Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда Замечание. Эта формула аналогична формуле Пуанкаре для эйлеровой характеристики т' Рассмотрим стандартную контактную структуру Ро' на (чз, заданную формой рзй9+ йг. Единичная окружность 5' = =(сов 2п1, з1п 2п1, О) будет в этой структуре положительной кривой. Замкнутой косой мы будем называть всякую вложенную ориентированную кривую, не пересекающую ось Ог, вдоль которой 9'= й9/Ж) О. Обозначим через А полноторие, образованное точками из Рз, удаленными от 5' не более, чем на 1/4, и через Т(А) — множество замкнутых кос, содержащихся в А и удовлетворяющих неравенству йр'+ йгз ((1/4) ййз.
Все замкнутые косы из Т(А) положительные. И все положительные замкнутые 167 узлы и контактные структуры в размерности 3 А. Дуади косы изотопны в классе положительных замкнутых кос элементам из Т(А). Сопоставим замкнутой косе у следующие инварианты: число' нитей п(у) — это степень проекции у- 5', и алгебраическую длину с(у) — это число точек самопересечения проекции кривой у на плоскость (х, у), подсчитанных с указанными в 3 3 знаками. Предложение 3. Пусть у — замкнутая положительная коса Тогда 1к, (у) = с (у) — и (у).
Доказательство. Рассмотрим радиальное относительно оси Ог поле г (например, г(х, у, г) =(х, у, 0) ) и ненулевое поле й со значениями в Рв (например, $(х, у, г) = (1, О, у) ). Тогда с (у) = =1. (у, у+ег), а 1. (у, у+ ег) — 1. (у, у+ в",) — это степень отображения х ~-угол Я(х),т(х)), равная п(у).
Теорема 1. Каждая положительная относительно Рп кривая изотопна з классе положительных кривых положительной замкнутой косе. Доказательство. Пусть à — ориентированная компактная кривая и м Г- (кз — вложение, положительное относительно Р,, образ которого в кривая у. Можно считать, что у не пересекает ось Ог, что позволяет записать 1 как 1»(р(1), 0(1), г(1)), где 0' и г' могут принимать нулевые значения лишь в конечном числе точек кривой Г. Можно считать также, что проекция у на цилиндр 51 р1', (к = ((О, г) ) — это погружение с трансверсальными пересечениями.
Если 0' (О, то г' > О. Рассмотрим связные компоненты кривой Г, заданные условием (1ее Г~г'(1) > 0), и обозначим через 1,, ..., 121„1 те из них, которые содержат точки, в которых 0'(О. Мы построим такое положительное вложение 111 1 (р1(1), 01(г), г,(1)) кривой Г в (кз, не задевающее ось Ог и изотопное 1 среди положительных вложений (ие обязательно не пересекающих ось Ог), что г1(1) = г(1) н й(у,) =й(у) — 1. Это делается в два шага. Шаг 1, подготовительный. Посмотрим из оси 0» на проекцию кривой на цилиндр 51;м', (к. Пересечения образа интервала 1, в точке, где 0'(О, с проекцией дуги 1' относятся к одному из трех типов: Тип 1: 0'((') ) 0 и —,, > —, 2' (1') 2' (1) 8'(Р) 8' (1) 2 (1) 2 (1) Тип 2: 0'((') <0 и у-ут)-< 8.() ', Тин 3: 0'(1') <О и —,, ) О (через 1 обозначена точка интервала 1ь а через Р— интервала 1).
Четвертый случаи, когда 0 (1 ) > 0 и —,, < —,, невозмоl т I 2 (1) 2 (1) 8' (1') 8' (1) ' жен (в силу положительности кривой). Изменим кривую у в окрестности точек 1 и Р в соответствии со следующим рисунком: т 1 к' твп1 тпп Е -.ип 3 .Это можно сделать так, что в тех точках, где 0'=О, будет вы полнено и равенство р' = О. Шаг 2, основной. Каждая связная компонента множества тех 1~1„в которых 0' =О,— это дуга, которую можно деформировать в соответствии со следующим рисунком так, что она обойдет ось Ог и не будет пересекаться с у.
Такая деформация не уменьшает г'+ ху' — х'у. Поскольку эти деформации происходят в непересекающихся слоях, заключенных между горизонтальными плоскостями, все они могут быть выполнены одновременно. В результате применения этих операций й(у) раз мы деформируем у в замкнутую косу. 6. ПОВЕРХНОСТИ МАРНОВА Обозначим через А полноторие в (кз с осью 5', через лев слоение А иа плоскости 0 = с", ориентированное формой дглс(г, и через з.
слоение Рз — А на сферы с центрами на оси 0», проходящие через окружность 5', ориентированное таким образом, что с(2л с(у > 0 на оси 0». Определение. Пусть у — замкнутая коса, содержащаяся в А. Поверхностью Маркова с краем у, согласно Беннекену, называется компактная ориентированная поверхность )т с краем у, не имеющая компонент без края и удовлетворяющая следующим условиям; 169 узлы и контактные структуры е размерности 3 А.
Дуади 168 М1. У'П((ке — А) — объединение конечного числа слоев слоения уе (с ориентацией, наследуемой из слоения .у, нлн противо. положной ориентацией). М2. $с имеет внутри А только изолированные невырожденные критические точки относительно еТ, причем все эти точки индекса — 1. МЗ.
Значения О в этих критических точках попарно различны. Если у положительна относительно стандартной контактной структуры гь и если )с — ориентированная поверхность с краем у, удовлетворяющая условию М1, то суммы индексов ее критических точек относительно поля плоскостей Еь и М, расположенных в А, одинаковы. То же относится и к суммам скрученных индексов. В действительности существует гомотопия, связывающая поля плоскостей М и Рь в классе пфаффовых систем в А„ трансверсальных краю )с П А. Для каждой компактной ориентированной кривой у, вложенной в (кз, обозначим через Х(у) наибольшую эйлерову характеристику.вложенных в 1ке ориентированных компактных поверхностей К с краем у, не имеющих замкнутых компонент.
Теорема 2 ( [1), 6.3.0). Пусть у — замкнутая коса в А. Существует поверхность Маркова Ь' с краем у, для которой х(р) = = х(у). Лемма 1. Пусть У вЂ” поверхность с краем у. Существует поверхность 1', изотопная р' в классе поверхностей с краем у и удовлетворяющая условию М1. Доказательство. Можно считать, что У трансверсальна оси Ог, и в окрестности каждой из точек пересечения с Ог она совпадает со слоем слоения У'. Пусть ~ — векторное поле на (к', равное нулю в окрестности у и совпадающее на (к' — А с направлением меридианов слоев слоения Зе, ведущих от точки оси Ог к 5'. Сдвигая е' вдоль поля ь, мы получим поверхность Г. Доказательство теоремы 2. Во-первых, Х(у) ) — ьь, так как всегда существует ориентированная поверхность р' с краем у, и х(у) ограничена числом связных компонент кривой у.
Следовательно, существует такая ориентированная поверхность У без замкнутых компонент, что де'=у и Х()с)= =х(у). Можно считать, что у удовлетворяет следующему условию общего положения: внутри А у у имеются только невырожденйые критические относительно слоения е(с точки, причем значения угла О во всех этих точках попарно различны. Мы будем уничтожать критические точки индекса 1 с помощью- перестроек, не уменьшающих эйлерову характеристику К А поскольку Х()с) максимальна, эта эйлерова характеристика вообще не будет меняться при перестройках.
Пусть Вен 5', положим Не='е'ПМе. Тогда Не — это ориентированная кривая с краем (ориентация задана таким образом, что точки дНе, принадлежащие у, имеют знак — 1), возможно имеющая одну изолированную точку седлового типа, изображенную на следующем рисунке: Назовем локоном кривой Не гомеоморфную окружности связную компоненту (локон первого типа) или а'() (а), где а — критическая точка, а Х вЂ” связная компонента в Не — (а) (локон второго типа).
Пусть С вЂ” локон кривой Не, не содержащий в Ме других компонент кривой Не. Определим перестройку, отвечаю1цУю С, в соответствии со следующим чертежом: тнп 1 тяп и Эта перестройка уничтожает С и увеличивает Х($') на 2. Обозначим через Ес композицию этой перестройки с последующим отбрасыванием возникающих замкнутых компонент.
В действительности при перестройке возникает не более одной замкнутой компоненты, причем ее эйлерова характеристика не превосходит двух. Поэтому отбрасывание этой компоненты не приводит к уменьшению Х(у). Рассмотрим связную компоненту кривой Не, концевая точка которой принадлежит кривой у. Эта точка отрицательно ориентирована, значит, данная компонента содержит и концевую точку с положительной ориентацией.
Эта концевая точка лежит на дМе. Если Не не содержит изолированных точек, то каждый локон содержит внутри иекоторыедругиелоконыкривой Не. Поэтому локоны Сь, С, кривой Не можно заиумеровать таким образом, чтобы С; содержал только те С„для которых 1 ~ . Определим Ее как композицию операций Ес„..., Ес„. 17о узла и контактные структуры в размерности 3 А. Дунаи 171 Пусть аь ..., а, — критические точки индекса — 1 поверхности (7 относительно слоения йг, а Оь ..., О,— соответствующие значения О.
Поверхность т", полученная после перестроек Ез,, ..., Ео, больше не содержит локонов второго типа. Тогда / )7 не содержит критических точек индекса 1, ибо каждая такая: точка отвечает либо рождению, либо исчезновению локона первого типа. Но локон не может исчезнуть, не породив замкнутой компоненты )7, а рождение локона происходит только в результате перестройки второго типа, так что поверхность )и действительно не содержит точек индекса 1. 7. НЕРАВЕНСТВО БЕННЕКЕНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ Пусть в )кз задана стандартная контактная структура Ро..
Основной результат Беннекена — это следующее неравенство: Теорема 3 ([1, 1)1. Е]). Пусть у — некоторая Ро-положительная кривая. Тогда — Х (у) з 1к, (у). Следовательно, эффективно вычисляемый инвариант 1к,(у) оказывается нижней границей величины — Х(у). Если усвязна, то — Х(у)= 2к(у) — 1, где у(у) — род; таким образом, получается ограничение снизу на род узла у(у), т, е. на его сложность. Основная лемма ( [1, 1)7. О] ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
