Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Прежде чем мы в $4 придадим строгость рассуждениям нз $ 2, попробуем продолжить их (вместе с Виттеном) еще дальше, точнее, вычислить действие А на построенном нами комплексе. Асимптотическое разложение, как мы уже видели, нам здесь не сможет ничем помочь. Виттен в этом месте использует более точный подход. Определяя Аь мы наложили на А потенциал, который велик всюду, кроме критических точек й. Собственные векторы (т.
е. «состоянияв) с наименьшими собственными значениями в некотором смысле находятся в ямах потенциала, как в ловушках. Поэтому можно спросить, может ли такой собственный вектор пройти <под барьером» с помощью туннельного эффекта из одной ямы потенциала в другую. Говоря точно, это сводится к определению интеграла 1= ~ (ьз, Ызз)) прн 1-з-пи, где ьз — собственный вектор '), сосредоточенный около критиче- ') Точнее, линейная комбинация собственных векторов с малыми собствеииыми зиачеииями.— Прим. перев. ской точки р индекса 1 + !, а т) — около точки д индекса 1').
В работе [22] Виттен наметил два метода изучения этого туннельного эффекта, один — квазикласснческнй (метод аппроксимации ВКБ), другой — более современный (метод инстантоиов). Это дает два способа вычисления упомянутого интеграла; ниже мы их кратко обрисуем. 3.2. В методе ннстантонов порожденная Ны ип н А, система рассматривается как квантование лагранжевой механической системы на М; риманова метрика входит в выражение для кинетической энергии, а функция Ь вЂ” в выражение для потенциальной. Если принебречь в лагранжиане системы всеми членами, кроме главных, при 1- пп, то получается другой лагранжиан, который в (тп, п)ее Т(М) равен Ы(ш, и)= — (] и]з+Тз]с()т ]Я). Траекто- 1 рнн туниелнрования минимизируют действие, ассоциированное с лагранжианом, так что легко видеть, что они совпадают с интегральными траекториями векторного поля — пгаб Ь, соединяющими р с д.
Вклад в интеграл 1 вдоль такой траектории можно оценить как е н" оа "1вп (деталн см. [22, р. 19]). З.З. В методе аппроксимации ВКБ [7] устанавливается, что при убывании ьз н т) как е ' около соответствующих критических точек вклад в (аз, с(п),'1 максимален вдоль траекторий векторного поля $= — афтаб(Й), а в противном случае пренебрежнм. Таким образом, задача сводится к случаю размерности 1, откуда получается то же выражение для 1. Если траектория, соединяющая р с д, единственна, то, в частности, получается, что Ай отлично от нуля. Ясно, что эти рассуждения трудно сделать строгими; несмотря на это„можно ожидать, что разработанные прн изучении потенциалов с несколькими ямами методы окажутся полезными в этом случае ([26] и особенно [27]).
Более серьезная трудность — то, что вклады различных траекторий могут различаться по знаку, так что нх сумма будет пренебрежима по сравнению с') и-', однако будет отлична от нуля. Как бы то ни было, метод ВКБ позволяет следить за этими знаками; это привело Виттена к модели когомологий многообразия М, которую мы и опишем. 3.4. Ограничимся ситуацией общего положения, в которой для любой критической точки р индекса 1+ 1 н д индекса 1 отталкивающее многообразие ))У„(р) (т. е. объединение траекторий $, 1 ) Рассмотрение туииельиых переходов между точками с иесоседиими индексами ие иужио, так как должно быть выполнено бек ы = беяп+1.— Прим. перев, з) Точнее, с в 1 1П~ 1в1).— Прим перев.
Пврвввнствв Морса Г, Аньвр 4. ДОНАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.6 где  — квкткчоскак точка »1«1-т-1 исходящих из р; это погруженное в М пространство )«'+'; его касательное пространство в р — это Т, (М)) и притягивающее многообразие В',(с)) (объединение траекторий, оканчивающихся ' в с) пересекаются трансверсально. Тогда множество Ф траекторий $ в )Тт,(р)П ЕР,(д) конечно.
Выберем для каждой критической точки г ориентацию йу„(г) (согласно замечанию 2 из разд. 2.3, для этого можно выбрать вещественный собственный вектор ') оператора ст; с малым собственным значением, отвечающий г). Пусть ~р ее«р, а с касается р в точке р. Ориентация У'„(р) дает ориентацию ортогонального дополнения к с в Тв (М); сдвинем ее вдоль ~р †получ ориентацию дополнения к Т,+(М) в д, которую можно сравнить с ориентацией (Р'„(д). Положим п(ф) =+1 или — 1 в зависимости от того, совпадают эти две ориентации или нет.
Обозначим сумму ~ а(~р) через а(р, д). рс Ф Замечание. Число п(р, д) можно интерпретировать также как индекс пересечения «поднимающейся сферы» со «спускающейся сферой» функции а [19, с. 34]. 3.5. Теперь введем комплекс свободных У-модулей д д д 0 — Ее Е' — ...
— Е" — «О, где Е' снабжено базисом е„индексированным множеством критических точек с индекса 1, причем при индексе точки д, равном й д(е,) =,Е а(р, у)е,. р — кркткческок точка Х(р!-(+1 Можно представлять себе (по крайней мере при ориентируемом М), что когомологии этого комплекса изоморфны сингулярным когомологиям многообразия М, или, иначе говоря, что прн ориентируемом М Н'(Е') и Н'(М,е,) — изоморфные У-модули при 1=0, ..., и. Замечание Е Эта гипотеза верна во всех простых примерах.
Замечание 2. «Двойственный» комплекс 0-«Е" — Е" — « ... — «Ев — «О, д' д'(е,) = ~ а(р, д)е ') См. прим. перев. ив стр. 88. — Прим. перев. при индексе р, равном 1, введен в [16); там, как это и должно быть, он связывается с сингулярными гомологиями М. Замечание 3. Если М не ориентировано, то предыдущая модель должна давать когомологии с коэффициентами в У/27. 4.1. Вид ат. Обозначим через Рй градиент й, а через сЯ) операцию внутреннего умножения на векторное поле $. Имеем т(1 =с(+(с()сл, откуда т(; = д + гс (7Л), б,=3+ 1»[дй[е+16, где 6 .м1о(М) -линейно, задается эндоморфизмом расслоения дифференциальных форм на М и допускает следующее описание: где 5 — дифференцирование .эрв(М)-алгебры Ф(М), совпадающее в степени 1 с эндоморфизмом касательного расслоения к М, полученным при отождествлении в каждой точке хееМ второй ковариантной производной й с эндоморфизмом Т'„(М).
В частности, ясно, что Я и 6 — ограниченные операторы в лос (М). 4.2. Доказательства леммы 2.1. Пусть д — собственный вектор для бс с собственным значением Х„где Х ( А. Тогда бд+ 1»[ дй Рй = — 163+ 33 откуда интегрированием по М получаем ~ ((Лй, 3)+ 1е[дй [»[д [~ ~(1[[6[[+ А) ~ [3[». Так как [е(й[ ограничено снизу на К положительным числом е,. получаем откуда и следует утверждение леммы.
Замечание. Получается также существование такой постоянной с » О, что ~ (Ьд, 3) ( с 1 ~ [ д [т при Г) 1. Г, Ааеар Неравенства Морса 91 4.3. Приступим теперь к доказательству теоремы. Оно естественным образом разбивается на два шага. На первом шаге показывается, что в каждой степени 1 прн больших 1 существует по меньшей мере т«независимых собственных векторов Л«с собственными значениями ~А. На втором доказывается, что остальные собственные значения стремятся к бесконечности вместе с й Изложение каждого из этих шагов сильно проясняется прн предположении, что в каждой критической точке р можно выбрать локальные координаты, в которых функция й записывается в виде й(р) + ~ Х«хт/2 (как в равд.
2.2), а метрика ста. «« новится евклидовой. Мы будем называть такой случай евклидовым и разберем детально именно его. В этом случае мы фактически докажем теорему !.8 с произвольным А ) О. Понятно, что прн заданном 1««можно найти рнманову метрику и координаты около критических точек, удовлетворяющие этому условию. 4.4. Первый шаг основан на принципе мннимакса [21, т. 4, с. 76 и 78].
Напомним этот принцип. В гильбертовом пространстве Я рассматривается (неограниченный) самосопряженный оператор Т, удовлетворяющий условию (Т«р, «Р) = — М[[«р[[з прн некоторой постоянной М. Свяжем с ним замкнутую эрмитову форму отображающую «р в (Т«р, «91 (ее область определения ПогпЯт) содержит область определения Т, но может быть и больше). Предположим, что Т имеет дискретный спекто; занумеруем собственные значения в возрастающем порядке ) Л«(Х <... 1„<...
Прн этих предположениях 1.„= зпр 1п1 Ят («ти), и ехпо (пт) 0И««- « где верхняя грань берется по подпространствам Р пространства Я размерности не больше а — 1. Замечание 1. Можно заменить 1)ошЯт) на Потап(Т). Замечание 2. Выражение в правой части предыдущего неравенства называется и-м характеристическим значением формы Ят 4.5. Зафиксируем четную положительную С -функцию «р, которая равна нулю вне [ — 2, +2] н единице в [ — 1, 1]. Положим '! Г гиетои иратности. — Прим. пеоее. фе(х) = ф(Вх), В О.
Вернемся к обозначениям равд. 2.2 вблизи критической точки р индекса 1, выберем достаточно большое В и рассмотрим 1-форму «о«,, с носителем около р: «а«,,=Ц~е ' " «рв(х«))с(х«л... ла«х«. «1 В евклидовом случае Л« действует на «о« в точности как Л'„ с. так что сосчитать ~(Л««о«ы, р) совсем просто — это произведение интегралов по ха Типичный интеграл — это «" е ~~ [ «рв«рв +21х«рв«рв+ (г~х~ 1) (1 «р4)1 «зх' — ии так как «р", «р' и 1 — «р' обращаются в нуль в окрестности нуля, тривиальная оценка дает существование такого р ) О, что (б««а«,т «о«, ) ~е ~ («о«т «акр). При соответствующем выборе В носители форм «а«, р для различных критических точек индекса 1 не пересекаются; обозначим Р, подпространство в л~',(М), порожденное «а, .
По принципу минимакса первые т, собственных значений А«в Фс«(М) экспоненциально убывают по 1: действительно, для любого надпространства Р пространства 94',(М) размерности ~~т« — 1 пространство РхП1йогпДт)ДР, не равно нулю, поэтому Х (1)~( и«« а е "', если через А,(1) обозначить т-е собственное значением« в,эдас«,(М). В неевклидовом случае А, выражается как сумма Л', с дополнительными членами вида де д «7(х), Ь(х) —, 1 [«и«1 с(х), 1[1«[Н(х), ! где а(х), а«(х) обращаются в О в р, а с(х) имеет нуль по меньшей мере 3-го порядка в р.
Используя замену переменных Х= х.~/1 и четность «р, находим, что ~(а««о«,и «оп и)а А ~ («а«,и, ы«,и) при некоторой постоянной А') О. Применяя, как ранее, принцип минимакса, выводим неравенство З,,(1) (А', что завершает первый шаг. Неравенства Морса 92 Г. Анвар 93 Замечание. Лучший выбор м1,р позволяет заменить А' на А'/Ь~Г, что доказывает теорему 1.3 при произвольном А ) О. 4.6.
Второй этап требует большей осторожности: нужно доказать (с использованием принципа минимакса), что при целом г) О характеристическое значение формы 1,11 на Фы(М) с номером т,+1 превосходит у1 при некотором выборе постоянной у ) О. Поэтому нужно свести вычисление О1 к вычислению в окрестностях критических точек. Эдесь используется подход, сообщенный мне Конном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
