Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По построению У вЂ” подфактор в М, причем непосредственное вычисление йппм(Е'(М), Л) показывает, что [М: У]=Ло +(1 — Ло) Так как фундаментальная группа гиперконечного фактора )к' совпадает с К~, эта конструкция дает существование подфактора У в )!! с [Р: У] = а при произвольном а ) 4.
В обозначениях введения объединение примеров а) и )з) показывает, что (1, 2, 3) () [4, + со[ ~ Х. Кроме того, результат Голдмана [18] указывает, что Х () [1, 2) = =(1, 2)„так что остается определить Х Я[2,4], с чего и началась деятельность Джонса. П. КОНСТРУКЦИЯ ДЖОНСА Пусть М, Г,г(М), Тгм и Л те же; что н выше. Рассмотрим такую изометрическую инволюцию Х из Ео(М) в Г.г(М), что Х(х) = х* е!ех ~М.
Для х ~ М пусть Л' (х) — оператор в Г.г (М) умножения справа на х: Л'(х) у=ух чуен М. Индексы яодфакторов, алгебры Генке и теория углов А. Коня 10 При х ~м имеем Ул(х)" У =Л'(х) ггтх енм. Более того, Л'(М) равно коммутанту Л(м) в Ея(м) ([14]), так что Л (М)' = Л' (М) = УЛ (М) У. Пусть У вЂ” подалгебра в М, а ен — оператор ортогонального проектирования в Уа(м) на замыкание У в Ез(м). Согласно построению, УенУ = ен; кроме того ( [47] ), справедливо Предложение 3. а) Ограничение Ен оператора ен на надпространство Мс: ЕЯ(м) — проект4ия алгебры фон Неймана М на подалгебру У; Ь) для любьсх а, Ь я У и х я М; Ек (ахЬ) = аЕн (х) Ь; с) Ен (х) я У+ для любого х ен М~. В этом случае говорят, что отображение Ен1М- У вЂ” условное нормальное ожидание, ассоциированное с парой (М, У)..
Оператор ен — проектор, причем Ь) показывает, что (х) енл (а) = Л (а) ен !та ен У; (хи) енл(х)е„=Л(Ен(х)) вх вам. В частности, е„он Л(У)'. Кроме того, имеет место. Предложение 4. Л(У') — алгебра фон Неймана, порожденная Л (М)' и ею Теорема фон Неймана о бикоммутанте показывает, что достаточно вывести равенство Л(м)() (ен)'= Л(У), Однако прн х ям и Л(х)е„=енЛ(х) Л (х) ! = (Л (х) ен) 1 = (е„Л (х)) 1 = ек (х) = Л (Ен (х)) 1, откуда х =Еи(х) и х~ У. Положим М! = Ул(У)'У,. Предложение 4 показывает, что М! — алгебра фон Неймана в ЕЯ(м), порожденная Л(м) и ен. Предложение 5.
Предположим, что У вЂ” подфактор М конечного индекса. а) М! — фактор типа П!, а Л(м) имеет конечный индекс вм!с [м,: л(м)]=[м:у]; Ь) Тгм,(ен) =[М: У] с) пусть Ем — каноническое условное нормальное ожидание для фактора М, над Л(м); тогда Е,и(ен) =Тгм,(ен) 1; д) векторное подпространство в Мь порожденное Л(м) и Л(м)е Л(м), — инволютивная подалгебра, слабо плотная в М,; е) гомоморфизм х я У вЂ” енЛ(х) я М! — изоморфизм из У на приведенную алгебру фон Неймана (М ),, =(г~ М,: вне=ген=а).
Пункт б) легко следует нз равенств («) и ( ). Чтобы доказать е), используем («) для установления гомоморфности и д) для установления сюръективности. Ииъективность получается автоматически, так как каждый фактор типа П! — простая алгебра. Равенство а) следует из [М,: Л (М)] = [Ул (У)' У: Л (М)] = [Л (У)': Л (М)'] = [М: У] (предложение 2с)). Докажем равенство Ь).
Так как УеиУ=ен, то Тгм,(ен) = Тгк1н! (ен). Свойство 4 кратности б(тн показывает, что Тгы, (ен) = йт,(е„У. (М)) - б(т,„(ь~ (М)) = [М: У] Докажем с). Согласно е) и единственности следа Тгн на У, имеем Тг„(енг)=Тгм (ен)Тг (г) при всех г~У. Поэтому при любом у~м Тг (енЕн (у)) = Тгм (е ) . Тгн(Ен (у)) = =Тг (е„) . Тг (у) =Тг„(е„) Тгм (у). Равенство (г ) показывает теперь, что для любого уенм выполнено соотношение Тгм (е,у) = Тгм (енуен) = Тг„(е„Ен (у)) = Тгм (ен) Тгм (у), т, е, что Тгм (е„) 1 — проекция Ем(е ).
П Основная идея Джонса — повторять проведенную выше конструкцию пары М с: М, по паре У ~ М. Так получается возрастающая последовательность (М ) факторов типа П, и последовательность (е ) проекторов е ~ М, свойства которых легко выводятся из предложения 5. Обозначим через Р фактор типа П!, полученный взятием индуктивного предела возрастающей последовательности (М ), а через Тге — нормализованный след на Р. Тогда справедливы следующие свойства: А. Коня Индексы яодфвкторов, п4звбрь4 Геккв и теория узлов 13 Ль Для любого т М имеет конечный индекс в М 4.ь причем [М„„,,: М ! =[М: М].
1з. е х=хе 1тх~М Зо М „— алгебра фон Неймана, порожденная М и е „, Зд, Пусть Š— условное ожидание для М 44 над М . Тогда Е, (х) е „, = еыь,хе,„+, Ух ~ М . Юд. Пусть т=[М:144] . Тогда Е, (е„) =т. 3,. Еывдвывть4 — тЕы+~ =О. Зв е,„е .„деы тет =О. Зд. едет — — есе4, если [с — /1) 2. З4д. Подалгебра А„алгебры Р, порожденная е„..., е и 1, конечномерна, причем Е (А „,) с: А Зи. Отображение х хе, из А, в редуцированную алгебру (А „), +,— — (г~ А ~4:ге 4=с,х=г) — изоморфизм. 11д.
Для любого х ы:-А выполнено Тгр(хе,,) =тТгр(х). ПЬ ТЕОРЕМА ДЖОНСА Теорема 6. Пусть Х вЂ” подмножество в )т+, образованное значениями индекса [М; У] для факторов М и У типа Пь лс~М. Тогда Х = ]4 созд — „: и ен ]44, и ) З~ () [4, + со [.
Для того чтобы доказать, что ХП[1,4] ~(4соз'пПд; п~ [4), и) 3], нужно точнее изучить подалгебры А„в Р (в обозначениях равд. П). Для каждого проектора еееР имеем Тгр(е) я ~ [О, 1]; более того, если е и 1 — такие проекторы, что е («Т, то Тгр(е) (Тгр(1), причем равенство выполняется только при е=[. Обозначим через еч) (соответственно ел1) наименьший проектор в Р, превосходящий и е и ) (соответственно наибольший из проекторов, которые меньше и е и [). Проекторы е ч 1' и ел [ принадлежат алгебре фон Неймана, порожденной е и 1, причем выполнено основное тождество [46]; (4) Тгр (е д]) + Тгр (е л 4) = Тгр (е) + Тг, ()).
Вернемся к обозначениям равд. П и положим у„= е, ... ек дгп ее ]ч. По построению У (Ук„УпЯИ, 44.„=У„че„,, Упее[д], о ~Ам. Кроме того, так как А порождено 1 и еь ..., е, то проектор у лежит в центре Аы, так что Аы = С (1 — о„) + (Аы) Теперь вычислим рекуррентно по т значение Тгр(у ). Центральное место — это Лемма 7. Если у чь1, то у ле „=е +4ч Доказательство.
Так как Уы, "коммУгиРУст с еыю (по зз) то е,,у,«(у ле 4,. Далее о„л е, (е„+4с(ые„4.4 =Е ~ (чы) е вь Поэтому, используя 14ь получаем у 4«Еы 4(у ). Так как Е 4 (оы) е= А, 4 = д ' (1 — Оы 1) + (Аы ~)в то Ет-4 (уы) = = Х (1 — уы-,) + г, г~(А,)в, и у„,(«г(1 (предложение Зс), откуда г=у ь Предложение Зс) показывает, что 0()д(1; согласно посылке леммы, Тгр(о )( 1, откуда 14 ( 1. Так как У Л Е, — Эта СПЕКтРаЛЬНЫЙ ПРОЕКТОР Е +4Уыг +Ь ОтВЕЧаЮЩИЙ собственному значению 1, то а ле +,— — е +,оы н О) Свойство Ю, показывает, что Тгр(е 44),) =тТгр(47,)' равенство (в) дает при 4) -и 1 соотношение Тгр (у +,) + т Тгр (у~,) = Тгр (47 ) + Тг (е,) = Тгр (у ) + т. Пусть теперь а =1 — Тгр(у ). Имеем а ее[0, 1] и а,(а . Более того, а чь 0 тогда и только тогда, когда у чь 1.
Пусть (Р„), — последовательность полиномов с коэффициентами в У, определяемая условиями Р, = О, Р, = 1, ..., Рк 4„(т) =- Р„(т) — тР„- ~ (т). Лемма 8. а) Пусть ак ) 0 при любом и < пд и а„=О при любом п>п„пдне(1, 2,...). Тогда а„=Р„(т) при любом и и. -4 Ь) Если т ) —, то пд < оо, т = (4 созд — ) 4 ' 14 А. Коня Доказательство. Пункт а) уже доказан, Докажем Ь). Пусть 13 ~ С, )3з= 1 — 4т. Можно доказать, что (при р ФО) Если т > 1/4, то 13 ее% н Р„(т) =(а" — д")/(а — д), где а = =(1+8)/2, так что Р„(т) >0 не может быть выполнено при любом п. Действительно, Р„(т) =!а~,ив, где О=лгала.
Значит, из < оз, и так как Ры(т) =О, то О=я/пз, !/4~ — 1 = = 1я8 = (я(п/пз) и 4т =1+ 1Е'(н/пз) =1/соз'(и/пз). Лемма 8 завершает доказательство включения Е ~ ~4созз —; и яви, и> 3~() [4, -1- зо]. Для того чтобы доказать, что Х включает значения 4созз(п/и), нее К, п - 3, Джонс использовал свою конструкцию (равд. П), примененную к паре Ус: М конечномерных алгебр фон Неймана ( [23] ). !У АлГеБРы Гекке гкг (У) (1!9)г [в)) Пусть Тз — конечное поле нз г) элементов н и†ненулевое целое число. Рассмотрим группу 6 = ЯЕ„(Е'з) матриц порядка и с коэффициентами в Тк и детерминантам 1. Пусть В с: 6 — подгруппа Бореля, образованная верхнетреугольнымн матрицами. Обозначим через М (д) алгебру (относительно свертки на 6), состоящую нз функций /: 6 С, удовлетворяющих условию Щб')=/(д) УЬ, Ь'ее В 3/дя6.
Пусть Х есть 6-пространство Х = 6/В, состоящее из флагов в векторном пространстве Е = 1'„'. Элемент Р из Х задается возрастающей последовательностью (Р;),. „таких линейных подпространств Ю, что б)гп Р! =1 % = О, 1, ..., и. Пусть Š— комплексное векторное пространство Е = Сх. Это 6-модуль (так как 6 действует на множестве Х). Определим ля любого /ее йэ„(д) оператор и(/) ее Епб (Е) с матрнцей и(/) „ю =/(д1 'йз) 7д„дз ~ 6/В. Нормировав меру Хаара )г на 6 так, что )г(В) = 1, получаем, что я — строгое представление группы мэ„(д), образ которого— Индексы нодфакторов, алгебры Гекке и теория узлов 15 алгебра инвариантов группы 6 в Е. Поэтому п — изоморфнзм: и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
