Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Комплекс П»„(1ояЯ) ®о „Ррч можно снабдить естественным дифференциалом И, который продолжает внешний дифференциал И: Й»„(1одЯ) -+ й~~~(1обЯ). Снабдим вторичнык многогрднники и дискриминднты 347 комплекс йл„(1о8 Е) Зо „12мч фильтрацией Центральным местом в доказательстве является наблюдение, что комплекс 8г~ (йл (1о8 Я) Зо„„.0р ) естественно отождествляется с комплексом Й'. Из этого следует, что И(т) равно кратности, с которой Т; входит в характеристический цикл комплекса правых Юр -модулей й' „(1о8Е) Эо „Рич, который мы обозначим через М'. С другой стороны, аналитический комплекс де Рама 2гЯ.М' естественно ото- ждествлаетсЯ с комплексом йл„(1о8Е) Эол„О~Р, котоРый квази-. изоморфен извращенному пучку Ве„.Сле .
Можно проверить, что комплекс М' имеет голономно регулярные когомологии. Из этого следует, что характеристические циклы комплексов М' и Вч,. Сле ВЛ' — л равны. Для вычисления характеристического цикла комплекса В,„.Сле воспользуемся методом исчезающих циклов (см. Вгу1шеЫ 2.-1,, Бепппыге ВопгЬак1, ехрове и'585, сЬеогеше 4.2.8, или СшзЬпгб Ч., 1птеп1.
МасЬ. 84 (1986), 327-402). Кратность п(т) получается следующим образом: рассмотрим линейное отображение д: Ум — > С, равное нулю на Х(т) (ограничение отображения д на Хд имеет вид 2,'с;х", где с; = О при а К т);тогда И(г) равно эйлеровой характеристике слоя пучка исчезающих циклов Фе(Ве„.Яде) в общей точке многообразия Х(т) . Тот факт, что п(т) = ш(т, Я(А)), таким образом, является следствием теоремы Д. Бернштейна, Кушниренко и Хованского (см. [К]), выражающей эйлерову характеристику гиперповерхности общего положения в торическом многообразии в терминах объемов многогранников. (2) Чтобы перейти от результатов над С к результатам над Е, осталось показать,'1то В1т(Л'(р)(А, Я(А),М)р ) не имеет компонентн над конечной частью схемы БресЕ при р » О. Для этого достаточно показать, что (в очевидных обозначениях) для любого конечного поля Р комплекс Л'(р)(А, Я(А),М)р является ацнклическнм при р » О в общей точке пространства Ър .
Доказательство аналогично доказательству для случая С, приведенному в начале и (1) (здесь существенно используется, что А удовлетворяет услоВиям (е)) С) 4 4 В равд. 5 нам потребуются следующие свойства, описывающие поведение В1ч(Л'(р)(А, Я, М)р ) при замене Я или М. и ! Имеется в виду подслепа, целиком лежмпае над некоторой простой точкой с прес 2 (еде 1 — простое число). — Прим М.
М. Капроново. Франсуа Лезер 348 Предложение 4.4.1. Пусть р » О. Тогда (1) если М(Я) иместп ранг г < й, тпо О1у(Л (р)(А, Я, М)тт ) = О; (2) если М(Я) имееш ранг й, тпо Р1у(Л'(р)(А, Я(А), М) г,) = [М: М(А)]"мО1~~ + Оьу(Л'(р)(А, я(А), М(А))у ); (3) если М(Я) имеетп ранг й, шо )З1у(Л'(р)(А, Я, М~м,) = [М: М(А)] (Згу(Л'(р)(А, Я(А), М) у,) . Доказаптельсптво. (1) Вводя на Л'М фильтрацию Р,„(ЛтМ) = Л' ~(М(Я)) А Л М, получаем, что 5т~ Л'(р)(А, Я, М) Л'(р)(А, Я, М(Я))( )[тп], где [тп] обозначает сдвиг комплекса на тп единиц вправо, и доказываемый результат следует иэ того, что (1 — 1)" ' = О. (2) Достаточно прямо вычислить влияние замены решетки.
(3) Здесь требуются более тонкие соображения (см. [О-К-Е 2, предложение 2В11]). (З Следствие 4.4.2. Если А = (ат,..., аь) — миожестпво вершим симплекса объеиа о и если Я порождаетп М, тпо ттри р » О дивизор В1у(Л'(р)(А, Я, М)у ) задаетпся уравиеиием кеес" . сь. 5. ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.5.1 В этом разделе мы приводим доказательство теоремы 2.5.1, данное в [С-К-Е 2]. Существенным местом является следующее Предложение 5.1. Пустпь Т Е Те(А), и пустпь ф: А -+ Е прииадлежитп виУтпРеииостпи коирса С(А,Т). ПУсть У' = 2 <т<„стх" Е У и ~т = ~,т<т<„сд '"( Охеч.
Обозначим через ЕА уравнение, определенное с точиостпью до знака и задаютасе дивизор Втч(Л'(р)(А О о, Я(А)П В+о, М)тт ) тюри р » О. Тогда ЕА(те) т +О Пест ЕА(тт]АОе) вторичные многогранники и дисквиминлнты 349 Покажем, как вывести теорему 2.5.1 иэ этого предложения. По следствию 4.4.2 мы имеем «! «1 Пь(е~-)= И[(- ~--(и ...— ) «ет «ет 1<еде = ~ Ц (чо1 б) "" «(с(С)) Е" «ет где с(С) = (с;С Ебп)), Следовательно, Ел(С,) с-~о П,, (чо1 д)«м |(с(С))ет для любых с, и любой ф, принадлежащей внутренности конуса С(А, Т) .
Из этого мы получаем, что если П(Т) = ((сю..., сп); (1ох]с|],..., )об]с„]) б С(Т, А)), то при (сю..., с„), стремящемся к бесконечности по области 0(Т), отношение ЕлЦ~)ЯП, (чо1а)"«~«(с(С))Е имеет предел х1. Отсюда непосредственно вытекает, что фт есть вершина многогранника г)н(Ел) с коэффициентом хП, т(чо1й)«м и что С(А,Т) содержится в С(Уч(Ел), фт) .
Но поскольку объединение конусов С(А, Т), Т е Те, дает все В.", мы получаем, что Хн(Ел) = С;)О(А) . Докаэашельсшео предложения 5.1. Рассмотрим кольцо формальных рядов Лорана Е((С)) = Ц ил'™Е((С)), где Е™Е((С)) — множество рядов 2 ~~ а,С', а, Е Е. Мы имеем бт~ Е((С)) = Е[С, С ']. Пусть Л'(р)(А, Я(А), М)((С)) — комплекс Л'(р)(А, Я(А), М)®Е((С)) со скрученным дифференциалом 2',«„с,д,, Э С еС' ). Оператор 01ч от соответствующего комплекса пучков над Ъкбе)) равен жЕл®) . Обозначим через Ст е.
Вч.А + В однородную функцию степени 1, совпадающую с дт,л на О(А). Введем на Л'(р)(А, Я(А), М)((С)) фильтрацию Е У Р. -с,,„(«)Е((С)) ®Л1(Ее) «Елгь« Эта фильтрация согласована с дифференциалом. По теореме Кушниренко [К] (одному из ее вариантов) комплекс е[с, с е]-модулей бгр(л'(р)(А, Я(А), м)((с))) имеет резольвенту, и-й член которой есть сумма модулей Л'(р)(А П б, В+д П Я, М)[С, С 1], снабженных дифференциалом дд~лое, причем суммирование производится по всем симплексам и кораэмерностн д из Т, не содержащимся в грани многогранника О(А) той же размерности. Отсюда, Франсуа Лазер используя 4.4.1(1) и аддитивность функтора О)у, выводим, что 01у, соответствуюп)ий яг~.(Л'(р)(А, о(А), М)(($))), при болыпих р равен отП1у(Л'(р)(А У) о, К+о Г) з, М)), причем Л' снабжены дифференциалами об)д,~.
После некоторых размышлений отсюда можно вывести требуемый результат. б. СВЯЗЬ С ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 6.1. По-видимому, открытие многогранника ЯЯ(А) и его связи с дискриминантами восходит к статье [6-К-Е 1], в которой по каждой регулярной триангуляции многогранника (ЩА) построен базис гипергеометрическнх функций, точнее, базис пространства решений Ноша(Н'"д, Ор) для общего у, где Н.„,д — гипергеометрический Р-модуль, определяемый в п. 6.2. 6.2.
Пусть А удовлетворяет условиям (*). Обозначим через Е(А) С Е" решетку целочисленных линейных соотношений на злементы множества А. Если а Е 1,(А) — нетривиальное соотношение, ~,<,<„а)о» = О, то поставим ему в соответствие дифференциальный оператор на н' Длл 1 Е [й] положим д Еа = '> о]су йс; 1<1<в где о' есты-я координата точки ау. Определение 6.2.1. Пусть у = (у),...,'у») Е С». Гипергеомешрической спсшемой, соответствующей множеству А и вектору у, называетсл Р-модуль Нт д = Ру]1, где 1 — идеал' ), пороясденный элементами Г, а Е 1(А), и Е) — Т», 1 Е [й].
6.2. Вектору у поставим в соответствие локальную систему С т на торе (С')" с монодромией — 'у; при обходе вокруг х; = О для 1 Е [й]. Один нз основных результатов статьи [6-К-Е 4] состоит в том, что для общего у комплекс ВНошп(Н"пд, Оу) голоморфных решений Е)-модуля Нт д совпадает с обычными решениями Ношп(Н "д, Су~ ) и равен преобразованию Фурье-Сато от альС . Из етого следует (см. [6-К-Е 4]), что характеристический цикл Р-модуля Н„,л для общего у вычисляется так же, как в п.
4.3. 1) Имевтсе в веду левый В-модуль л левый лдеал. — Прем йе. й. Кепремоее. ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 351 7, ТОРИЧЕСКИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ И МНОГОГРАННИКИ ЧЖОУ (ао работе [К-В-Х)) 7.1. Обозначим тор (С')" через Н. Рассмотрим линейное рациональное представление р: Н г г'ЦУ), где У вЂ” конечномерное векторное пространство.
Предположим, что р(Н) содержит гомотетии. Если е Е У вЂ” ненулевой вектор, обозначим через е его образ в проективизации Р(У), через 7Š— замыкание орбиты вектора е и через Йе — образ Не в Р(У). Отождествим Е" с группой характеров тора Н таким образом, что а = (аг,..., а„) соответствует характеру (1г,...,1„) -+ Пггг. Пространство У разлагается в прямую сумму подпространств У, = (е Е У; р(1)е = 1'е У1 Е Н). Для е Е У обозначим через А(е) множество тех весов а, для которых гг имеет ненулевую проекцию на У,.
Поскольку А(е) зависит только от е, можно писать А(е). 7.2. Точка ег иэ Р(У) является торическим вырождением точки е, если существует однопараметрическая подгруппа Л: С* -г Н, такая, что ег = 1!тг, р(Л(1))е. Отождествим Л с вектором (Лг,..., Л„) Е Е", где Л(1) = (Ф"г,...,1""), и обозначим через Л: Я(А(е)) -+ П линейную форму )Сг<,. „Лгхг. Тогда торические вырождения вектора е можно описать следующим образом. Если а — некоторая грань многогранника Я(А(е)), то выберем у е произвольный прообРзз е Еаед1я1 еа н опРелелнм е~ как обРзз вектоРа тг' вел( 1оя е~ в Р(У). В этом случае е, = 1ппг гго р(Л(1))е тогда и только тогда, когда линейная форма Л достигает своего максимума на грани и. Кроме того, множество всех е,, где и пробегает множество граней многогранника Я(А(е)), является в точности множеством всех торических вырождений вектора е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
