЕ(з!е), Ргерт!пс, 1990. ЛшЬо М., А д-дьЕЕетепсе оЕ Ьт(9) апд СЬе Чапб-Вахйег еьйиай!оп, ЬейС. МайИ. РЬув. 10 (1985), 63-69. КыЫчьата М., Сгузеа0!гшб йЬе з-апа(об оЕ шичегва1 епче!оршб а1бе- Ьгвз, Сошш. МайЬ. РЬуз.
133 (1990), 249-260. КэзЬичага М., Оп сгузйа1 Ьввев оЕ йЬе ЕЛ-апа1об оЕ ишчетва! епче!оршб а18еЬгы, Ргергшй, 1990. КыЫьчага М., Сгувйа(1!г!пб йЬе д-апа(обпе оЕ ип!чегза1 епче1оршб а1- беЬгаэ. Ргосеед!пбв 1СМ 90 (Куойо), МайЬ. Яос. Ларап, ТоЬуо, 1991, 791-797. КыЬ!ната М., (ь!э!ьэзЫша Т., Стувса1 бгарЬв оЕ сЬе д-апа!об оЕ с!вяз!са1 Ьье а18еЬгвз, ВЛМЯ Ргергшй. Кыщ Я., КыЬ!ьчэта М., Мата К., Мича Т., йьйа!ьэзЫша Т., (ь!а!ьауыЬ1- Ы Я., Айве сгувйа1 апд чегйех шойеЬ, ш: 1пбпйе апа1уви, Рагс. А, В (Куойо, 1991), ьЧог!д Яс!.
РиЫ., Ей!чег Едбе, ЕьЕЛ, 1992, 449 — 484. М!вга К., М!ьча Т., (ь!а!ьэзЫша Т., !ьйаЬауыЬ0а Я., РетЕесй сгузйаЬ оЕ циапйиед епче1орищ а(беЪгвз, Ои)ье МайЬ. Л. 68, Еьйо. 3, 499-607. Ьа(гвЬш!ЬЫ Ч., Мин!! С., ЯевЬадп' С., Сеошесгу оЕ С/Р 1Ч, Ргос. 1пд. Асад. Яс. 99 (Ь979), 279-362. 1,а1ьвЬш!Ьаь Ч., Яйвидыд пьопошьЫ йЬеогу Еог ЯЬ», Ргерппй, 1991. Ьа1ьзЬш!Ьа! Чч ЯевЬадт! С., Сеошесгу оЕ С]Р Ч, Л, А18еЬга 100 (1986), 462-557.
Еййй!ешап Р., А бепегаЕгай!оп оЕ СЬе Ь!Сй!еноод-КкЬагдвоп ги1е, Рге- рппй, 1987. Ьпвгй!б С., Сапошса1 Ьввы вт!в!пб Егош тйпапс!гед епче1орищ а1беЬгвв 1, Л, Апьет. МайЬ. Яос., 3 (1990), 447-498. Ьивгйщ С., Сапошсай Ьавев апвшб Етош ьйпапй!гед епче1ор!пб а18еЬгвв 11, Ргобгевв оЕ ТЬеог. РЬув!св 202, вирр1. (1990), 175-201.
Ьизгй!8 С., сйп!четв, регчетве вЬеачеэ апй циапВгед епче1ор!пб а18еЬгы, Рте рппй. ЬивгВб С., Ьии!чьнв, ретчетзе вЬеачы апй гйпапй!гед епче!оршб а18еЬгвз, Рте рппй. МайЫеи О., Соод Ьвзев Еог С-шодв(ев, Сеошейпса Оед!сага (Т!йв чо1игае) 36 (1990), 51-66. [ВЬМ] [ВЯ] [ОЛМ] [ЕЗК] [Ог] [ЛТ) [Ка1) [Ка2] [КМ] [КММЦ [КМ(ь!2] [ЬМЯ] [ц [ЬЯ] [Ьь] [Ьи1] [Ьи2] [Ьи3] [Ьп4] [Ма) БАЗИСЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУПП 375 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП'> Марк Россо ВВЕДЕНИЕ 1.1.
Уравнение Янга-Бакстера — это уравнение на функцию Я(Л, 74) комплексных переменных, принимающую значения в эндоморфизмах тензорного произведения конечномерного векторного пространства И на себя. Оно введено Янгом [Уя] в контексте квантовой задачи и тел размерности 1 как условие разложения матрицы рассеяния з,и Бакстером [Ва1, Ва2] при получении точной формулы для статистических сумм некоторых точно решаемых моделей статистической механики (метод трансфер-матрицы).
Оно играет важную роль в методе обратной задачи рассеяния теории квантовых вполне интегрируемых систем, развиваемой главным образом Фаддеевым и его школой в Ленинграде [Ра]. Для функции Я(Л, 74) со значениями в Епд(Ъ' З )г) это уравнение записывается в виде [Я(Л,74) З 1][1 Э Я(Л, и)][Я(р, и) З1] = [1 З Я(14, и)][Я(Л, и) ®1][1 ЗЯ(Л,4г)], где имеется в виду равенство в Епб()г З )г Э Р) . Пусть Р: 1гЭ1г -+ 'ггЗ1г — оператор перестановки Р(хЭу) = у®х, х, у Е 1г. Часто уравнением Янга-Бакстера называют уравнение, которому удовлетворяет Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
