Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Бост !20 Находим тогда, обозначая через <(е!'Л определитель лапласиана, ограниченного на ортогональное дополнение к константам: (1.4.Ц ~ е псе<о<в "'Л (х) =]]1]]~ ~ е <пв'("'е ")Л' ( ) = Е Е =][1]['(бе!'Л)-"' Это равенство занимает место равенства (1.2.7). Пусть (<ры ..., <ри) — базис в 1.1еа"е, (<р„..., <р„) — базис в Тя,У и (<у„..., <у„) — прообразы <р< (при Т П) в 1<егА'. С учетом (1.4.1) формула (1.2.8) принимает вид да!'Д !!«<е Д «в< ((<э<, Ф<) ) ] ця Х[~6АА ь >>< /Фп... Ф < Далее, наделяя 1<е0111, 1)е2!'<Тг 1.1еР111, Твиде! и его подпространство С' (М, <у) скалярными произведениями (., )ю получаем в обозначениях диаграммы (1.3А2) рг„'рг =1<( и р'р=14, тогда как Ае, ограниченное на 1.!еЗ'=(сегргя, является изометрией.
Это следует, с одной стороны — из того, что <р< — прообразы <]<< (при Т 'П [С (М, <и)) в 1сегР', а с другой —.из равенства (1.4.3) Йе1Р'Р = <)е1' А«А, Таким образом, мера и спускается на У я, а теория струн Полякова квантуется, если и только если для всех р следующее Можно проверить, что действие Л'е на Е оставляет плотность Ле инвариантной (см. [36], добавление). Этим доказы-. вается справедливость условия и) из разд. 1.2.2. Условие <) ' также выполнено ввиду инвариантности действия 5 при репараметризациях и преобразованиях Бейля. 1.4.2. Оператор Те просто выражается в терминах положительного лапласиана бе, связанного с йч Тв ( [х] ) = (бах„..., д<ехо). выражение зависит только от образа о в У „ Поскольку вся предыдущая конструкция эквивариантна относительно действия П(11.<„ это имеет место, если и только если это выражение зависит лишь от М'-орбиты д, и в таком случае мера, возникающая на У „— мера Полякова — сохраняется под действием Г (см.
равд. 1.2.4). Чтобы придать строгий смысл функциональным интегралам, или, что то же самое, — детерминантам операторов в выражении (1.4.4), мы собираемся применить «дзета-регуляризацию» (см. [45], [28]). (С физической точки зрения этот метод устраняет «бесконечные члены», которые в действительности можно компенсировать контрчленами, локальными на М (см.
[1] и (1.5.4)). Мы увидим тогда, что при такой строгой интерпретации (1.4.4) условие инвариантности относительно лт выполняется, если и только если 0 равно критической размерности 26. !.5. Регуляризованные детерминанты 1.5.1. Пусть М вЂ” компактное <1-мерное С' -многообразие, снабженное римановой метрикой д, а Š— конечномерное векторное С -расслоение над М, снабженное метрикой ( ., ). С помощью этих метрик можно определить скалярное произведение двух сечений Е над М, в, и зг по формуле (в<, зя) = ~ (з< (х), зе (х)) <с (х), где <с(х) обозначает элемент объема на М, задаваемый римановой метрикой и.
Благодаря этому скалярному произведению можно построить гильбертово пространство Ея(М,Е) Ея-сечений Е над М. Пусть Р— эллиптический дифференциальный оператор порядка р ()0), действующий на С -сечения Е над М. Предположим, что Р положителен, т.
е. что для каждого С -сечения в расслоения Е (в, Рв) ) О. Как неограниченный оператор на Ья(М, Е) с областью определения пространством С (М,Е) гладких сечений Е над М, Р существенно самосопряжен. Спектр его замыкания является замкнутым дискретным множеством положительных вещественных чисел, конечной кратности каждое.
Обозначим через (Л„]„ Детерминонтносе расслоения; регуляризоеанние оетермннонть! 123 Ж.-Б. Бост !22 последовательность собственных значений Р в порядке возрастания с повторениями согласно их кратностям. 1.5.2. Регуляризоеанный детерминант оператора Р, ограниченного на (1сег Р)", т. е. бе1' Р, можно определить следующим способом, известным под названием дзета-регуляризации (Рэй— Зингер [45) ). Заметим, что формально +(Е !.-)~ Но ряд Дирихле 'лр Х лл н„~о сходящийся при Кез= с1/р, определяет голоморфную функцию на полуплоскости и обладает мероморфным продолжением на все С, голоморфным в 0 (Силн [46), [24) ). В действительности можно вычислить ьр, отправляясь от Ор (1):=1гасее-'Р (1 е= К ), с помощью преобразования Меллина: (1.5.1) Ьр (з) = —, ~ [Ор(1) — д(щ(сегР[1' 'Ж, о поскольку [0„(з) — Йгп(сегР) экспоненциально убывает, когда С стремится к +со, и обладает асимптотическим разложением в окрестности 0: (1.5.2) Ор (1) ~ агс!~ е!гр (С вЂ” л Ол).
смн Это приводит к определению с(е1'Р равенством с)е1'Р = ехр ( — ~р (0)1. 1.5.3. Пример 1. Если М вЂ” окружность Р/17 длины 1 и Р = = — ао/с(хо — скалярный лапласиан на М, то спектр Р состоит из 0 (простое собственное значение) и (2ип/1)о, и еи !л)л (двойные собственные значения). Следовательно, л ~р(з)=~ 2( — '",") ' =2( —,') и2з), л ! где !, обозначает дзета-функцию Римана. Так как 1' (0) = — — 1оп (2сс), получаем бе1'( — — „, ) = Р. Полагая в этой формуле 1=2п, видим, что дзета-регуляризация придает расходящемуся произнедению оо) =1. 2.
3. 4 ... значе- ние ч/2!с . Пример 2. Когда М есть 2-мерный тор, снабженный плоской римановой метрикой, а Р— скалярный лапласиан на М, то ~р— дзета-функция Эпштейна, у которой производная в нуле дается «первой предельной формулой Кроиекера» (см., например, [47, с. 73 — 75)). Если М нзометрично фактору С/соУ+отсУ, где С вЂ” 1«т наделено обычной метрикой, со, теиС* и 1гпт) О, на- ходим (1 .5.3) с(е1' Р = А 1сп т [ т) ( с) [4, где А =[со[1гпт — площадь М, а с) — функция Дедекинда: т)(т) =ехр(я1«/12) Ц (1 — ехр(2я1нт)). л ! 1.5.4. Функция Ор(1) вычисляется интегрированием следа ядра рс(х,у) оператора е — 'Р по диагонали в М;!с',М.
Когда с стремится к 0 (в («' ), рс(х,х) обладает асимптотическим разложением р! (х, х) = ~ ссг-гире! (х), где операторы е, бесконечно дифференцируемы и вычисляются по универсальным локальным формулам через полный символ Р и метрики на М и Е. Пусть, например, М вЂ” компактная риманова поверхность к Š— голоморфное векторное расслоение над М ранга г. Снабдим ТсМ (голоморфное касательное расслоение к М) н Е эрмитовыми метриками [[.[) и [[.[['. Метрика [1 [[ задает риманову метрику на М и эрмитову метрику в расслоении со форм типа (О, 1) на М. Рассмотрим оператор «д с коэффициентами в Е» дв.
С (М, Е) — С (М, ЕЭсо), Благодаря метрикам [[ !) и [[ [[' можно определить Е,-скалярное произведение (, . ) на С (М,Е) и С'*(М,ЕЭсо), а затем и формально сопряженный оператор де' С (М, ЕЭсо)- С (М, Е), Детерминантнне расслоении, регулириеоеаннне детерминантег 125 1((.-Б.
Боот 124 характеризуемый тождеством де (з, 1) = (з, дв)). Произведение Р = дади является положительным эллиптическим оператором второго порядка. След на диагонали ядра рг оператора е-'Р имеет следующее разложение при 1 -О+ (см. (24), $ 4.8): (1.5.4) (гасе р, (х, х) = — А+ — с1 (ТсМ, ~! !() + + 2 с! (Е, П Э + О ф~ где А — элемент площади на М, ассоциированный с римановой метрикой, а с~(, ) — первая «форма Черна» эрмитова векторного расслоения (см. $2.4). 1.5.5. Кроме того, для всякого вещественного Л ) 0 41.5.5) де('(ЛР) = Л~Р~ 1де1' (Р).
Благодаря формулам (1.5.1) и (1.5.2) получаем следующее выражение для ьр(0): ~р (0) = ае — г(1гп йег Р. Таким образом, когда Р— оператор деде, рассмотренный в предыдущем абзаце, имеем (1.56) ~р (0) = — '(с, (ТМ), [М) )+ — '(с, (Е), (М)) — йо(М, Е) = = — — '(р — 1)+ —,' й'(Е) — йе(М, Е), 3 где р означает род М.
В частности, если Š— тривиальное расслоение илн расслоение Т М, ьр (0) выражается в виде функции от р. 1.6. Конформная аномалия и мера Полякова Вернемся к обозначениям равд. 1.3 и 1А. Благодаря дзетарегуляризации детерминанты де('Л и де1'Р'Р имеют теперь точный смысл. Следовательно, благодаря формулам (1.4.2) н (1.4,3), ч(д) — тоже корректно определенный положительный элемент в 1 Л (Т;У 1.6.1.
По формуле (1.3.6) видим, что (1.6.1) де(' Ь = с)е(' 4 (д'д)г. В этом равенстве Ье действует на вещественные скалярные функции„а д"д — на комплексные скалярные функции. Учиты- вая (1.5.5) и (1.5.6), получаем де1' Ье де1' (д'д) =- Ср ! 11~~ Р 111' 41.6.2) (Ф Че)=(Ф ° °, Ф ., Фр ..., Ф ) (ф ° ". ф,) — (Ч'о "., Ч'„„, Ч',, ..., Ч (1.5.6), что получим тогда, учитывая (1.5.5) и (1.6.3) < е('Р'Р де1 ((Чь, В) ) г е де1((в„р,)е) =С', [1) (83 Фр ''' Фе! Ч1 Рн)Г где .(1.6.4) 0 (д; Ф, Ф» 1р, Чне) = де1 ((Чгр Ф ) ) е1'(дтхдтх)е де1 ((ф только от р. и где С,' — константа, зависящая 1.6.2.
Формулы конформньсх аномалий. Пусть р ен С-'(М, (ч) н д' = сод. Пусть Р есть 2-форма кривизны расслоения ТсХ, снабженного метрикой д. Если я=х+ (у — голоморфная локальная где С,— константа, зависящая только от р. (Индекс у при д'д напоминает, что д' зависит от выбора и, а не только от комплексной структуры, определяемой д.) Поскольку в диаграмме (1.3.8) изоморфизм (1/2) Ке умножает нормы на 1/2, а изоморфизм 2йео! — на 1/т/2, ясно, что собственные значения оператора Р'Р (действующего на вещественном гнльбертовом пространстве) суть собственные значения оператора 2дтхдтх (действующего на комплексном гильбертовом пространстве) с кратностью два.
Таким образом, если (Фь ..., Фете) — базис комплексного векторного пространства Н'(Х, ТсХ), (Ч'ь ..., Ч',тг) — базис комплексного векторного пространства Й'(Х,ТХ) и если (Чть ..., Чт,гг) — прообразы Ч'; в С (Х, ТХ З в), ортогональиые к образу дтх, и если положить Детерминантные расслоениц рееуляризоеанные детерминанты 127 Ж.-Б. Боот 126 й«1' (д'д) ° о«1' (д'д) = ес (е, о) 111[!з~. 111ф (1.6.5) (1.6.6) П.(у'1 Ф» .. Фмз, 'Чт» ..., Чтпз) = 1зс1е.о)П(у Ф, Ф Чт, Чт, ) где у' р) 24 ' ~ [дРЛдр+21 л].
м (1.6.7) 1.6.3, Из формул (1.6.5) и (1.6.6) вытекает, что выражение (1.4.4) умножается на ехр~(13 — — ) Е(д, р)1, когда у заменяется на у'. Итак, о(д) зависит лишь от орбиты д под действием мо, если и только если П = 26. И легко видеть, что в етом случае ч(у) зависит лишь от П(д) ее,т и и задает строго положительное С -сечение [ т1 [(ТЕУ о), инвариантное относительно Г (см, $1.4.2 и теорему 2.1). Это сечение определяет меру на У вЂ” меру Полякова, которую мы обозначаем (зе. Так как )се Ги-инвариантна, ее можно отождествить с мерой на икр.
1.6.4. Мера Полякова на У» Из результатов разд. 1.3.5 и формул (1.5.3), (1.5.5) и (1.5.6) легко получается следующее выражение для меры Полякова на У 1 (см. [41]): 1 ~з ез з ВТЛВ« (1.6.8) )з~ —— 2 (2„)„(1гп «) [ Ч (т) Г 2 (1та ~)~ Правая часть этого равенства инвариантна относительно действия Р5Ьз(У), так как з) с,-пернодична и удовлетворяет функциональному уравнению Ч ( — 1/т) = Т/т)1 т) (т). 1,6.5, Мера Полякова на У,, р » 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
