Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Используя теорему Мамфорда ([39, 11!. 5.10)) и теорию деформаций стабильных кривых, можно показать, что нзоморфизм Мамфорда е!з саи-а — -(Л'п„вх1»и а) продолжается до изоморфизма в«» — (Лап.вх! и) !3! Г7( — 2А). Отсюда выводится, что если (тв1, ..., вз з) — локальные координаты в окрестности [С), в которых А задается уравнением в, = О, то мера Полякова в этих координатах имеет вид (1, д) 0 суть С"-функции) !зр [ в! Г ! (и ! ° ' твзр — з) [с(гв! л л йтвзр-3 л й!й! л ° . л йгвзр 3 ]» если С приводима; )зр ([ю!] [(он[в!) ] к(и»!» '''» юзр-3)+ +о([аа! [ [1ов]»»»! [ ] ))[ Н»»'! л ...
л йп»зр — 3 ° » с(!з»! л ° ° ° лй»»зр-3 [» если С неприводима. Кроме того, можно связать «вычеты» ](О, вь ..., гвзр-з) и й' с мерами Полякова на пространствах модулей, отвечающих кривым, возникающим при нормализации С («факторизация»). 3.7. Мера Полякова на У, и У, ([9], [35), [37)) 3.7.1. Для любой П евМр и любых (а, Ь) ~О~ Х С~ положим 8] [(О, зг) = ~~' ехр[пр(п+а)зс(п+а)+2п(с(п+а)Ь). ьЬй и ы хр Обозначим через Г векторное расслоение над ~р со слоем На(п-'(з), вз) над з, пучок голоморфиых сечений которого отож- дествлЯетсЯ с 1»ап.вт (а . р» р 138 Ж.-Б. Бост Детерминантнме расслоения, регрляривованнме детерминанта 139 3.7.2.
Мера Поляково на У 2. Имеет место «алгебраический» изоморфизм (3.7.1) РЕТд,, 1'" =О -,. (В действительности группа Пикара Р!с(.Ж2) функтора модулей изоморфна л./10л. и имеет Х! в качестве образующей; см. [39[.) Этот изоморфизм можно описать явно с помощью тета-функций. Положим а — ( П и[ "~ ](о,а!1. с, е,о2Х Это Бр(4, л,)-модулярная форма степени 10 на язх, обращающаяся в нуль только на дивизоре Р— орбите 4([ ~ 1т т,> в'Гт! О г т2 > О, 1шт,> 0 под действием Бр(4, х",). Этот дивизор служит дополнением к образу У 2 при отображении периодов И: У 2 -~-йвх. Изоморфизм (3.7.1) задается тогда как (РЕТдо) а~(Л2!Е) !о- Гув, !2 (ес) (а! Л а2) ' ~' 1.
С другой стороны, имеет место изоморфизм (РЕТдвт,) — (Л2Ц~ =- (РЕТдтт.!в, ж Лв Р, (а, Л а,) а, Л а,а2 Л ах. Изоморфизм Мамфорда получается тензориым умвожением двух предыдущих изоморфизмов: (РЕТ дтт. ! в,) — ЛвР (РЕТ д) ~~ (Лх!Е)~ !а, а', л а,а л а2 ~-» [ ((1) (а л а ) !з Поскольку дуальный изоморфизм Кодаиры — Спенсера отождествляет паси и а;ав находим, что мера Полякова на У 2 пропорциональна (де11ш11) "!12(Р)] '~ П с(11ОЛ Цдагг~. !<! 2<! 3.7.3. Мера Полякова на У в.
Линейное расслоение (РЕТ дтт, ! в,) З З (РЕТ дв ) ж Л~!Р З (Лв!Е)~ обладает голоморфным сечением з = (а1 л гог л аз л а!ах л агогз л ава !) З (а! л аг л а ) Пусть Н вЂ” дивизор гиперэллиптических кривых на У в. Дивизор нулей з совпадает с Н. С другой стороны, отображение гх: рйв- С1 а Д е[ "~ ]<о,и! в„е,~ !а, !р В,.Е,охŠ— модулярная форма 18 степени, которая в композиции с отображением периодов (2: У в- йвз имеет дивизор 2Н (см. [29]). Следовательно, 3'= 12 е Р (а, Л аг Л аз)'в — голоморфное Гв-эквивариантное сечение (ЛвЕ)~" с дивизором 2Н.
Таким образом, з' з-' — голоморфное сечение (ЛвЕ)е З !9 (Ле Г) , всюду ненулевое и Гв-эквивариантное. Получаем, что квадрат изоморфизма Мамфорда описывается как (РЕТ дтт ! в,) — (Лв Г) — (РЕТ до,) ж (Лз!Е)~ (а! л аглегзл агав л агав лава!)' [2(Р) [а! л ахлаз) и, стало быть, мера Полякова на У з пропорциональна (бе(1ш(1) '[[в((1)Г ~ П дззпл П Ж~11~. !<2<!<з ~«<!<в Добавим, что Морозов предложил выражение в терминах тета-функций для меры Полякова на У о в котором участвует соотношение Шоттки, описывающее расположение образа У ! в Уй, при отображении периодов ([37[).
Упомянем, наконец, «явное» описание изоморфизма Мамфорда, принадлежащее Бейлинсону и Манину ([6], см. также [33[). Я благодарен Альваресу-Гомэ, Ж.-Ф. Арви, Т. Жоликеру, Б. Джулиа, Г. Муру, Ф. Нельсону, И. Зингеру, К. Суле и К. Вафа за состоявшиеся обсуждения по теме этого доклада. ЛИТЕРАТУРА 1. А!гагах О. ТЬеогу о! в!г!пкв тм!Ь Ьоппвапев: !!пс!па!соп, !оро!ову апг! чпап!пгп веете!гу, !йпс1. РЬув. В, 216 (1983), 125 — 184. 2, А1тагех О.
Соп!оппа1 апопга!(ев апв Езе !пг!ех пгеогеа, ОСВ Ргерг1п1, РЬТ/85 — 39. 3. А1тагех-Оапгпе !... Вов! злВ.„Моете О., Хе!воп РЬ., га!а С. Вовоп!ха!!оп !и агЬИгвгу Ееппв, РЬув. 1.ен. В, !78 (1986), 41 — 47. 140 Ж.-Б. Бост Детгрмннантнме расслоения, рггулярызаванные детерминанты 14! 4 АИуаЬ М. Р., 8!пнет 1. М. Р!гас орега1огз саар!ей 1о чес!ог ро1епИа!з, Ргос. )з)а1. Асай. Зс!., 81, 1984, 2597. 5, Баранов М. А., Шварц А.
С. Многопетлезой вклад з теорию струн. — ' Письма ЖЭТФ, 1985, т. 42, с, 340 — 342. 6. ВеИ)паап А. А., Мап!и Уи. 1. ТЬе Мшп$огй 1опп апй йе Ро)уаЬоч шеаыге !п в1г!пн йеогу, Сопли. Ма1Ь. РЬув1сз, 107 (1986), 359 — 376. 7. Ве!ач)п А. А., КпйЬпй 'зГ. Сз. А)8еЬга!с деоше1гу апй 8еоше)гу о$ з)иап!шп з)г)п8з, РЬув. ).е)Ь В, 168 (1986), 20! — 211.
8. Белавин А. А., Книжник В. Г. Комплексная геометрия и теория квантовых струн. — ЖЭТФ, 1986, т. 91 № 2, с. 364 — 390. 9. Ве!ач!п А. А., Кп!хЬп02 Ъ'. Сз., Могохоч А., Реге!ошач А, Тзчо- апй йгее1оор апзрйш)ев !п йе Ьовошс в1г)п9 1Ьеагу. РЬуз. 1.еИ, В, !77 (!986) 324 — 328.
1О. Вега 1.. Р!пце гИпзепвюпа! Те)с1ипбИег зрасев апй 8епегаИха1!апз. ВиИ. Ашег. МаИз. Зос. ()з). 8.), 5 (!98!), 131 — 172. 1!. В!ыпи1 д.-М. ТЬе АИуаЛ вЂ” 8!п8ег зпйех 1Ьеогеш )ог $апиИев о1 Р!гас орега1огв: 1чго Ьеа1 ез)иа1юп ргоаЬЬ !пчеп! Ма1Ь., 83 ()986), 9! — 15!. 12. В!ыпй А-М., Ргеей Р. 8. ТЬе апа!ув!в о1 еИ!рйс )ашИ!ез ), П. Сании. Май. РЬув., !06 (1986), 159 — )76, !07, 103 — !63. 13. Воз1 днВ„ЗоИсоеиг ТЬ. А Ьо!опзогрЬу ргорег1у агй йе сгйса) гИзиепяоп зп в1г!п8 йеогу )гази ап !пйех йеогеш.
)з)ис!. РЬуз. В, 174 ()986), 273— 276. 14. Во)1 И., СЬегп 8. 8. Неппйап чес1аг ЬшнИез апй еии№пйпЬийоп о1 йе вегаса о$ йе!г Ло!опюгрйс става зес1запв, Ас1а МаИз., 114 (1968), 7! — 1!2. 15. Сап1епасс! И,, Согпа)Ьа М., МагИпеИ! М., Ие)па С. А)неЬга!с 8еоше1гу апй рай !и1ецга)з (ог с)овей в1г)п8в, РЬуз. 1.е11. В, !72 (1986), 328 — 332. 16. Р'Но)зег Е., РЬопд Р. Н. Ми)(Иоор ашрИ)ийез 1ог 1Ье Ьозоп!с Ро)уа)зач з1г!п8, Хис!. РЬув.
В, 269 (1985), 205 — 234. 17. Ропа1йвоп 8. К. 1пйпце йе1епп!пап1з, в1аЫе Ьипй)ез апй сигча)иге, Ри)зе Май. 3., 54, № 1, (1987), 23! — 247. 18. Рау д. Апа!уИс 1агвюп апй Ргупз гИИегепИа!в. И)ешапп зиг1асев апй ге!а1ей 1орзсв, Ргос. а1 йе 1978 Яопу ВгооЬ Соп$егепсе, Рг!псе!оп ))п)ч. Ргеы, 1980, 107 — )22. 19. Ргеей Р. 8. Ре1егпппап1з, 1агвюп апй в!г!и8в, Сапки. Май. РЬуз., 107 (1986), 483 — 513.
20. Ргеей Р. 8. Апа!уИс 1огз)оп апй с1озей 8еойез)св оп ЬурегЬоИс пзапИо!йз, )пчел). Май., 84 (1986), 523 — 540. 21. Рпейап Р. 1п1гойисИоп 1о Ро!уаЬоч'з з1г!пц йеогу, 1п: Иесеп! айчапсев !п ИеЫ 1Ьеогу апй в1аИзИса! шесЬап)сз, 1.ев НоисЬез, 1982. Ей, ЗиЬег З.-В., Яога И., Хог)Ь НаИапй, 1984, 839 — 867. 22. Рпейап Р., 8Ьеп1зег 8. ТЬе )п)ебтаЫе апа!убс 8соше)гу а1 з)иап!ипз з1г)п8в РЬув. 1.ей. В, !75, 1986, 287 — 296. 23. Сзача Е., денга И., Лауагашап Т., ИашасЬапйагап И. Ми1И)оор й!чег8епсез ш йе с)овей Ьовоп!с в1пп8 1Ьеогу, Тг1ез1е, !985 (Ргерпп1).
24. СИИгеу Р. В, 1пчапапсе Изеогу, 1Ье Ьеа1 едиа)!оп апй йе АИуаЬ вЂ” 8!п8ег )пйех 1Ьеогеш, 'з))е!ш!п8)оп; РиЬИзЬ ог Рег!зЬ, 1984. 25. ОИИе1 Н., Зои!е СЬ. Рзгес1 !ша8ез о1 Ьепп)Иап Ьо!ошогрЬгс Ьипй)ев, ВиИ. Ашег. Май. 8ос., 15 (1986), 209 — 212. 26. Нагег Л. ТЬе весопй Ьопю!а27 игоир о) Изе шарр)п8 с1азз 9гоир о1 ап ог!еп1ей виг)асе.
1пчеп1 Ма1Ь., 72 (1983), 221 — 239. 27. Нагг!з 3. Иесеп! чзогЬ оп л8«, 1п: Ргосеей)п8в о$ йе 1п1егпаИопа! Соп8тезз о$ МайешаИс!апз, В)агхачга, Ыогй НоИапй, 1984, ч. 1, 7!9 — 726. 28. НазчМпд 8. %, Ее1а )ипсИоп ге8и!агйа)юп а$ ра1Ь !п1ебта!в )п сигчей .
врасе-1ипе, Сонин. Май. РЬув., 55 (1977), 133 — 148. 29. !8ива 3. 1. Майи!аг (оггпв апй рта!ес1!че шчагзап1в, Ашег. Зонги. о$ Май., 89 (1967), 817 — 855. ЗО. КпзхЬпй 7. С. Апа)уИс Ие!йз оп И)ешапп ыг$асев, РЬув. Ье)1. В, )80 ( ! 986), 247 — 254. 3), Кпийвеп Р. Р., Мшп)огй Р. ТЬе рго)ес1!чцу о$ йе пюйиИ врасе оз з1аЫе сипгез 1: Рге)изппапев оп «йе)ь апй «Р!чж Майз. 8сапй., 39 (1976), 19 — 55. 32. Манин Ю.
И. Критические размерности струнных теорий и дуализируюший пучок на пространстве модулей (супер)кривых.— Функцион. анализ и его прил., !986, т. 20, вып. 3, с. 88 — 89, ЗЗ. Манин Ю. И. Статистическая сумма струны Полякова может быть выражена через тэта-функции.— Письма ЖЭТФ, !986, т. 43, с, 161 — )63. 34, Мап!п Уи. 1. (4иап!иш з)г!п8з апй а)неЬга!с сигчез, )п: РгосеегИп8в о$ йе !п1егпа1юпа! Соп8геы о$ МайешаИс!апз.
Вег1ге!еу, 1986. 35. Мооге С. Майи)аг (оглы апй Ьчо-!оор в)г)п8 рЬуз!св. РЬув. 1.е11. В, 176 (1986), 369 — 379. Зб. Мооге С., )з)е)воп Р. Меаыге $ог пюйиИ, )з)ис!. РЬув. В, 266, (!986), 58 — 74. 37. Могогоч А, ЕхрИсц (опии)ае $ог опе, Пчо, йгее апй 1оиг )оор в1г!п5 ашр!Иийев, Ргерпп1 )ТЕР, 86 — 88. 38 Мшп1огй Р. АЬеИап з)ио1!еп1в о1 йе Те!сЬпзбИег пюййаг бтоир. Зоигп.
1.'Апа!узе Ма!ЬешаИцие, )8 (1967), 227 — 244. 39. Мшп$огй Р. 81аЬз!Иу о$ рго[ес1!че чапеИез. ).'Епве!нпешеп) Майеша1щие, 23 (1977), 39 — 110, 40. Хечеи А. Риа) гезопапсе шойе!в апй з1г!п8в ш С)СР. )п: Иесеп! айчапсев !п Ие!й йеогу апй в!аИвИса! пзесЬап!сз, 1.ев НоисЬез )982. Ейл ЪлЬег д.-В., Яога И., )з)ог)Л НоИапй, )984.
757 — 837. 41, Ро)сЫпвМ Л. Еча!иа1)оп о)1Ье опе з1г!п8 ра1Ь !п1е8га!. Соппп. Ма1Ь. РЬуз. 104 (!986), 34 — 47. 42. Ро)уа!гоч А. М. (4иап)шп 8еопзе)гу о1 Ьозоп!с в1г!п9в. РЬув. Ье11. В, 103 (!98!), 207 — 2)0. 43. Ра)уа1юч А. М. ()иап1шп деоше1гу о) )егппошс з1г!п8з. РЬув. 1.е11 В, 103 (198!). 211 — 213. 44. Квиллен Д. Детерминанты операторов Коши — Римана на риманоной поверхности. — Функциои, анализ и его прил., )985, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
