Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Их можно рассматривать как две образующих бесконечной циклической группы, которую мы обозначим Ог(Е). Положим с этого момента П(Е) =П(Е)(ф Ог(Е). Если о есть п-симплекс с вершинами зо, зь ..., я„, то через (зо, ..., янУ обозначим элемент П(Е), равный (а]Эе, где е — ориентация базиса зозо згея, ..., з„1з„пространства Т. Комбинаторные соображения (или немного топологии) показывают, что группа П(Е) определяется образующими (зо, ..., з > и соотношениями ') (33) Е( 1) (зо.
А .. ен 1)=0 (34) (зо, ..., з„) = (а + зо, ..., а + ва) при а ~ Т. Перевод на гомологический язык осуществляется так. Пусть С,(Е) — стандартный комплекс Эйленберга — Маклейна: группа С (Е) степени р — это свободная абелева группа, порожденная символами (яо, ..., я ), соответствующими наборам из р+ 1 точек Е; граничный оператор д: С (Е)- С,(Е) определяется как е Р (Зб) д(зо, ..., з,)= 2 ( — 1)'(зо~ ., зь зо). г-о Группа Т действует переносами в С,(Е) (аналогично формуле (34)). Пусть Р„(Е) — подкомплекс С,(Е), порожденный символами (яо, ..., я ), для которых существует гиперплоскость ') Здесь применяется общепринятое соглашение: член я; под крышкой нулгно опустить, /у.
Картье Разбиение млагагранииказ в Е, содержащая точки з,. Тогда определены следующие группы гомологий '): ( О, если р(п; ( )г '(Е))г)=1 П(Е) если =и 3.3. Инварианты Хадвигера политопа Пусть Н вЂ” гиперплоскость в Е. Выберем ориентацию ее в Е' н ориентацию ен в Н. Они выделяют одно из двух полупространств, на которые Н делит Е. Определим, согласно Хадвигеру [13], гомоморфизм Кв, е из П(Е) в Й(Н): для полптопа Р' из Е и каждой его грани Р размерности и — 1, параллельной Н,. рассмотрим (определенный с точностью до параллельного переноса) политоп Р' в Н, полученный параллельным переносом из Р, н число Е равное 1 нлн — 1 в зависимости от того, находится ли Р по ту же сторону от Р, что и Еч от Н, или нет.
Теперь Рн,г переводит [Р]Эзь в ~ Г [Р']®зв, где сумма берется цо всем таким граням Р размерности и — 1 политопа Р. Этот гомоморфизм не зависит от выбора ориентации еи и ее. Объем можно понимать как не зависящий от ориентации гоморфизм уо!ал П(Е) — Л Т, переводящий (в„..., з„) в в, л.... ... ли„, где з,=п, +з,.
Инварианты Хадвигера — этогомоморфизмы У(Т„..., Т,) из П(Е) в ЛеТ;, при каждой фиксирован ной убывающей последовательности Т = Т„:э Т„, ~ ...:э Т подпространств Т; пространства Т с с((ш Т, =1 это отображение есть композиция )гв и е... а Рн в, где Ее — аффинное е' ет1 ' а-1 а' подпространство Е с направляющим пространством Ть В частности, если Р— политоп в Е, то ему можно поставить в соответствие семейство элементов У|Ты ..., Т,) ( [Р] ) из ЛеТ, которые мы будем называть инвариантами Хадвигера Р. Очевидна их связь с обобщенными инвариантами Дена. Как утверждает фундаментальная теорема, два политопа Р' и Р' имеют один и тот аке класс в П(Е), или, другими словами, эквивалентны относительно разбиений и параллельных переносов тогда и только тогда, когда их инварианты Хадвигера совпадают.
Эта теорема была доказана Хадвнгером и Глуром [14] в 1951 г. в случае размерности 2, распространена на размер- '! Если лэ — каммутативиая группа, на которой действует группа й, то через Ме обозначается фантаргруппа а! па падтруппе, порожденной разностями нт — т, где т ен ее, а ген б (группа каннварнантав). ность 3 Хадвигером [13] в 1968 г., затем на размерность 4 Р(ессеном (Об!!!преп Хас)!г., 1972, р. 47 — 53).
Наконец, общий случай был доказан йессеном и Торупом ') (1972 г., опубликовано в [17] в 1978 г.) и независимо Са [9]. Конечно же, теорема означает, что элемент $ из П(Е), для которого уо! (9)=О и йн, г(9) = О при любой гиперплоскости Нс-,Е, обязательно равен нулю.
В этом виде она легко следует из результатов п. 3.1, если применить простую геометрическую конструкцию, обобщенную со случая размерности 2, разобранного в [1, 3 10]. 3.4. Многообразия флагов В своей книге [9] Са поставил вопрос о сизигиях, т. е. линейных соотношениях между инварнантами Хадвигера некоторого полнтопа. Ответ дал Дюпон [23], который применил использованный ранее Люстигом симплициальный комплекс, введенный Титсом.
Далее мы уже не будем следить за различием между векторным и аффинным пространствами. Итак, пусть Т вЂ” вещественное векторное пространство размерности и. Рассмотрим симплицнальный комплекс Ж(Т) с векторными подпространствами Т (отличными от О и Т) в качестве вершин; р-симплексами будут последовательности (Ус, Уь -, Ур) с Уе~ У1~ . ~ У„.
Для данного целого числа в > О определим пучок Лен Ур на %'(Т), группа значений которого на симплексе (Уз, ..., У ) есть Л'„' У, т. е. д-я внешняя степень пространства Ур, рассматриваемого как векторное пространство над (ч. Любое векторное пространство над (ч можно рассматривать и как пространство иад Я; таким образом мы получим другой пучок Ле.
Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство, а Не(У, Я) есть д-я группа когомологнй (дискретной) группы У с целыми коэффициентами. Так как функтор гомологий групп совместим с индуктивными пределами, а когомологии л," совпадают с когомологиями тора !!" = В.Е", то можно определить канонический изоморфизм Н (У, Е) на Л' У, что совпадает с Ле У. Пусть Г,— пучок на 4Р(Т), который симплексу (Уе, ..., У,) ставит в соответствие однородные а-цепи группы У, (иначе говоря, группу коннвариантов Уе в свободной абелевой группе, порожденной последовательностями (иь, ..., п,) элементов У,). '! Похоже, чта В. Г. Болтянский не знал об этом результате; н сваей нанте 1978 г.
аи детально описывает случай размернастей 2, 3 н замечает, чта общий случаи остается открытым. 44 ! й. Картье Сказанное ранее позволяет определить комплекс Г.: Г, Г, ... Г Г~~ пучков на симплициальном комплексе Ж(Т); его д-й пучок гомологий есть Ло. Используя общие теоремы гомологической алгебры и формулу (36), можно доказать изоморфизм л й(т) Я и. „,(уу(т), л„"); здесь разложение в прямую сумму соответствует в прообразе стрелки разложению П(Т) = ЯП«(Т), определенному весом по е-1 отношению к гомотетиям (п. 3.1). Применение теоремы Р(ессена — Торупа позволяет получить из этого результата группы гомологий в(Т): (37) и;/~(т), л',) =н,(2т(т), л",) при( ( и — д — 1, причем эти группы нулевые при гФтт — д — 1 3.3.
Возвращение к группам перемещений Здесь мы предположим, что пространство Т= Р" снабжено (обычной) квадратичной формой. Все предшествующие гомоморфизмы были ковариантны относительно действия ортогональной группы О (Р). Более того, по самому своему определению группа полиэдров Ул, ассоциированная с Р" (см. п.
2.3), есть группа коинвариантов 0,(Р) в П(Рл). Если положитьУ„= =У (аког(Кл), то можно к тому же получить изоморфизм Ул с На(ол(к), П(Кл)). Учитывая определение П(кл), данное в. п. ЗАи получаем изоморфизм (38) Ул= Ю На (Ол(к) Нл-а-$(~'(К )* ~М)) а л(23 В частности, при и =3 группа Уь есть прямая сумма группы Яь призм (веса 3 относительно гомотетий) и ядра объема (веса 1 относительно гомотетий). Далее, частный случай точной последовательности, введенной Люстигом 1251, дает точную последовательность О »П'(Кг) ~ЯП~(Р) ~~П1(0) ~кь +О в Раеоиение инагаграннинае где Р пробегает плоскости, а Р— прямые в Рг.
Все члены — модули над группой Ог(Р); переходя к гомологиям, получаем точную последовательность О н,(5о,(к), к) У,/л, Р~3л н,(5о,(к), к') О. Все эти рассуждения не зависят от теоремы Сидлера. Однако она может быть теперь выражена в виде Н,(50,(К), К') =ар„, Н.,(50,(К), К') =О. Недавно Катлино получил следующий аналогичный результат: Н,(41»л К')=ар~,, Нт(41„К')=О, где я1» обозначает алгебру Ли группы 50г(кг), рассматривае- мую как алгебра Ли над О. 3.6. Эллиптическая и гиперболическая геометрии Для сферической геометрии можно, разумеется, поставить вопросы, аналогичные 3-й проблеме Гильберта. Точно так же можно рассмотреть полиэдры в пространстве Лобачевского Н" размерности и.
По аналогии его связанной с евклидовым пространством Р" группой У„можно определить и группы полиэдров У(5л) и У(Нл). Об этих группах мало что известно, хотя Дюпон 123] и применил в этом случае свои методы, получив две точные последовательности О А Н,(50,(С), е,) ' У(53)/У ЛКЮб — Н, (50» (С), гт) — ь О, О и Н, (а.т(С), 2) ' У (И') Я б Н,(5Е.»(С), 2) — О. Группы А и и анулируются степенью двойки, индекс « — » во второй строчке означает, что рассматриваются нечетные относительно комплексного сопряжения элементы. Нормализуем объем сферы 5' единицей; теперь объем сферического полиэдра определяет гомоморфизм У(5')/е", в Р/е,; рассмотрев композицию с гомоморфизмом /, получаем гомоморфизм Нз(5(/т(л.'), е.) в Р/Я, введенный Чигером и Саймовом [30).
//. Картье 4. ПОСЛЕСЛОВИЕ: ГЛЯДЯ В ХХ! В. 4.1. Гомологии «дискретных» групп Ли Пусть 6 — связная группа Ли, вещественная или комплексная. Пусть Оа — та же группа с дискретной топологией. Группы когомологий Эйленберга — Маклейна Н;(6, М) появляются в алгебраической К-теории, в теории слоений (см.
Хефлигер [45] ) и в теории расслоений с интегрируемой связностью — частные случаи были рассмотрены выше. Напомним, что с топологической группой 6 ассоциировано «класснфицирующее» пространство ВО, т. е. база главного 6-расслоения со стягиваемым тотальным пространством ЕО. Точно так же определено и классифицирующее пространство ВОе. Тождественное отображение 6 определяет непрерывный гомоморфизм Оо в 6, который определяет непрерывпос отображение ВОг в ВО, а поэтому и гомоморфизм р,: Н,[ВО', М) Нг(ВО, М). Классический результат (Хопфа — Эйленберга) утверждает, что Н;(ВОо,М) совпадает с Н;(6, М), если 6 действует на М тривиально.
Фридландер [ЗЗ] и Милнор [35] предположили, что 1гг — изоморфизм при любом г ~ О, если группа коэффициентов М конечна. Естественно, высказана и гипотеза о изоморфизме для дуальных гомоморфизмов р': Нг(ВО, М)-Н'[ВО', М). Фридландер сформулировал в [ЗЗ] другой вариант, в котором 6 замещается групповой схемой над алгебраически замкнутым полем /г, откуда получается (прнзнанный законным) изоморфизм т': Н~г (ВО, М)- Н (ВО(н)), М) (здесь ВО рассматривается как симплициальная схема, Н~г— этальные когомологии). Известно несколько примеров к этой гипотезе.
Во-первых, Милнор [35] доказал ее для разрешимой группы 6; отвинчивание легко сводит этот случай к случаю коммутативиой группы. Этот же метод сводит общий случай гипотезы к случаю одно- связной некоммутативной группы 6. При этих условиях Дюпон, Парри и Са [32] недавно разобрались со случаем 1( 2 (но с 11 исключениями при 6 типа Рь Ее, Ет или Еа). Разбиение лиогогроииикое Эти результаты доказываются с использованием алгебраической К-теории. Для поля Р обозначим через Р* его мультнпликативную группу, а через Кг(Р) — фактор Р'ф)Р" по подгруппе, порожденной элементами а Э (1 — а). Известно (Стейнберг— Матцумото — Мур), что для простой расщепимой односвязной групповой схемы 6 и поля Р, каждый элемент которого является квадратом (например, алгебраически замкнутого поля), группа мультипликаторов Шура Нз(6(Р), л.) изоморфна Кг(Р) Перейдем к случаю Р= С; комплексное сопряжение определяет автоморфизм Кэ(С) порядка 2, откуда получается разложение К,(С)=Кг(С),ЯКг(С) на четную и нечетную части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
