Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1.8. Коно подробно изучил случай, когда Х есть дополнение к конечному семейству гиперплоскостей в Ра(С). Предположим, в частности, что Х вЂ” множество векторов в Са с попарно несовпадающими координатами; по определению, я1(х) — это группа кос. Изучение линейных представлений, связанных с монодромией на Х, позволяет восстановить и обобщить некоторые результаты Джонса (см. [64[, [О5[ и [О6[). За неимением места оставляем читателя иа милость его любопытства... КОММЕНТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА А.
Работм общего характера 1. В1ггпвп Ю. Вгайв, 11п1гв впб тарр1пя с1ввв Втопрв, Апп. Магв. Быгпев 82, Рппсе1оп 13п1тегвцу Ргевв, Рг1псе1оп, 1974. Обобщенные янобианы, унннотентные монодромни 79 78 П. Картье 2. ВоитЬаЫ Н. Сгоирев е1 а!ЕеЬтев де !Ле, сЬар. 2 — 3. Неппапп. Раг!в. 1972. Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы н алгебры Ли.— М., Мир: 1974.] 3. оигЬа!6 Н. Огоирев е1 а!яеЬгеь йе 1йе, сЬар. 4 — 6. Маввоп. Рапв, !98!.
[Имеется перевод первого издания: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.— [М., Мнр: 1972.] 4. Са((ап! Е. е1 а!. (ей(1еигв), Набив йеогу, Ргос. Соп(. Бап1. СиЕа(, |ес$иге Но(ез !и Ма1Ь., Брг!пЕег, ВегПи, Чо!. 1246, 1987. 5, Стг!НПЬв Р. А., Могдап Л ТЧ, йа((оиа! Ьоао1ору йеагу апй йЬИегепба! 1оппв, В!г)тЬаЫег, Вовоп, 1981, 6. Ьарро-Рап!!ечвйу Л А. ТЬеог(е йев вув1еаев йев ециаВоив д!11егеп(!еПев Ппйатгев, СЬе!ьеа, Нечт Уогй, !953. 7. МаЕиив ТЧ., Кагазв А., 5оП(аг Р. СоаЬтпа1опа! ягоир $Ьеогу, Рочег, Нем Уотй, 1976.
В. Доклады ив семинарах Бурбаки на смежные темы !. Вг(ев1тоги Е. Бит !ез игоирев де !тевзев, 5еш. ВоигЬаЫ ио. 401, !97!— 1972, [Имеется перевод: Брискорн Э. О группах кос (па В, И, Арнольду). — Математика, 1973, т. !7, выи. 5, с. 3 — 56 ] 2. Саг1!ег Р. Аттьиневеи(в тГЬурегр!апз; ии сйар(тге де иеовь(гте соаЬтпа1о1- ге, Но. 561, !980/!.
3. СатПег Р. Рйсотпров(Поп де ро!уейгев, (е ро!п1 ьиг 1е 3-е ргоЫйае йе НПЬег1, Но. 646, !984$5, [Имеется перевод в настоящем сборнике.] 4. Сопиев А. 1пйех йез воивдас1еигв, а!яеЬгев йе Несйе е1 1Ьеог(е йев поеийз (й'аргев ЧаияЬап упоев), Но. 647, !984тт5. [Имеется перевод в настоящем сборнике.] 5. Чегд(ег ).-Ь, Огоирев т(иап$!йиев (й'аргев Рг!п(еГд), Но, 685, !98677. С. Итерированные интегралы !. СЬеп К. Т. Нега$ед 1п1ейта!в о1 й!ИегепПа! $оппв апд !оор зрасе 1юпю.
!оЕу, Апи. Ма1Ь., 97 (1973), 2!7 — 246, 2. СЬеп К. Т. 11ега1ед ра(Ь !и(еята!в, ВиП. Авег. Май. Бос.„83 (1971), 831 — 879. 3. Паршин А. Н. Об одном обобщении якобневога многообразия. — Изв. АН СССР, сер. матея, !966, т. 30, вып. 1, с. 115 — !82. 4. Бее Е. 1.$е е!ептеи$в апд ап а!ЕеЬга авьос!а(ед и!1Ь вЬи(1!ев., Апп. Май., 68'(1958), 210 †2. Р. Раиианальные гамотопии и нх приложения 1. РеПипе Р., СтпРПйз Р., Мотива Л, БиП(чап Р. $(еа! Ьово1ору 1Ьеогу о1 КаЫег аапНо!йв, !пчеп1. Май., 29 (!975), 245 — 274.
2. тИогяап Л ТЬе а!Ееьга(с (оро!оЕу оп ввоо1Ь а!8чЬга(с чат!е1!ев, РиЫ. Май. 1НЕ5. Чо!. 48 (1918), 151 — 204. 3. ОшПеп Р. Ка1(оиа! Ьошо1ору йеогу, Апп. Май., 90 (1969), 205 — 295. 4. 3иП(чап Р, !иПп!1ев!ша! соари1а1$опв !и $аро!ояу, РиЫ. Май. 1НЕ5, Чо!. 47 (!977), 269 — 331. Е. Теория Ходжа (классические статьи) 1. РеПяие Р. Еаиа1$опь дП(егеп(!еПеь а ро(п1з ЫпЕиПегв теЕиПегз, 1.ес(иге Но(еь !и Ма1Ь., 3рг!пЕег, Вег!!и, Чо(, 163, 1910.
2. Ре!!2пе Р. ТЬеог!е йе Нойне 1: Соп8гев !и1. Ма1Ь. ЬПсе !970, Чо!. 1, р. 425 — 430; Н: РиЫ. Май. 1НЕ3, Чо!. 40 (!971), 5 — 58. [Имеется перевод: Делинь П. Теория Ходжа Н. — Математика, 1973, т !7, выи. 5, с. 3 — 56.]; Н1: РиЬ!. Май. !НЕ3, Чо!. 44 (1974), 5 — 77. 3. РеПкпе Р.
ТЬеотеше де Ье1зсЬе(х е1 сгйегев йе деяйпйгевсепсе йе виПез зрес(га!ез. РиЫ. Май. !НЕ5, Чо!. 35 (1968), р. 107 — 126. 4. Ого(Ьепд!есй А. Оп йе йе КЬаа Ыюао!обу о1 а!неЬга(с чаг!е1тев. РиЫ. Ма1Ь. 1НЕ5, Чо!. 29 (!966), р. 351 — 359. 5, ОгбИПЬв Р., 5с1пп№1 ТЧ.
Ессеи( дече!орвепй 1п Нойме йеогу: а д!зсизв!оп о1 1есЬищиев апй гезийв. Рйвсге1е виЬйтоирв о( 1.$е йтоирв апд аррПса- 1!опв 1о июйиП (ВоаЬау СоПоци!иа 1973). Ох1огй ()п!ч, Ртезв. !975. Р. Теория Ходжа (недавние результатм) !. ВеП(паап А. А. Но(ев оп аЬвоЬПе НойЕе соЬаао!оБу, Сои1еаротагу Майа, чо!. 55, р. 35 — 68, Ааег. Май. Бос., !986.
2. На)п Е. ТЬе йе Итаа Ьоао1ору йеогу о1 соптр!ех а!ЕеЬга!с чаг1еПев 1, Н, А рата!1ге. 3. На(п К, ТЬе язове(гу о( йе пихед Нодяе в1гис1иге оп йе 1ипйатпеи1а1 йтоир, А)яеЬга(с деоае1гу, Вочйо!и СоПебе !985; А рагаПге йапв Ргос. Буар. Риге Ма1Ь. 4. На(п К. Оп а Еепега!1ха1!ои о1 НПЬегрв 2!в1 ргоЫев., Апп. Бс!еп1. Е. Ь(.5., !9 (!986), !. 609 — 627. 5. На!и Е., 2ис!тег 5. $)п!ро(еп( чапаПопз о1 ппхед Нойяе в$гис(иге, 1пчеп(. Май., 88 (!987), р. 83 — !24.
См. также статьи Хейна, Нукера н Наварро — Азнара в [А4]. С. Маиодромия, системы гипериласкостей, группы кос 1. Аотпо1о К. Ропе(юпв Ьурег!оЕаг!йащиез е1 8тоирев де аопойгоппе ип(- ро1евв, Л Гас. Бс1. То1туо, 25 (!978). 149 — 156. 2. Рзй М., ЕапдеП Е. ТЬе 1атчег сеп1га! вепев о1 а СЬет-1уре апапЕеаеп1, 1ичеп1. Ма1Ь., 82 (!985), 77 — 88.
3. Запев 'Ч. 1пйех о$ виЫас(огв, 1пчеп1. Май., 72 (!983), 1 — 25. 4. КоЬпа Т. Бепе йе Ро$псагй-Козьи! авос1ее аих йтоирев йе 1геввев ритва, !пчеп1. Ма1Ь., 82 (!985), 57 — 75. 5. КоЬпо Т. Ро1псаге зег!ев о1 йе Ма!сеч совр!е11оп о1 Еепега!Ней риге Ьтатд 8тоирз, А рагаПге. 6. КоЬио Т Оп 1Ье Ьо!олову Ые а!ЕеЬга апд йе пПро$еп1 совр!еПоп о1 йе !ипдаптеп1а! 8тоир о( йе соптр!етиеп1 о1 Ьурегзит1асев. НаЕоуа Май.
ч., 92 (!983), 21 — 37. 7. КоЬпо Т. Моподгоау гергевеп1абопв о1 Ьга!д Егоирв апй Тапи-Вах(ег ет(иа- 1!опв, Аппа!ев 1пвЬ Роипег, СоПоцие еп ГЬоппеиг йе ».-$.. Козьи!. !987. Ч. 37, № 4, !39 — !40. 8. КоЬио Т., Ойа Т. ТЬе !отчет сеп(га! вег(ев о( йе риге Ьга!й Етоир о1 аи а!иеЬга!с сигче, А рага11ге. И. Увертюры 1. Рироп1 Л.(.. Оп ро!у!оЕаг!$Ьав, Ааг1шв, РгериЫ1саПоп. 1987. 2. Птата У. Рго11пйе Ьга!й йтоирв, Ста!о!в тертевеп1а1юпв аид сотпр1ех иш!ВрПсабопв, Аип. Ма1Ь., 123 (1986), 43 — !06, ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1*. ВвПпьоп А,, МасРЬегзоп Е., Бсйесйаап Ч. Ио1ев оп аоПтйс соЬоао!оЕу. Рийе Ма1Ь. Л, ч.
54, Но 2, (1987), 679 — 7!О. 2'. Еавег Р. ТЬе КетпагйаЫе РПоЕапйит, Вопи, 1987. Ргерпп1. 1 — 15. 3». Реу!Еие Р. 1.е Отпоре Ропйашеп1а! йе !а РгоПе Рго!есПче Моше Тго!в Ро!п1в, Ргерпп1, 1988. 1 — 2!9. 4". Бейлнисон А, А., Варченко А. Н., Гончаров А. Б., Шехтман В. В. Праективная геометрия и К-теория. — Алгебра и анализ, !990, т.
2. НЕРАВЕНСТВА МОРСА (по Виттену) Ги Аноар ') О.1. Этот доклад должен рассматриваться как введение в предложенные Виттеном в его недавних статьях [22] и [23] методы. Мы иллюстрируем эти новые идеи на простом, но поучительном примере: дадим (следуя [22]) аналитическое по своей природе доказательство классических неравенств Морса для вещественнозначной функции с невырожденными критическими точками на гладком компактном многообразии. Читатель может убедиться сам в естественности и элегантности применяемого метода. Он заслуживает внимания еще и потому, что возможны многочисленные иные его применения (и обобщения), которые мы обсудим коротко в 9 5.
0.2. В 9 1 мы напомним, что такое неравенства Морса, в 5 2 обсудим метод Виттена, собственно же доказательству посвящен 9 4. В 9 3 мы опишем причины, побудившие Виттена к уточнению неравенств Морса путем введения геометрической модели для целочисленных когомологий гладкого компактного многообразия М. Эта модель строится по римановой структуре н морсовской функции на М. В 9 5, кроме нескольких других применений метода Виттена, мы еще и очень кратко покажем, как (в настоящий момент гипотетическое) обобщение на случай бесконечномерных многообразий приводит -к-решенню некоторых задач о нарушенной симметрии в суперсимметричных моделях квантовой теории поля; к тому же именно эти задачи были главной мотивировкой Внттена в работе [22].
0.3. Считаю своим долгом выразить благодарность М. Вернь за изложение [9], [10] и [18], а также Л. Буте де Монвелю, Т. Фэку, Ж. Ломону, Р(. Сьестранду и в особенности А, Конну за беседы по теме этого доклада. 1. НЕРАВЕНСТВА МОРСА 1.1. Пусть М есть С -днфференцируемое связное компактное а» . — *»гф ф ., »:и Š— фуи, ')н))е"у.))и)2)и — )~))В)и)ни.
1983184, и' 617, А01егсаяпе 12! — 122, !985, р. 43 — 61. © Х. Воп»ЬассС, Воме1е псасиепса119пе ае Ргапсе, 1983 Неравенства Морса 81 са С на нем. Критическая точка функции Ь вЂ” это точка из М, в которой обращается в 0 дифференциал дй этой функции. В критической точке р можно определить гессиан НЬ» функции Ь— симметрическую билинейную форму на касательном к М в точке й пространстве Т»(М); в локальных координатах хс, ..., х„ в окрестности точки р в М матрица Н)с» в базисе пространства д дфь Т,(М), образованном — „, — это (р).
Говорят, что критическая точка р функции Ь невырожденна, если Н(с» — обратимая билинейная форма на Т,(М); индексом критической точки р называется индекс формы ОЬ», обозначаемый Х(р). Напомним знаменитую лемму Морса [20, с. 6]. Лемма 1.1. Пусть р — невырожденная критическая точка функции й; положим Х = Х(р).
Тогда в некоторой окрестности 0 точки р существует такси локальная система координат хс, ..., х„„что хс(р)=0 при с = 1, ..., и, причем на ()' выполнено неравенство п=п(р) — хо —... — ха+ хо+, + ... +хо. В частности, ясно, что невырожденная критическая точка изолирована. Будем говорить, что Ь вЂ” функция Морса на М, если все ее критические точки невырожденны. В этом случае множество С критических точек конечно. Известно, что для любого целого Ь.= 0 множество функций Морса на М плотно в пространстве У функций класса С из М в Р, рассматриваемых с С'-топологией [20, с.
37]. 1.2. Начиная с этого места, предположим, что Ь вЂ” функция Морса на М. Зафиксируем поле К. Обозначим через т; при целом с число критических точек функции Ь с индексом с, а через Ь; обозначим с-е число Бетти многообразия М относительно К, т. е. Ь; = дппк Нс(М, К), где Н;(М, К) есть с-я группа сингулярных гомологий для М с коэффициентами в К. Неравенства Морса можно выразить так: то Э~ ЬО, то тс еи Ьо Ьс) то тс+то~~до Ьс+Ьь то — т, +...
+( — 1)" т„=Ьо — Ьс+ ... +( — '1)" Ь„. Последняя строчка выражает эйлерову характеристику М через числа Морса ть Положив Р(1) = ,д„Ьс1', а М(1) = ~: т-гс с>о с~о 6 втоо а Г. Анвар перепишем эти неравенства как условия существования такого полинома Я с целыми положительными коэффициентами, что М (г) — Р(г) = (1 + г) (г(1) 1.3. Эти неравенства дают много информации о гомологнях многообразия М. В частности, имеется следующий критерий: Морсовский принцип лакун: предположим, что т;тьы =О для любого целого й Тогда Я(Г)=0, а М(г)=РЯ независимо от поля К. В частности, группа Н;(М, х.) — свободный Е-модуль ранга ть Красивое применение этого принципа — вычисление в [12] гомологий Р" (С). Выберем вещественные числа Ль < Л, < ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
