Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 28
Текст из файла (страница 28)
[3) ) и, более того, стабильно в смысле Мамфорда и Такемото (см. [8[, [! 1) ). Обратные утверждения высказывались в виде гипотез; в ряде частных случаев они доказаны ( [13[, [8] ) . (2.4) Прогрессу теории автодуальных связностей способствовали фундаментальные результаты Уленбек ([201, [21]). Одним из них является теорема об устранимой особенности: Если А — связность с конечным действием на тривиальном Я)(2)-расслоении над проколотым шаром В'~,(0), автодуальная относительно некоторой гладкой римановой метрики на В4, то существует автоморфизм расслоения йч В~',(О)- Я)(2), такой, что связность д(А) имеет гладкое продолжение на весь шар В'.
(2.5) Существование автодуальных связностей в очень общих предположениях гарантируется теоремой Таубса [19[: Пусть Х вЂ” четырехмерное компактное ориентированное риманово многообразие с положительно определенной формой пересечения Я, и пусть Р— главное Я)(2)-расслоение над Х с 1о втьь и.
Дж. Хитрин 147 Уравнения Янга — Миллса с,(Р) ( О. Тогда Р допускает неприводимую автодуальную связность. Конструкция Таубса опирается на теорему о неявной функции„ использующую Лс-оценки на кривизну. Следует заметить, что антиавтодуальиые гармонические 2-формы могут быть препятствием к существованию автодуальных связностей, как видно из рассмотрения проективной плоскости СРг с противоположной ориентацией. На СРг иет стабильных расслоений ранга 2 с сг(Р)= 1, и, следовательно, по п.
(2.3), нет и антиавтодуальных связностей. Ситуация теоремы Таубса является отправной точкой для теоремы Дональдсона. (2.8) Опишем пример автодуальной связности. Возьмем Х=Р» и С» = А(2). Пусть х обозначает кватернионную координату в Р» Ц. Если интерпретировать элементы из !т Н как преобразования группы 511(2), то одноинстантонное [7] решение уравнений автодуальности можно записать в виде Имеем Р (Ах) = г ! „г, ]! Р (Ах) []ем = 8пг. хйхе 'х (2.7) Предложение, Пусть А — автодуальная Я)(2)-связность на Р» с действием 8пг.
Тогда, с точностью до калибровочного преобразования и сдвига в Р4, связность А совпадает с Ат для некоторого значения Х ~ 1ч'. Доказательство. В силу конформной инвариантности стереографическая проекция позволяет рассматривать А как связность на 54',(х). По теореме об устранимой особенности эта связность допускает продолжение до связности на расслоении Р— БР. Осталось сослаться на любую из работ [3] ($ 9), [2] или [6].
5 3. ПРОСТРАНСТВО МОДУПЩ (3.1) В доказательстве теоремы (1.1) кобордизм моделируется на пространстве модулей автодуальных связностей, к описанию структуры которого мы теперь переходим. Пусть Х такое же, как и в теореме (1.1). Будем считать, что Х снабжено римановой метрикой. Пусть Р†главн Ье)(2)-расслоение на Х с сг(Р) = — 1. Используя ковариантную производную, связанную с произвольной гладкой связностью Ае на Р, можно определить пространства Соболева 7.ри(У), состоящие из сечений произвольного ассоциированного векторного расслое.ния е'.
Обозначим через ме аффинное пространство связностей на Р, отличающихся от Ае на элемент из 7.ге [(г'(й)), и пусть в обозначает группу Ц-сечений ассоциированного расслоения РХнеб (с: Епб У для некоторого точного представления). Тогда У яв.ляется банаховой группой Ли калибровочных преобразований, .действующей гладким образом на .Ф по правилу д(А)=А— — (для)3-'. Пусть Я обозначает факторпространство по действию калибровочной группы, р: .Ф-еЯ вЂ” естественную проекцию и р(А) = [А]. (3.2) Напомним, что связность на Р называется приводимой, если ее группа голономии является собственной подгруппой в ЯЗ(2).
Так как Х односвязно и Р топологически нетривиально„ редукция возможна только к подгруппе $)(1)с Я!(2). Пусть Гл с: У обозначает подгруппу ковариантно постоянных сечений относительно связности А. Тогда связность А приводима в том и только том случае, если Гл ж П(1). Классы эквивалентности неприводимых связностей образуют открытое подмножество Я' с Я. (3 3) Предложение. (!) я — хаусдорфово пространство в фактортопологии. (П) Я' — банахово многообразие, картами которого служат .срезы действия калибровочной группы У вида Т,, = (А + а ] сГ а = О, ]! а ~[ г < е1Г (И) р.
р-1(Я ) Я* — главное У/(~1)-расслоение со связ,ностью, задаваемой определеннгеми выше срезами. (!У) Если связность А приводима, группа Гл действует на Тл, и отображение Тж йГл- Я является гомеоморфизмом на окрестность точкй [А] в= Я, гладким вне множества неподвижных точек. Доказательство получается стандартными методами (см. [3], [12], [!4]), использующими теоремы об обратной и неявной функциях в банаховых пространствах. (3.4) Пусть лч с: Я вЂ” подпространство классов эквивалентности автодуальных связностей на Р.
Будем называть а(т пространством модулей. Если связность А ен.яФ редуцируется к связности на главном ()(1)-расслоении (г с Р, то ее класс эквивалентности, с учетом односвязности Х, однозначно определяется кривизной Р(А)~ Ж Если связность А автодуальна, то кривизна 10* ЫВ Н. Дж. Хитчин Уривнения Янга †Миля Р(А) является автодуальной и, следовательно, гармоннческой 2-формой. Как следует из теории Ходжа, Р(А) в этом случае однозначно определяется своим классом когомологий 2л!с1(!г) Редукция к (1(1) корректно определена по модулю группы Вейля, так что класс [А] ен ле зависит только от ~ с1((г).
Поскольку с,(Р)= — с1(!г)'= — 1, в лч имеется л выделенных точек, представляющих приводимые автодуальные связности, где и имеет тот же смысл, что и в п. (13): 2л=4~(иееНо(Х, г) !!ч(и, и)= = 1). Из п. (2.5) следует, что в л(г имеются также неприводимые связности.
(3.5) Автодуальная связность А на Р определяет эллиптический комплекс [3] А П1(3) ()х (3) где с(л обозначает проекцию дя на антиавтодуальные 2-формы. Пусть Нли (О ( р (2) — соответствующие гармонические пространства. Тогда по теореме Атьи — Зингера об индексе (см [3]) имеем ( 1) ойгп Н~л = 8! с, (Р) ! — — (Х(Х) — 3!йп (Х)) = 5. и-о (3.6) Предложение. Пусть А — автодуальная связность на Р, и е ) 0 достаточно мало.
Тогда существует окрестность П нуля вН'„, 0 е:- с» с:.Н'„, и гладкое отобРазсгние ф: П-и Ноя,-"1такое, что: (!) если связность А неприводима, окрестность класса [А]вел(» диффеоморфна »р '(0) ~ Н'; (й) если связность А приводима, окрестность класса [А] ЕЕ,Х диффеоморфна ф-1 (0) /Гя.
Доказательство. Связность А + а автодуальна тогда и только тогда, когда Ф (А + а) = Р (А + а) = г(л (а) = — [а, а] = О ее (,, '(()г (й)) При ограничении на срез Тл, производная ПФл отображения Ф в точке А дает фредгольмов оператор дл. ')сег дл (~ Ьз((21 (8))) -». -ьЦ((2' (3)), следовательно, Ф само фредгольмово ([1], [18]). После применения локального диффеоморфизма Ф может быть представлено в виде Ф(х)=(ПФл)х+ ф(х). Метод доказательства аналогичен методам, применяемым в теории модулей комплексных структур [10].
(3.7) Из (3.5) и (3.6) следует, что если связность А неприводима и Нл — — О, то и»е — гладкое пятимерное многообразие в окрестности точки [А]. Имеется частный случай, когда это верно для всех неприводимых связностей А. Это случай, когда введенная на Х метрика автодуальна с положительной скалярной кривизной (см.
[3]). Заметим, что если связность А приводима, то' Г действует иа Нл комплексным умножением (напомним, что 1 (»1(Х) =О). Таким образом, если Н~л=О, то по теореме об нно дексе с учетом условия б!ш Нл=ойгп Г4= 1, получаем изоморфизм Нл(Гл = С /3 . й 4.
КЛЮЧЕВОЙ РЕЗУЛЬТАТ (4.1) Важным для понимания глобальной структуры пространства модулей является следующее утверждение (см. также [15] )1 (4.2) Предложение. Пусть Хг ~,Ф вЂ” последовательность автодуальных связностей на Р. Тогда из нее можно выделить подпоследовательность, для которой выполняется одно из следующих двух условий: (1) Связности Хг можно заменить на калибровочно эквивалентньге связности А; ен лЕ, сходящиеся в С -топологии к некоторой связности А на Р, так что для классов калибровочной эквивалентности имеем сходимость [Аг]-~[А ] ~ М.
(й) Существуют точка х ы Х и тривиализации р; расслоения Р ! К на дополнении К произвольного геодезического шара с центром в х„такие, что р',А,— (» (тривиальная плоская связность) в С' (К). Доказательство. Нам понадобятся две леммы. (4.3) Лемма. Пусть даны константьг г'., С О, и пусть (]1)— последовательность интегрируемых функций на Х, причем [1) ) 0 и )гй!4 ( (,. Тогда существуют подпоследовательность, конечное множество точек (хь ..., х»)~Х и счетное множество (В„) геодезических шаров в Х, такие, что шарь» половинного радиуса покрывают Х'~(х„..., х1) и !пизпр ~ )14(р <С для и любого а.
Доказательство элементарно: точки х, выделяются тем свойством, что каждая нз них не может быть включена в шар В, для которого !пп зпр ~ )1 г(!4 ( —. С в !5» Уравнения Янла — Миллса Н. //(ас. Хитчин (4.4) Лемма. Пусть Ь, — последовательность метрик на В', достаточно близкая в евклидовой метрике и сходящаяся к канон-то. метрике Ь в топологии С (В4).
Пусть Х/ — последовательность' связностей на тривиальном расслоении над В', и каждая связность А, автодуальна относительно метрики Ьь Тогда существует такая константа С (не зависящая от Ь; и А;), что если (Р(А,) 1ай1ь < С, то найдется последовательность Аь состоящая из связностей, калибровочно эквивалентных членам некоторой подпоследовательности связностей Аь и сходящаяся в т! С !н — Ве) к связности А , автодуальной относительно метрики Ь . Доказательство следует из теоремы (1.3) работы 121).
(4.5) Чтобы получить (4.2), сначала рассмотрим геодезическую систему координат у на геодезическом шаре В~Х радиуса г, т. е. диффеоморфизм т! В~- В из евклидова шара радиуса г на В. Перенося метрику Ь на единичный евклидов шар посредством диффеоморфизма т и растяжения, получим метрику Ь, = т Ь (гх) = га (ба + геО (( у Г)) йу, дур Выберем радиус г настолько малым, чтобы метрика гзЬ, на Ве удовлетворяла условию близости к евклидовой метрике, как в формулировке леммы (4,4).
В силу конформной инвариантности каждая из связностей Х; автодуальна относительно Ь,. Теперь в лемме (4.3) возьмем константу С из (4.4); положим 1, =~Р(А!) 1а и В =8па. Тогда по лемме (4.4) на каждом шаре !— -В„некоторая подпоследовательность (после применения калибровочных преобразований) имеет предел А (а). Переходя к диагональной подпоследовательности, можно добиться сходи- мости одновременно для всех сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
