Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 81
Текст из файла (страница 81)
2.2.2. Такое определение через специализацию имеет еще один аспект при е = 1: элементы К, являются центральными и фактор алгебры И» по двустороннему идеалу, порожденному элементами К; — 1 (» = 1...., и), изоморфен универсальной обертывающей алгебре простой й-алгебры Ли, ассоциированной с матрицей (ац) . Можно показать, что И' и И не имеют делителей нуля [11С-К, Л-1 1].
2.2.4. Приведем, наконец, определение Дринфельда, которым мы будем пользоваться в равд. 3. Основное кольцо есть алгебра формальных рядов л[[»«]]. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП Иь — это я[[5]]-алгебра, порожденная в Ь-адическом смысле элементами Е<, Г;, Н; (1 < 1 < и) и соотношениями Н;Н1 — Н Н; = О, 1, у = 1,..., и, (2.2.4,1) Н;Š— Е-Н; = аОЕ;, НГŠ— Р Н; = -апйя (2.2.4.2) и соотношениями (2.2.4.3), (2,2.4.4), (2.2.4.5), которые получаются соответственно из (2.2.1.3), (2.2.1.4), (2.2.1.5) заменой К; на ехр(--"й;Н;) и д на ехр( — -). Иь является топологической алгеброй Хопфа с копроизведением и всем прочшг, полученным из приведенных в п.
2.2.1 путем тех же замен. Копроиэведение принимает значения в тензорном произведении, пополненном в Ь-адической топологии. 2.2.5. Для простоты изложения мы ограничимся случаем невырожденньпс матриц Картана. Можно также сопоставить квантовую группу любой симметризуемой обобщенной матрице Картана, и ряд результатов, упомянутых ниже (при рассмотрении интегрируемых представлений) при этом останется верным. См. [э'-1 1]. 2.3.
Модули Верма и неприводимые конечномерные модули [Ь1, Ко1]. Разложение из п. 2.2.2 позволяет построить теорию, аналогичную классической. 2.3.1. Пусть 1гг — группа гомоморфизмов нз Я в (хЦ. Элементы б Е йэ и Л Е Р определяют гомоморфизм злгебр Лг: Ие -~ й с помощью соотношения Лг(К,) = б(сп) . д<~ вО . Можно, следовательно, рассмотреть представление размерности 1 подалгебры ИеИ+ алгебры И, где Е; действует умножением на О, а К; — умножением на Лг(К;), и индуцированное им в силу п.
2.2.2 представление алгебры И. Обозначим через М(Л) соответствующий модуль, называемый модулем Верма ошершего веса Л в тпипа Б. Если М вЂ” какой-нибудь И-модуль, 6 Е Я~ и Л Е Р, можно определить весовое подпространство М" ~ = (е Е М [ Кгп = Б(сн) д<" "'> для 1= 1,...,П). Вектор е из М называется примшпиекым, если он отличен от нуля, принадлежит некоторому весовому подпространству и аннулируется элементами Е;. Модуль называется модулем стиаршего веса, если он порожден некоторым примитивным вектором.
Такой модуль является фактором некоторого модуля Верма и прямой суммой весовых подпространств, имеющих конечную размерность. У модуля М(Л)~ имеется единственный неприводимый фактормодуль, обозначаемый через ЦЛ)г. 384 Марк Россо Можно предполагать, тензорно домножив в случае необходимости на некоторое представление размерности 1, что д(сн) = 1 для всех 4 = 1,..., п, что и делается ниже. Будем писать Е(Л) и М(Л) вместо Б(Л)1 н М(Л)1. 2.3.2. Непрнводимый модуль Б(Л) конечномерен, если и только если вес Л является доминантным, т.е. (Л, сп) ) 0 для всех г.
2.3.3. Для У, справедливы результаты, аналогичные 2.3.1 и 2.3.2, если с является корнем из единицы. 2.3.4. Пусть М является И-модулем старшего веса Л Е Р и порожден элементом оо. Можно определить его характер, элемент групповой алгебры 2[Р], с помощью обычной формулы СЬ М = 2 „яр 4(АМ" . е". Определим этот характер, следуя работам Люстига [1 1, Ьб]. Пусть М' есть (а'-подмодуль модуля М, порожденный элементом оо. Тогда (!) М' есть сумма своих пересечений с весовыми подпространствами, которые являются свободными й[д, д ']-модулями конечного ранга.
Пусть М'" = М" ОМ'. (й) (а(д) Эа(о а- ) М':+ М и бппа(41 М" = гапка(а П М'". (ш) Для с е /с' пусть М, = М' За(о,о- ) (1с[д,д ']/(д — с)). Это У;модуль, характер которого определяется, как и выше: если е(юоб с-(р,об М,"=!ееМ,]Карс я(" Ос, [К;,0]о= о), е — с то СЬМ, = ~~~ бппаМ„",.е", рег и мы получаем СЬ М, = СЬ М. (гг) В частности, для е = '1 благодаря изменению поля скзляров К; действует умножением на 1 и мы получаем модуль старшего веса над универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли над й, ассоциированной с матрицей (ац) .
Бели к тому же М имеет конечную размерность, то полученный модуль обязательно неприводим и его характер дается формулой Г. Вейля. Отсюда немедленно следует, что М сам неприводим (так как СЬМ = СЬЬ(Л)). Замечание. Джозеф и Летцер нашли СЫ~(Л), показав, что М(л(. Л) для всех а = 1,...,и является подмодулем модуля М(Л) (аг. Л = зг(Л + р) — р) н что Ь(Л) изоморфно фактору модуля М(Л) по сумме 2 М(лг. Л) [3-11]. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП 885 2.3.5.
Ввиду следующего предложения из п. 2.3.4 вытекает, что каждый конечномерный П-модуль над й(д) вполне приводим. Предложение [йо3]. Следующие у|лвержденил эквиваленшны: (1) каждый конечномерный П-модуль вполне приводим; (й) каждый конечномерный П-модуль сшаршего веса неприводим. Действительно, импликадия (1) =ь (й) классическая. Импликация (й) =ю (1), следуя идее Армана Бореля, сводится путем рассуждений от противного к точной последовательности 0 -+ ЦЛ) -+ М -+ Ь(р) -+ О, где М неразложим и Л < д. Но тогда М вЂ” конечномерный модуль старшего веса и в силу 2.3.4 он является неприводимым. Противоречие.
Замечание. (1) Ниже (см. 2.8.5) показано, что если е не является корнем из 1, то каждый конечномерный И;модуль над к вполне приводим. Когомологическое объяснение этого результата дается в [А-Р-%1]. В [3-11] Джозеф и Летцер получили теорему о полной приводимости для некоторых категорий модулей над Й, где П ассоциирована с некоторой симметризуемой обобщенной матрицей Картана (а основное поле — поле й(й)) (й) В рамках своего подхода над С[[В]] Дрннфельд показал в [В5], что существует изоморфизм алгебр уп и» -+ Уй э с[[А]], который тождествен по модулю Ь и ограничение которого на подпространство 'Н, порожденное элементами Ны..., Н„, тождественно.
Из сказанного следует, что классификация йь-модулей, являющихся свободными С[[В]]-модулями конечного типа — это то же самое, что классификация конечномерных 5ГЯ-модулей над С, и, в частности, отсюда получается формула характеров для неприводимых Иь-модулей. 2.4. Действие группы кос (Люстиг [Ь4, 1 5]). Напомним, что группа Вейля И' порождена отражениями Г1,..., Г„, и следующий набор соотношений является полным: Г;Г~Г1... = Г Г;Г, при этом в последнем равенстве имеется 2, 3, 4 или б сомножителей в каждом члене в зависимости от того, равно оба,; 0,1,2 или 3 соответственно. Зев Марк Россо 7»717» ' ' ' 7»7»7» ' ' т т т У$ как и выше, но больше не предполагается, что Тэ равно 1. 2.4.1.
Для того чтобы построить базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта (см. п. 2.5 ниже) для И, удобно ввести в И+ и И аналог корневых векторов. В классической ситуации в алгебре Ли действует (элементарными автоморфиэмамн) некоторое конечное накрытие группы уу, и можно получить корневые векторы, действуя этими автоморфизмами на корневые векторы простых корней.
Люстиг ввел 'представление группы В автоморфиэмамн алгебры И (не сохраняющими структуры коалгебры; зто важно в равд. 3), что позволяет идти тем же путем. Другая конструкция осуществлена в [К-ВЗ], а также в [Во-Ч, Бо2, ЯоЗ]. Следующее предложение проверяется вычислениями. Предложение. (») Для любого т = 1,..., и сутаествует единстпвенныб автоморфизм Т, алеебры И, такой, чтпо -аи Т»Е» = ~ ( — 1)' "' 'Е~ '" ')Е»Е»(~', т ф т', Т»Е = — Р;К», »=0 -Ф! ' о 7»К, ='Я(-1) — уУ!'Р)Е( '-'~, т=о 7»К, =К1К, ~. Этот автпоморфизм удовлетворяет условиям Т;.' = рТ,~р-». Т»ш = »оТ», (й) Этпи автоморфиэмы удовлетпворяюп» соотношениям еруппы кос В, так чтпо если ю б тт' и ю = тп ...г;„— разложение элементпа ю, то автпоморфизм Т, = Т;,,Тт, алеебры И не эависитп отп выбора разложения элемента ю.
(»В) Предположим, чтпо )1 = юа» б В+, оз б П. Тоеда Т Е; й И+. 2.б. Базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта. В этом пункте предполагается, что»с = се. Положим А = Е[д, д»]. Пусть Ил есть А-подвлгебра в И, порожденная элементами Е, (и» г',т ~, К;, К»» (1 ( с < и, Ф > 0).,Пусть Ил+ (соотв. И,») является Ассоциированная группа кос В определена образующими Т»,..., Т„ н соотношениями ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ГРУПП (тт = а;,, )уэ = т;, (а;,), )тг = т;,т;, (а;,), ..., )Зс = т;, ... т(„, (а<„) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
