Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для любого диффеоморфизма /: М- М 5 (д, х) = 5 (/ д, /'х). 3) Инвариангносгь Вейля, или конформяая инввриангность Для любой ~р е= С (М, Р) 5(я, х) == 5(вод, х). Для квантования классической теории, определяемой действием 5(я, х), Поляков рассматривает функциональный интеграл (1.1.2) цетворяются фактопространством пространства,Хег)л,.
8' по этим симметриям, для квантования классической теории нужно построить иа таком факторпространстве некую «естественную меру», по которой и интегрировать 5. В то же время, если мера Жх «трансляционно инвариантна» иа й', то интеграл ~ Яхе-з1е *> легко вычисляется: этот интеграл гауссов ввиду квадратичности 5 по х. Итак, речь идет о построении естественной меры Яузах на аявг Х Й', отправляясь от которой интегрированием я>утехе-в<е м по х получим меру на еувй согласованную с действием группы диффеоморфизмов и преобразований Вейля.
Из такой меры факторизацией получим меру на пространстве орбит пространства .ятеГ по действию этих групп. Последнее отождествляется с пространством лг", модулей римановых поверхностей рода р (см. равд. 1.3). Эту программу можно реализовать естественным образом только в критической размерности В =26 (см. равд. 1.6). Кроме того, возникающая таким способом мера Полякова на,Хр имеет бесконечный объем. Это свойство отражает наличие тахионов в теории бозонных струн. 1.2.
Конечномерная модель В этом разделе мы опишем конечномерную модель бесконечномерной проблемы, которую нам предстоит изучать, и проведем на этой модели строгое построение «фактормеры». Наш способ построения известен в квантовой теории поля под названием конструкции Фаддеева †Попо. 1.2.!. Соглашения и обозначения. В этом разделе многообразия и группы Ли предполагаются отделимыми,' паракомпактными и конечномерными. Если Р— вещественное векторное пространство конечной размерности гп, то через.
~ Л ~ (Р") обозначается 1-мерное вещественное векторное пространство плотностей на Р, т. е. пространство таких вещественнозначных функций о, на множестве Я(Р) базисов в Р, что о(ТВ)=-(де1Т~о(В) для всех Вен Я(Р) и Т~О1(Р). Если (оо ..., 0„) — базис в Р, то через -1 (п,л ... по ~ обозначается такая плотность и, что о(оо ... ..., 0„) =1. Всякая точная последовательность 70 тс тн -» Р~ Рь. ~ — ' ° ° +' Рн -+ 6 детерминантам« расслоение, регуллризаеанные детерминанты 109 Ж,-Б. Бает 108 вещественных конечномерных векторных пространств задает канонический изоморфизм [Ф/21 [(н-О/21 В З ] Л ИР„) = З ] Л ](Р„„,); (1.2.0) определяемый следующим образом: если В,' для каждого (— базис дополнения к 1(егТ; в Ро а (о,,, ..., о, 2,) — базис в Р,, полученный объединением В;.
и Т,,(В,',), то [(Н- П/2! ® ] оп+(, ( л ... л от/+(, 2„, ] Если Š— вещественное векторное расслоение класса С над С -многообразием М, то можно естественно определить линейное (тривиализуемое) расслоение ] Л ] Е"„. Положительное сечение ] Л]Т'М задает меру на М. 1.2.2. Пусть )(' — многообразие класса С, 6 — вещественная группа Ли и )/ХО- )/: (о й')' о й( и пусть Я вЂ” отображение класса С из )г' в область положительно определенных квадратичных форм на Е. (Обозначим Я(о) (х) через Я(о, х).) Пусть, наконец, Л н Н вЂ” отображения класса С' со значениями )О Л: У вЂ” «)Л]Е': о «Л, Н: )/ - ] Л ) (11е 6)', и [( есть С"-сечение ] Л] (ТЧ)» всюду )О.
— собственное С -действие 6 на У, такое, что факторпространство 1//6 обладает структурой многообразия, а каноническое отображение т'- )т/6 — субмерсия (это так, если и только если ((и, и /[), о я 1/, Ь еи 6) — подмногообразие в УХ )т, и это условие определяет структуру многообразия на У/6 однозначно. Пусть, кроме того, Š— вещественное конечномерное пространство, на котором 6 действует справа линейными преобразованиями Е ХО .: (х, /[) ° /[, Предположим, что Я, Л и Н удовлетворяют следующим условиям согласованности с действием 6 на 1( и Е: ([) для всех (о, х, Ь)еи)тХЕХО Я(и Ь, х й)=()(о, х); (В) для всех о е= )т Л, инвариантно относительно действия на Е подгруппы К,=(/[ен 6]о. /[= о).
1.2.3. По этим данным можно канонически определить положи.- тельную С -плотность на т'/6, «интегрируя вдоль Е с последующей факторизацией по действию 6» плотность на ЕХ У вида о (х, о) = е(-'/'1 0 <" "/Л, (х) [( (о), по меньшей мере, если Л, и Н(о) О-эквивариантны, а [((о) О-инвариантна, т, е. если действие я ~ 6 на )т переводит Л„ в Л»ю присоединенное действие А([(д" ') на Ые6 переводит Н(о) в Н(од), а действие д на Т7, переводя Т,7 в Т, )/', преобразует [г(о) в [((ид).
В явном виде пусть тен)//6 и о~[/ таковы, что т=-о6. Прообраз т при отображении (ЕХ У)/6- 1//6, 1(х, и)]»!о], отождествляется с фактором Е/К,. Каждый элемент ]в] из ] Л ](1.[еК,) задает инвариантную меру на компактной группеК, (эту меру мы тоже обозначим ](а]) и, ввиду К,-инвариантностй Л„«трансверсальную меру» Л,/[<в] на Е/К„. Можно также определить ~ е<-'/'10('"'Л,(х) как элемент из ] Л](1.1еК,)' е/к» формулой -"'"" ((-Г 1 е-чп'к*'(ге ((((1)]» е/к» '«е/к Иначе говоря, -( (ее с 1 е-нг *г.((-[1»-ппй..*с,((![]~ (] е/к„ 1е 11к С другой стороны, рассмотрим точную последовательность а( в» (1.2.2) Π— 1[еК,~[ [еΠ— Т,[/ — Т,У/6- О, где ໠— дифференциал отображения й « — «о ст в единице, а ]),— дифференциал канонической проекции )т — У/6 в точке и.
Эта точная последовательность канонически определяет изоморфизм Ж.-Б. Боот 11О Детерминонтные расслоения, регул»резоне»несо детерминанты 111 пространств плотностей (см. 1.2.1): (,: [ Л! (Т У/6)" = [ Л! (1 1е К,) Э ] Л ] (Т У) Э [] Л 1(11е 6) ] . Положим тогда о))) ()=)1 1 *' 'а"'"*н()о~()он( Г] ~е(к, Это элемент из ] Л[(Т,У/6)", который при 6-эквивариантных 7)„и Н(о) и 6-инвариантной 1»(о) зависит только от класса т точки о в У/6 и, рассматриваемый как функция от о, задает положительное С -сечение расслоения ] Л ] (ТУ/6) ". Более общо, если т(о) зависит только от т, мы говорим, что плотность о спускается на У/6.
1.2.4. Замечания (тривиальные). Если группа 6 порождена подмножеством Р, то о опускается на У/6 тогда и только тогда, когда ч(о.Ь)=т(о) для всех (о, (с)ен УХ Р. Кроме того, если 6 — собственная замкнутая подгруппа группы Ли 6' н если действие 6 на У продолжается на 6' таким образом, что для всех (о,д')~ У;)(6' выполняется ч(о.й)= = ч(о), то и спускается на У/6 до плотности, инвариантной относительно правого действия 6'/6. 1.2.5. Особенно интересен случай, когда Х, Н и р задаются метриками на Е, 1(е 6 и ТУ Пусть, таким образом, заданы для каждого о ен У скалярное произведение ( , ), на Е и скалярноепроизведение( , ). на Е!е 6, гладко зависящие от о, а также риманова метрика ( - .
) на ТУ. По этим метрикам следующими формулами определяются плотности )с(о), Н(о) н р(о): (1,2.4) (с(о)(х„..., х ) = = ( л) и [бе1((х„х()„)) ( ]па (ос = б(сп Е), (1.2.5) Н (о) (ео ..., ее) = = (2л) еп [бе1((е„а )), <,, ']' (4(= <Исп 6), (1.2.б) а(о)(оь ..., о() = =(2л) ~ [с)е1((о(, о())) ( <(]'~ (1= с(1(п У). Получаем тогда гауссов интеграл (1.2.7) -о(е.х)12„( ) (1 1Т )-)а Е где Т, обозначает такой эндоморфизм Е, симметричный относительно (, )„что Я(о, х) =(Т„х, х),. С другой стороны, если выбрать базисы ((р,, ...,)р») в 1.1еК, и (ф,, ..., ф„) в Т,(У/6) и обозначить через (р(, ..., (р„прообразы ф, в а, (1.1е 6) (= 1сег а',), то 1, ([ р, л...
т) (р»1 ' Э а (о)'Э Н (о) =(2л)'» ")а [()е1'а',а,. ((е1(((Ро (Р ),) )( Х ()е1 (((Р„(Р,),), <,, Дне] »Р) )с... Л (Рн ] ', где де(' означает определитель ограничения на дополнение к ядру. Таким образом, олг) ( )=(2 )" "(( )т) н11)н ...
е)-'] ' х [.я, ;)( [с(е('аа„° с(е1(((р,, фс) ) ()е1(((р„ср) ) '~пе[ср(т)... т) )р„] 1.3. Некоторые сведения о компактных римановых поверхностях В этом разделе собраны некоторые классические результаты о компактных римановых поверхностях. За дополнительными подробностями о пространствах модулей Бг' и оТ можно обратиться к статье [10] и ссылкам в ней. 1.3.1. Обозначения и определения. Далее всюду М обозначает связную ориентированную поверхность рода р ) 1, заданную раз и навсегда.
Помимо этого: РШ+ — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов М; РИ1о — подгруппа в Р(Л+(М) диффеоморфизмов, гомотопных единице; м = С-(М, (ч). Группа РШ+ естественно действует на м' (справа): (1.3.1) (р 1:=1 (р = Ф 1, (р ен 1Р, 1 ен РЛ1". Это действие сохраняет структуру аддитивной группы на Те' и позволяет определить полупрнмое произведение «н Х РЛ1" и его подгруппу 6 = М' >4 РЛ(о. .еуе1 обозначает пространство римановых метрик класса С на М. Полупрямое произведение )й'А Р11Рн, а значит, и его Ж.-Б. Бост — (г, к,). 2 м ~ ~)7/РйА =4(д/, д/), (1.3.6) 3 Бурбаки подгруппы гт' и Е)111+ действуют справа на,ее е1: (1.3.2) й (ф, /):= /*(е'й).
Кроме того, для всякой римановой поверхности Х мы обозначим через отх, или еще проще от, голоморфное линейное расслоение форм типа (1,0). Для голоморфного векторного расслоения Е над Х определен «оператор д с коэффициентами в Е» дв: С (М, Е) — С (М, Е®а)). В локальных тривиализующих координатах (Ю, з) на Е (1.3.3) д,в=д- ®й' Если 5 есть ( -аналитическое многообразие, а и: Х- 5— «голоморфное семейство компактных римановых поверхностей, параметризованное 5», т.
е. Х есть 'С-аналитическое многообразие, а и — собственная голоморфная субмерсия') с 1-мерными слоями, мы обозначаем через ТХ~5 касательное голоморфное подрасслоение в ТХ, образованное векторами, касательными к слоям и. Зто расслоение линейное, его обратное — расслоение «вертикальных голоморфных дифференциальных форм» вЂ” мы обозначаем атх) 1.3.2. Напомним связь между римановыми метриками и комплексными структурами на М. Пусть д — некоторая С--риманова метрика на М. По «теореме об изотермических координатах» всякая точка из М обладает окрестностью Ж, на которой можно ввести такие локальные С -координаты (х,у), ориентированные положительно, и такую С -функцию ф, что на % (!.3.4) д = ев (йх ® йх + йу ® а'у). Преобразования перехода между комплексными картами на М вида (%,х+)у) являются голоморфными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
