Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2.1.4. Шапиро и Лаврентьев перенесли большую часть результатов Римана на нелинейные эллиптические системы; Громов нашел глобальные аналоги их результатов: Теорема 0 (Лаврентьев). (Эта теорема обобщает теорему Римана для односвязных областей на комплексной плоскости.) Пусть Л и б' — две относительно компактные односвязные области в С с гладкими границами у и у'. Пусть Š— эллиптическое отношение в ааХЛ', содержащее для каждой точки (г, ю) вертикальную и горизонтальную плоскости.
Пусть даны три точки, лежащие на уеду', причем их проекции как на у, так и на у' попарно различньи Тогда существует единственнуий диск, являющийся интегралом Е, граница которого содержит эти три точки и который трансверсален вертикалям Гз' и горизонталям Га. В [9) эта теорема обобщается на случай, когда априори не заданы вертикальное и горизонтальное интегральные слоения отношения Е. Теорема Е (Громов) (обобщающая теорему Римана на случай замкнутых односвязных поверхностей). Введем на многообразии Ф' = 5'К 5г стандартную симплектическую структуру оу =оуо+ ьуо, где интеграл формы ьуо по 52 равен 1, и рассмотрим на Ж' эллиптическое отношение, положительное относительно оу.
Для каждой пары положительных чисел (а, о) существует гладкий интеграл Е, гомологичнгчй а 152 Х 1]+ Ь(1 Х Я. Этот интеграл — поверхность рода (а — 1) ((у — 1). Многообразие Чу допускает пару трансверсальных слоений, слои которых — интегралы Е, изотопную паре слоений, составленных из вертикальных и горизонтальных слоев. В (91 содержится также обобщение этого результата на случай произведения 5' на двумерную поверхность. Отметим еще, что теорема С' распространяется на эллиптические отношения, положительные относительно формы ауо на Срз Эллиьтичесние задачи, романьей поверхности 2.2.
Строго эллиптические задачи в размерности з.4 2.2.1. В размерности 4 симплектическая структура оу на Ф' используется только для того, чтобы гарантировать хорошее поведение в целом решений эллиптического отношения Е. В старших размерностях дело обстоит иначе, и одним из достижений Громова является введение удобного понятия эллиптичности (от двух независимых переменных) в случае дпп %' ) 4, которое позволяет использовать симплектическую структуру при изучении ситуации в линейном приближении. Обозначим через Яьа грассманиан ориентированных двумерных подпространств в ориентированном вещественном 2п + 2- мерном векторном пространстве У Яз„ днффеоморфен гладкой квадрике комплектной размерности 2п в СР~"+').
Пусть оу— симплектическая структура в У и Я+ — подмногообразие симплектнческих плоскостей (с надлежащей ориентацией) в Я. В каждой точке д~ аг+ задана конформная структура типа (2п, 2п): элемент 1ен ТД = Ноги(д, (у/д) лежит в положительном конусе С+, если 1 отвечает симплектическому вложению, сохраняющему ориентацию. Иными словами, нужно вместо определителя рассмотреть пфаффиан: 1 ~ С+, если Р11 ('1 а оу а 1) ) О.
Скажем, что замкнутое связное подмногообразие вещественной коразмерности 2п в Я+ — положительное относительно ьу эллиптическое многообразие, если каждый его касательный вектор лежит в положительном конусе. Если Š— положительное эллиптическое многообразие, то для каждой точки е~ Е пространство Т,Е является симплектическим подпространством размерности 2п в д'З У/ц. Например, прямые комплексной структуры на К положительной относительно уо, образуют многообразие СР", которое является положительным эллиптическим в Я.
2.2.2. Лемма. Все положительные эллиптические подмногообразия относительно ьу изотопны друг другу в классе таких подмногообразий. Идея доказательства. Выберем комплексную структуру Хо, подчиненную оу, и обозначим евклидову метрику ьу(, То) через уо, а подмногообразие в О+, составленное из комплексных прямых структуры Մ— через Р,. На многообразии Яо+ = Я~ ', Р, двумерное тавтологическое расслоение 6 тривиально, так как Ро определяет класс гомологий Я+, двойственный классу Эйлера расслоения 6. Пусть з — ненулевое сечение 6 на Я~о.
Обозначим через Пч, где д еп Ооо, симметрию плоскости д относительно Эллангаческае задачи, романовы новерхноета 196 !94 Д. Беннекен прямой з(а). Тогда композиция Тоо 6« задает векторное поле на <до>. Поток этого поля ретрагирует <К на произвольно малую окрестность Ро в <',>+ и сохраняет конформную структуру. В отличие от случая и = 1 (т. е.
<)1ш Ж'= 4), вообще говоря, не существует комплексной структуры, для которой проективное пространство комплексных прямых касалось бы Е в заданной точке ееиЕ; но всегда найдется комплексная структура, подчиненная ь>, для которой е была бы комплексной прямой, и этого уже достаточно. 2.2.3. Пусть (ЧГ, а>) есть 2п+ 2-мерное снмплектическое многообразие, а 6 (соответственно бч ) — расслоение со слоем Я (соответственно Я+), ассоциированное с касательным. Определим положительное эллиптическое отношение (п. э. о.) на яу как подмногообразие коразмерности 2п в 6+, трансверсальное слоям н высекающее на них положительные эллиптические подмногообразия. Как и в размерности 4, определяются решения и интегралы отношения.
2.2.4. Пусть Š— п.э.о. относительно гладкой структуры о> на Ю'а ~з. При изучении решений отношения Е вида (Хз, о>о) удобно рассмотреть расширенное <разовое пространство Х><', Я7. На нем тоже можно задать п.э.о. Е относительно формы ь>о+ о>, которое в каждой точке (г, и>) содержит подмногообразие Е и множество графиков гомоморфизмов Т,Х со значением в плоскости Е (т. е. 1-струи решений отношения Е). Отныне решения Е вида Х отождествляются с интегралами Е.
Это удобно, так как при таком рассмотрении все становится гладким. 2.2.5. Вот еще одна удобная конструкция: рассмотрим над 6+ расслоение Н+, слой которого над точкой д ~ Я„+„хан Иг, состоит из комплексных структур на Т,%, подчиненных ь>, для которых а — комплексная прямая, Слои Н+ стягиваемы, поэтому можно а рг1оп' выбрать гладкое сечение 7 над Е.
Эта конструкция вводит на множестве интегралов Е комплексную структуру. Более того, если Ж' компактно, то можно ввести на Ж' такую риманову метрику д, что для некоторой константы С) 0 и для любых точек ля %' и еен Е, площадь параллелограмма, натянутого на векторы (и, о) из Т,Ю, лежащие в е, не превосходит величины Сь> (и, о). 2.2.6. Гладкое положительное эллиптическое отношение допускает «производную», т.
е. положительное эллиптическое отношение Е<'> на многообразии Е (которое является симплектическим многообразием размерности 4п+2): над точкой еенЕ„Е<' состоит из графиков сохраняющих ориентацию отображений е с: с: Тх*йх в Т,Е,. Касательные плоскости интегралов отношения Е образуют интегралы Е<'>. 2.2.7. К росткам решений п.э.о. применимы классические теоремы об эллиптических уравнениях в частных производных. Например, принцип максимума (Хопф, Беро) (см. (29]), принцип Карлемана: в терминах расширенного фазового пространства это означает, что если решение имеет касание бесконечного порядка с горизонталью Х><,<е в точке (г, по), то оно совпадает с горизонталью в некоторой окрестности точки (г, ш). В частности, особенности решений Е изолированные.
Сохраняются также и результаты о регулярности (типа Дуглиса — Ниренберга) (см. 130) ): непрерывность решения по Гель- деру влечет гладкость (в случае гладкости Е); но геометрические методы Громова устанавливают эти результаты прямо посредством перехода к Е'>. 2.3. Априорные топологические оценки в размерности 4 2.3.1. Мы собираемся воспользоваться обобщением фундаментального наблюдения Лефшеца: индекс пересечения двух плоскостей, принадлежащих Е, равен +1. Пусть Š— эллиптическое отношение типа + на ориентированном многообразии Ф".
Тогда два ростка интегралов Х и У могут иметь только конечный порядок касания (Карлеман), и этот порядок можно вычислить как число точек, на которые распадается точка пересечения после малого шевеления (в подходящих комплексно-аналитических координатах касание и-го порядка задается уравнением гн+ О(гче>) 2,3.2.
Кроме того, если 1: Х-+. Ф' — гладкое решение Е, имеющее особенность в 0 е- :Х, то можно малым шевелением в окрестности г(0) заменить Е на Е' так, что найдется близкое решение 1"-': Х-в-'>Р' отношения Е', являющееся погружением. (Это достигается применением теоремы трансверсальности к первой ненулевой струе.) 2,3.3. Пусть Х вЂ” замкнутый интеграл отношения Е в Ю". Если число Эйлера нормального расслоения У к Х в Ф' отрицательно (ориентация А< определяется ориентациями Х и Ф'), то в окрестности Х нет интегралов, отличных от него самого (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
