Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть у — замкнутая коса, содержащаяся в А, а к' — поверхность Маркова с краем у. Обозначим через зч. (соответственно з ) ~иола компонент ((кь — А)О 'к'„ ориентаиия которых совпадает (соответственно противоположна) ориентации слоения йз. Обозначим через аз (соответственно а †) число критических точек )7 в А относительно слоения Дг, ориентация которых совпадает (соответственно противоположна) ориентации,ТТ.
Тогда з- ( а-, Вывод теоремьз 3 из леммы. Пусть (7 — такая поверхность Маркова с краем у, что Х()7) =Х(у) ((7 построена в теореме 2). тогда х((7) = ~. 1(а1) и 1Р,(у) = — х, з'(а;), где а1 — критические точки 1' относительно Ро (предложение 2). Пусть Х()7) =Х'+Х" и 1к,(у) = 1'+ 1", где Х' и 1' (соответственно Х" и 1н) обозначают суммы, отвечающие тем точкам аь которые лежат в )кз — А (соответственно в А). Критические точки, лежащие в [кз — А, сосредоточены на оси Ог, и все имеют индекс 1. Поэтому Х'= +з — и 1'= — з-+ —, Для вычисления внутри А заменим распределение Ро на дг, гомотопное ему в классе пфаффовых систем, трансверсальных краю поверхности (7 П А. Обозначим через а' кри- тические точки поверхности )7 относительно,йг, лежащие вА.
Все они имеют индекс — 1; поэтому Х"-.= ~„1(а') = — ач — а и 1" = — 1 (а') = а — а . Значит, Х + 1 = 2 (з — а ) ( О, что и требовалось. Следствие 1 ([1, 1)1. 5.5.1, сог. 5.5.2]). Пусть у — замкнутая коса из п нитей, имеющая алгебраическую длину с. Тогда — Х (у) ) [ с [ — и. В частности, если у незаузлена, то [с[( п. Доказательство. Можно считать, что у ее А, Тогда 1(у) = с— — и( — Х(у).
Симметрия относительно плоскости (х,у) меняет знак с и не меняет ни и, ни Х(у). Поэтому верно и неравенство — с — л( — Х(у). Значит, [с[ — л( — Х(у). Следствие 2 ([1, 1)т Р, С]). Пусть у есть Р,-горизонтальная кривая. Тогда т(У)( — Х(У) — [И(У) [ В частности, если у незаузлена, то т(у) ( О. Доказательство. Для всякой ориентированной кривой 71 обозначим через 71" ту же кривую с противоположной ориентацией.
Тогда т„,(у) + 1к (у) = 1„ (у + з ') = 1,((у + е ) ) ( — Х (у) и т,(у) — р (у) = 1,(у — ° ) ( — Х (у). Таким образом, т„(у) + [ р (у) ~ ~~ — Х (у). Следствие 3 ( [1, 1)1. А]). Пусть )7 — вложенный в [кз диск. Векторное лоле 71 не имеет замкнутых траекторий, Действительно, такая траектория у была бы незаузленной Рз-горизонтальной кривой с т(у) = О. Следствие 4. Контактные структуры, описанные в $2, не изоморфны стандартной контактной структуре. Они даже не могут быть вложены в )кз со стандартной контактной структурой. 8.
ДВА (ИЛИ ЧЕТЫРЕ) ГРАФА ПОВЕРХНОСТИ МАРКОВА Пусть у — замкнутая коса, а Ф' — поверхность Маркова с краем у. Обозначим через уь ..., у, компоненты кривой у, а через Рь ..., Р,— компоненты поверхности у'П()кз — А), являющиеся слоями слоения й; пусть рь ..., р, — нх края, аь А. Дуади пз с1 с1 ы;(амл11 ы„.(клар) е(со 1=-1 ы1(нли Р 1 (ыд= 1 ..., аа — критические точки у'П А относительно,4' н р — замкнутая ориентированная поверхность, полученная приклеиванием к (г дисков Аь ..., А, вдоль кРивых ть ..., У,.
Обозначим че-' рез бь ..., 6„ыь ..., ы, центры дисков Аь ..., йо Рь ..., Р, и положим е(ан) и е(а~) равными ~-1 в зависимости от того,. совпадет ли в этой точке ориентация у' с ориентацией .лс или й. Положим е(6;) = — 1 для всех 1= 1, ..., г. Для каждого 1= — 1, ..., а обозначим через С~ (соответственно С~~) входящую (соответственно выходящую) сепаратрису поля т) . в точке а . Все введенные объекты можно изобразить иа Р посредством двух графов, двойственных друг другу в смысле двойственности Пуанкаре: графа 6э с вершинами, отвечающими тем точкам аи для которых е(аи) = 1, и с ребрами, отвечающими кривым С~~, графа 6- с вершинами, отвечающими точкам ин с г(са,) = — 1 и точкам бь и с ребрами, отвечающимиС~ . Каждый из этих графов — объединение двух подграфов: 6+ = 6+ () 6, 6 = 6~.
() 6 . А именно, 6"; (соответственно 6+) получается, если оставить в 6+ только те вершины и ребра С~+, для которых е(а;) =+1 (соответственно — 1). Аналогично определяются 6+ н 6:. Изображая графы, мы будем придерживаться следующих обозначений (см. рисунок): (Стрелки указывают направление поля знаки ~ около точек а; указывают значения г(а~).) Мы будем заниматься графом 6-, у Уели и контактные структуры а раааерности 3 которого з +г вершин и а- ребер.
Основная лемма вытекает из следующего утверждения. Предложение 4 ([1, 1)ь Н)). Граф 6: не имеет ни одной связной компоненты Х, все вершины которой были бы точками са; и которая была бы деревом (т. е. стягиваемым графом). Вывод основной леммы из предложения 4. Предположим, что з ) а . Поскольку Х(6:) =г+з — а, . получим, что т,(6:) ) г. Эйлерова характеристика дерева равна 1, а эйлерова характеристика графов, не являющихся деревом, неположительна.
Поэтому из неравенства т,(6:) ) г следует, что 6 имеет более г компонент, являющихся деревьями. Поскольку число вершин 6; равно г, найдется такая компонента, все вершины которой — точки саь что и требовалось. Само же предложение 4 доказывается нндукцией по числу вершин Х с использованием следующих трех лемм. Назовем простой висячей вершиной графа 6 висячую вершину (т. е. вершину, из которой выходит одно ребро), которая изображена на следующем рисунке: Лемма 1.
Пусть со~ — висячая вершина графа 6, с е= ~ (1, ..., з) Тогда существует коса 7', изотопная т, и поверхность Маркова (Г' с краем т', изотопная )Г в классе поверхностей, /в удовлетворяющих условиям М1 и М2, такие, что в графе 6:, построенном по У' и изоморфном 6, вершина ач станет простой. Лемма 2. Пусть ев — простая висячая вершина графа 6:. Тогда существуют такие коса у1 и поверхность Маркова у" с— с краем т', диффеоморфная )г, что соответствующий граф 6: имеет компоненту Х', полученную из Х удалением вершины ьв и выходящего из нее ребра.
Замечание. Коса т' не обязательно будет изотопной косе у, но зто обстоятельство нас не будет смущать. А. Дуада 1'7о Л1 л' Л1 от а а 1 в=во Лемма 3. Граф 6: не имеет компонент, состоящих из единственной точки оз,. Доказательство леммы У. Пусть ао, ..., ак — критические точки, лежащие на ребрах графа 6 —, выходящих из вершины озь занумерованные таким образом, что значение. угла О возрастает с ростом номера (см. рисунок ниже), Пусть з (ао) = — 1, е(а~) = = ... =е(а,)=1 и Оо...
Ок — значения угла О, отвечающие точкам ао, ..., ао. Мы покажем, как можно уменьшить число точек ао, ..., ак, если й ) 2. Пусть У с: 5' — дуга окружности 5' с угловой координатой О. Назовем перегородкой в А, отвечающей У, образ Ф' вложения УХ[0, 1[ — ~А, сохраняющего значения угла О и удовлетворяющего условию В'ПдА =У;к',(0,1). Построим по дуге [91 — е, От+ е[ перегородку Ф', следы которой на поверхностях )т и Мо изображены на следующем рисунке: в~ вз< в <во Ют После надлежащей нзотоции можно считать, что (от имеет вид УХГ с:.А=5'Хмо. Пусть М вЂ” окрестность (кт, не содержащая точек озь и ср— такой диффеоморфнзм А вида (О, т) (О', т), что если О ФУ=[О, — е, От+а[, то О'=0; если 9=0, н т — А — М лежит по ту же сторону от В', что а„то 0' > (О, + Оо)/2; Узлы а контактные структуры е размерности 3 если О = О, и т ~ А — М лежит по ту же сторону от М, что ат, то О' < (01 + От)12.
Положим )т' = ср((т). Тогда слоение лу имеет вид, изображенный на следующем рисунке: Таким образом, днффеоморфизм ср уменьшает число л на единицу, что и требовалось. Доказательство леммос 2. Пусть ао и а, — критические точки на ребрах графа 6-, выходящих из вершины оть а Оо и 0~ — соответствующие значения угловой координаты О. Обозначим через Е область в (т, ограниченнуюСо и С~1, а через сов и озз.— концевые точки этих, ребер, изображенные на следующем рисунке: Положим Е =Е() А. Изменение пересечения Е с Мое изменением О изображено в виде следующего «мультфильматс В«Яо вз1 О=но Ов(91 во) 176 А.
Дуади 177 в-в, а '«а, е,а,-е) В =Вота а=в, а ««ао,в«1 В=ат 1и Бурбаки В-ау-е а=в, а«(в,,а,) Пусть Т вЂ” такое замкнутое подмножество в А, не пересекающееся с К, которое дает показанный выше «мультфильм». Пусть ф — такое сохраняющее ориентацию вложение 5« — ()к, и', 1«а) в себя, что ар(«л', «к) =(«с', «к"'), где «л'ы ен ((х", «к)1 совпадает с тождественным отображе- Узлы и контактные структуры в разиерности 3 пнем на интервале («с, «са), причем ар («к", «л') = («к'", «к') и тр(к',.)=)с;. Построим вложение Ч" множества А — Т в себя, которое сохраняет значение координаты 8, совпадает с тождественным на Е н задает на крае А отображение (й, )а) (й, ф (к)).
Образу ЧУ отвечает «мультфильм», изображенный в центре с. 176. (Образ Чтл — это замкнутый диск без заштрихованных зон н пунктирных линий.) Образ )УДА при днффеоморфизме Ч' имеет вид ГаДА,где )7и — поверхность Маркова, н существует днффеоморфнзм Ча: )7-»)7", совпадающий с ЧУ на РУПА. Рассмотрим в )У" следующую кривую Г: Вложим в А диск () таким образом, что Р П )Уи = Г в соответствии со следующим «мультфильмом»: Подвергнув )7и перестройке, которую задает диск с), мы получим поверхность, состоящую из двух связных компонент. Одна из них сфера, содержащая Р«н Р;.„а другая — поверхность Маркова )У', которую н требовалось построить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
