Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 27
Текст из файла (страница 27)
19, вып. 1, с. 37 — 41. 45. Иау Р., 8!п8ег 1. М. $$.)огв)оп апй 1Ле !ар!ас)ап оп И)ешапп)ап шап)- (о)йв. Айч. )п Май., 7 ()97!), 145 — 210. 46. Зее)еу )$. Т. Сагир!ех розчегз о$ ап еИ!рбс орега1ог Ргос. Зузпр. Риге Май. АМ8, !0 (1967), 288 — 307. 47. %еИ А. Е!)!рИс )ипс1юпв ассогй!пи Ьз Ейепв1е1п апй КгопесЬег.— Зрппег-'згег!а8, !976, [Имеется перевод: Вейль А. Эллиптические функции по йэенштейну и Кронекеру. — Мл Мир, 1980.) 48. з!го)рег! 8. Авушр1оИсз о1 йе врес1ппп апй йе Зе!Ьег8 хе1а (ипсИоп оп йе врасе о$ РВешапп ыг1асез. Магу!апй, 1986 (Ргерпп1), 49. 8епипа!ге йе Иеоше1г!е а1деЬга)9ие б.
1.ес1. Ыо1ев !п Ма1Ь., 225, Зрг!п8егУег!ан, )971. 50. Риа! йеогу, РЬуз)св Иерог1в герпп1 Ьоой Зег. 1, Ейг ЛасоЬ М., )з)ог)Ь НоИапй, 1974. 51. Чег1ех орега1огз ш пзайегпаИсв апй рЬув1св, Ейл ).ерозчвЬу Л., Мапйе)- з1аш 8., 8)пИег 1. М. МЗИ) РиЫ!сайопз 3, Зрг!п8«г-'згег)а8, 1984. 52. Зирегв1г)п8з, ТЬе ИгМ !5 уеагв о$ ырегйг!п5 1Ьеогу. Ей: 8сЬчгагх 3. Н., )Ззаг!й 8с)еп1)Нс, 1985. 142 Ж.-Б. Борт аополнитйльндя литбрдтурд (Составишль А. А.
Воронов) Изложение дальнейшего развития физики, связанной с затронутыми здесь вопросами, заняло бы объем по меньшей мере одного доклада на семинаре Бурбаки (в частности, см. доклад К. Гавендэского [1*]), поэтому мы коснемси только некоторых математических вопросов Упомянутая в докладе Ж.-Б. Боота локальная теорема Римана †Роха †Гротен является с современной точки зрения лишь «метрической стороной» теоремы Римана †Рох Делиня [2»], утверждающей, что в условиях равд.
2.5 и 3.1 при гйЕ = 1 имеет место каноническая изометрия (бе1 йи,Е) <9(бе!)тп.су)~ э =(Е, Е(я! Гт ) эрмитовых линейных расслоений иа Б, где эрмитова струьтура в левой части получена перемножением метрик Квиллена, а (,) в правой части есть спари- вание Вейля — Делиня ([2*], [6]), ставящее в соответствие наре эрмнтовых линейных расслоений на Х эрмитово линейное расслоение на Я с метрикой типа Аракелова — Делиня.
Существуют также другие локальные варианты теоремы Римана — Роха — Гротеидика, основанные на изучении действия (в духе [32], [3'], [4 )) вертикальных векторных полей семейства и на базе Б — см. Ра- боты [4*], [5ь] для семейства римаиовых поверхностей и [6"] для семейства комплексных многообразнй произвольной размерности. Обобщение теоре- мы 2,2 на последний случай было получено Ж. Бисмю, А. Жийе и К. Супе [7*). 1», Оа~тебхк! К. Соп1оппа! Ве!б 1Ьеогу, Бепппа!ге ВопгьаЫ.,!988.
41е аппее. п' 704. 2*. [)е!!Зпе Р. 1.е бе1епп!пап1 бе !а соьошо!ой(е, Соп1егпр. Ма1Ь., 67 (1987), 93 — 177. 3». Концевич М. Л., Алгебра Вирасоро и пространства Тейхмюллера.— Функциан. анализ и его прил., 1987, т, 21, вып, 2, с. 78 — 79. 4», Ве!Ипзоп А. А., ЯсьесЫшап У. У.
Ве1егпппап! Ьппб!ез апб дпгазого а!- яеЬгаз. Согппшп. Ма1Ь. РЬуз. 118 (1938), 651 — 701. 5*. А!ьаге!!о Е., )уеСопс(ш С., Кас У. О., Ргосез! С. Мобил зрасез о1 сигтез апб гергезеп(а1юп 1Ьеогу. Сопптшп. Май. Рьуз. 1!7 (1988), 1 — 35. 6'. Ге!Зтп В. 1... Тзу8ап В. 1.. йжпапп — йосЬ йеогеш апб 1.!е а!пеьга соьогпо!о8у 1, Ргерпп1, Згп(, 1988, 2пб %!п1ег ЗсЬоо! «Оеоше1гу апб РЬуз!сз», 7*, Вишь Л, О!1!е! Н., Зон!е С Апа1у1!с 1огзюп апб Ьо1опюгр[бс бегепп1- пап1 пппб!ез, 1, Н, 1П, Соппппп.
Май. Рьуз., 115 (!988), по, 1, 2, 49 — 78, 79 — 126, 301 — 351. УРАВНЕНИЯ ЯНГА — МИЛЛСА И ТОПОЛОГИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ (по Дональдсону)1) Н. Дж, Хитчин й 1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ (1.1) Теорема (Дональдсон [8)). Пусть Х вЂ” компактное гладкое односвязное ориентированное четырехл1ерное многообразие, такое, что форма пересечения (г на группе когомологий Не(Х, Я) положительно определена, Тогда существует целочисленный базис групп!я На(Х, У), в котором форма 1,! записывается в виде 1,! (и, и) = и'+ ...
+ иа. Этот результат следует сопоставить с такой теоремой: (1.2) Теорема (Фридман [9[). Пусть (;! — произвольная унимодулярная квадратичная форма над х.. Тогда существует компактное односвязное топологическое четырехмерное многообразие Х, для которого форма пересечения на двумерных когомологиях На(Х, л,) эквивалентна форме ф Поскольку имеется достаточно много неэквивалентных знакоопределенных унимодулярных форм (см. [17) ), ясно, что теорема Дональдсона накладывает жесткие ограничения на топологию гладких четырехмерных многообразий.
(1.3) Доказательство теоремы (1.1). Пусть г = гав[4 Н'(Х, л, и 2п=цр (и ~На(Х, л,) [1,! (и, и) =1). Доказательство состоит в построении ориентированного кобордизма между многообразием Х и суммой п экземпляров комплексной проективной плоскости СР' (это делается в 3 3 — 7). Предположим, что на р экземплярах 4:Ра ориентация индуцируется комплексной структурой, а остальные у =и — р наделены противоположной ориентацией. Тогда для завершения доказательства рассуждаем следующим образом: (1) Поскольку сигнатура инвариантна при кобордизмах, имеем г = 8[апХ =(р — а) 8[ни СРа= р — д(~п.
') Н11емп Н13е! 3. ТЬе уапн — М1Иа еяпа1напа апе !Ье !оро!ону о! 4чпапио!са [апет 31п!оп К. Попа!еаоп).— Зев!па!ге ВопгЬаЫ; збе аппее, 1989/83, и' 606, Аа1егыяпе 105 — 106, 1983, р. 167 — 178. © 1Ч. ВоогьаЫ, зое[еы спа1Ьегпа!!Чае ее Ргапсе, 1983 Н. Дж. Хитчин Уравнения Янга — Миллса (И) Пусть (~х!, „~-х„)=(нее Н'(Х, Е)[!О(и, и)=1) ° Тогда чс(хГ, х!) вел., но, согласйо неравенству Коши — Шварца.. [!е(х„х!) [< 1 при ! Ф1. Следовательно, (хо ..., х„) — орто- .
нормированная система элементов группы Н~(Х, лт); в частности, п(Г. (Ш) Из (!) и (В) следует, что п=г и (х,, х„) — ортонормированный базис группы вещественных когомологий Нг(Х, )ч). Далее, если и~Н'(Х, Е), то и= ~ Ге(и, х,)х, = ! ! л = ~., и;хо где и, ен'с., так что система (х„..., х„) на самом Г-! деле образует ортонормированный базис целочисленных когомологий Н'(Х, У). В этом базисе Я(и, и)= ~ и,'. ! -! й 2. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ (2.1) Пусть Х вЂ четырехмерн ориентированное римаиово многообразие.
Внешняя 2-форма с!ее ьгт называется автодуальной (соответствеиио антиавтодуальной), если а = ча (соответственно а = — яа), где чс 1гз †!-Йз — оператор Ходжа. Пусть 6 — компактная группа Ли и Р— главное 6-расслоение над Х. Связности А на расслоении Р сопоставляется ее кривизна Р(А)ен 1)г(й), где через й обозначено векторное расслоение, ассоциированное с Р посредством присоединенного представления. Для любого векторного расслоения У, ассоциированного с Р, связность А определяет дифференциальный оператор йлл ь)г(У)-!-Р'ч-!(У). Метрика на Х определяет формально сопряженный оператор йл! (ля+~ (У)- (гь(У).
Тождество алр(А)= = О, справедливое для всех связностей, называется тождеством Бьянки. Уравнения Янга †Милл записываются в виде одного соотношения йлр(А) =О, Связность А на главном расслоении Р называется автодуальной, если Р(А) = Р(А). В этом случаейлР(А) =*с(л ь Р(А) = = * йлр(А) =0 в силу тождества Бьянки, так что автодуальная связность автоматически удовлетворяет уравнениям Янга— Миллса: Уравнения Янга — Миллса описывают критические точки функционала (или действия) Янга †Милл: [[ Р (А) ~[', = ~ [ Р (А) [ч йИ.
х В случае компактного многообразия Х автодуальные связности .доставляют абсолютный минимум действия. Если 6 = Я)(2), то, как следует из теоремы Черна — Вейля, минимальное значение равно — 8и'сз(Р), где сз(Р) обозначает второй класс Черна ассоциированного с Р векторного расслоения ранга 2. Функционал Янга — Миллса и уравнения Янга — Миллса инвариантны относительно а) конформных преобразований метрики Х и Ь) автоморфизмов главного расслоения Р (так называемых калибровочных преобразований).
(2.2) Первоначально развитие математической теории автодуальных связностей, вызванное повышенным интересом со стороны физиков-теоретиков, было сосредоточено на случае Х=Б~. В этом случае оказалось возможным с использованием твисторного подхода Пенроуза — Уорда [6[ переформулировать проблему а терминах голоморфных векторных расслоений на комплексном проективном пространстве С(ь'. В недавнее время началось изучение уравнений автодуальности на более общих четырехмерных многообразиях. Три следующих фактора дали импульс этому направлению: (2.3) Если Х вЂ” кэлерово многообразие, то пространство антиавтодуальных 2-форм ьл' совпадает с пространством примитивных 2-форм типа (1,1): (г-=Явь! Отсюда следует, что векторное расслоение с антиавтодуальной связностью автоматически обладает голоморфной структурой (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
