Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Кроме того, образы отображений этой подпоследовательности сходятся в метрике Хаусдорффа к образу ! . 3.1А. До ... Д казательство ведется следующим образом: после перепараметризации Х и выделения подпоследовательности 1» можно найти такие кольца А, «Х, что Х'=Х вЂ” 0 А, отображается посредством ]» на поверхность с меньшим радиусом инъективности. После этого из Х' удаляется подходящее конечное множество Рь что позволяет выбрать подпоследовательность метрик а» на Х"=Х ч,0рп сходящихся по модулю перепараметризации Х" и для которых 1» будет равностепенно непрерывной последовательностью.
Затем предел подпоследовательности находится по теореме Асколи, и доказательство заканчивается продолжением отображений в точки Рь Ключевое место — равностепенная непрерывность, и здесь используется подходящий вариант леммы Шварца. Это — одно нз наиболее интересных мест работы [9) . Эллиптические задачи, рияоновы позер»ности Л, ОТ ПУАНКАРЕ И БИРКГОФА К РИМАНУ И ГИПЬБЕРТУ 4.1. Незадолго до смерти Пуанкаре сформулировал в качестве гипотезы «одну геометрическую теорему» [33): «Уже довольно давно я доказал существование периодического решения в задаче трех тел. Этот результат оставляет чувство некоторого неудовлетворения, так как из существования решения опреде ного ределенч типа для малых значений масс еще нельзя сделать зак.
юения о случае больших масс, о том, какими будут решения и когда они исчезают. Размышляя об этом, я пришел к выводу, что ответ на этот вопрос зависит от того, верна или нет одна геометрическая теорема, формулировка которой в случае двух степеней свободы чрезвычайно проста». Формулировка теоремы: всякий диффеоморфизм кольца, изотопный тождественному, сохраняющий площадь и «поворачивающий граничные окружности в противоположные стороны», имеет не менее двух неподвижных точек. В 1913 г., после смерти Пуанкаре, геометрическое доказательство этой теоремы было получено Биркгофом [34). В <Новых методах» [35] Пуанкаре показал, как использовать критические точки производящих функций канонических преобразований для нахождения их неподвижных точек или их периодических точек (периодических решений второго типа).
Эти методы обобщались Биркгофом [36), а позже — Арнольдом [16), который сформулировал гипотезы, обобщающие теорему Пуанкаре — Биркгофа на случай преобразований пространства Т"')Гн и тора 7»". Копли и Цендер [12], [!3) доказали эти гипотезы, используя вариационное исчисление. Как заметил Вейнстейн, их метод основан на рассмотрении бесконечномерной производящей функции; Шаперон [37) показал, как редуцировать это рассуждение к конечномерному случаю, и применил этот метод к задаче о лагранжевых пересечениях торов в кокасательном расслоении Т*Т».
Эта задача была впоследствии полностью решена. Теорема Б (Лауденбах — Сикорав [38), Хофер [39) ). Пусть )т — замкнутое и-мерное многообразие (отождествляемое с нулевым сечением в своем кокасательном расслоении Т**т'), и пусть 1р1, !а= [О,!),— гамильтонова изотопия Т')т с компактным носителем (т. е. 1р1 задано гамильтоновым векторным полем,.
определенным семейством гамильтонианов йь зависящих от грен мени, с компактными носителями). Тогда 1р ()т)П )т содержит е меньше, чем С( т'), точек, где С( Р) — минимальное число кри- 1 тических точеК которые может иметь гладкая измеримая функция на векторном расслоении Е с базой )т, ограничение которои Д. Беннекен на каждый слой совпадает вне некоторой окрестности нуля с не- вырожденной квадратичной формой. В недавней работе Сикорава показано, как использовать производящие функции для нахождения неподвижных точек. 4.2. Эти методы позволили получать оценки для числа неподвижных точек канонических преобразований в случаях проективных пространств СРп [40], поверхностей ([41], [42]) и даже в случае произвольного симплектического многообразия, если только гамильтонова изотопия Со-мала [43] (последний результат, впрочем, непосредственно следует из теоремы Е), Ранее Элиашберг [44] получил доказательство в случае поверхностей, следуя пути, намеченному Пуанкаре в [35].
И именно на этом пути были получены его гипотезы о жесткости. Однако наиболее общий результат о неподвижных точках принадлежит Громову: Теорема М (Громов). Пусть (Жзп, ьз) — замкнутое симплектическое многообразие, а уь Ген [О, )],— гамильтонова изотопия Ж'. Тогда ~рз обязательно имеет неподвижные точки, Эта теорема доказана в [9] в предположении, что [ьз] аннулирует сферические двумерные классы гомологий. Оценок на число неподвижных точек в настоящее время нет. 4.3. Для доказательства теоремы М Громов распространяет теорию псевдоголоморфных кривых иа римаиовы поверхности с краем.
Это также необходимо для нелинейного обобщения результата о конформном представлении (теорема Р). Пусть Š— и.э.о. на симплектическом многообразии (Ж', со). Погруженное лагранжево подмногообразие )т с: Ж' называется ортогональным к Е, если существует такая окрестность У многообразия )т в %" и такая ее инволюция т, что множество неподвижных точек т совпадает с )т и ЛзР« переводит Е в Е, где Š— множество касательных 2-плоскостей к йр, которые входят в Е, но с противоположной ориентацией. Если Р замкнуто и ортогонально Е, то решения Е с краем, лежащим в т', Г: (Х, дХ)- (%', У), обладают свойствами, похожими на свойства замкнутых решений Е.
Функциональный анализ из равд. 2.4 распространяется и на этот случай; индекс соответствующего оператора Фредгольма б в точке (Хо,до) равен Н+ пК, где р — число Маслова кривой до с: т' [45]. Результаты о компактности получаются посредством перехода к «дублю» Х+ Х, т. е. склеиванию (Х, дХ) с собой по краю. Эллиптические задачи, риманоеы поверхности Громов получил также очень сильный нелинейный аналог альтернативы Фредгольма (см.
[9] ): Теорема р) (Громов). Пусть У вЂ” замкнутое погруженное лагранжево подмногообразие в (ч и, соо). Тогда существует (отличный от точки) голоиорфный диск (Пз, 5')-т.(Оп, )Г). Следствие. Класс [ьзо]еи Нз(ч..", )т; Р) отличен от нуля. Погруженное лагранжево подмногообразие У в Рзп называется точным, если форма Лиувилля хду точна на )т. В качестве следствия получаем отсутствие вложенных точных замкнутых лагранжевых подмногообразий в (кз".
Например, не существует замкнутых вложенных точных односвязных лагранжевых подмногообразий в )кзп; тем самым Громов справляется с последним оставшимся сомнительным случаем 5' в Рв. 4.4. Теорема У подтверждает удивительную интуицию Римана [46]; как иначе интерпретировать то, что говорит Риман о данных, необходимых для задания аналитической функции в диске; «Определение функции может быть произведено и таким образом, чтобы задано было в каждой точке свое уравнение, связывающее значения двух переменных, и при движении точки по границе это уравнение может непрерывно изменяться. Не исключаются и иные возможности: разделим, например, границу на и частей и каждой точке из одной части сопоставим и — ! точек из других частей — по одной из каждой части, а затем свяжем значения двух переменных в этих и точках уравнениями, изменяющимися непрерывно при изменении положения этих и выбранных точек.
Эти условия, совокупность которых образует непрерывное множество и которые выражаются посредством уравнений, связывающих произвольные функции, являются, вообще говоря, необходимыми и достаточными условиями для определения функции, всюду непрерывной в данной области, только при дальнейшем ограничении, именно при добавлении равенств, связывающих входящие произвольные постоянные, так как, очевидно, изложенная теория не дает возможности вычислить эти постоянные». 4.3.
Для доказательства теоремы М Громов обобщает теорему )ч), заменив пространство ~С многообразием Ж';к',ч.,'; затем он показывает, как, исходя из гамильтоновой изотопии %' без неподвижных точек, построить лагранжево подмногообразие в %';н', Ю'Х С, противоречащее следствию теоремы )ч( (нужно подходящим образом склеить график изотопии с графиком обратной изотопии). Для знакомства с этой конструкцией читателю рекомендуется построить точный лагранжев тор Тз в Оз, склеивая график тождественного отображения кольца с графиком 42.
Беннекен Эллиигические задачи, риноноем поверхности 205 отображения, удовлетворяющего условию геометрической теоремы Пуанкаре. 4.8. Громов показал, что теорема [т[ влечет существование экзотической симплектической структуры в Р'". Изучая сферы, вложенные в строго псевдовыпуклые области в С", Громов доказал также существование экзотических контактных структур в Ран+! (случай и = 1 см.
в [14]). В этом месте проявляется важное различие между спмплектическими и контактными структурами: как кажется, изменение структуры ва на компактном множестве не способно сделать ее экзотической, в то время как в контактном случае достаточно изменения на компакте. Например, Громов показал, используя теорему Е, следующее: Теорема 0 (Громов). Пусть ((474, в) — связное открытое симплектическое многообразие, для которого [в] аннулирует яь()(7). Если существуют компактныг множества Кс (Тг и Кос: Р' и диффеоморфизм [: ЧУт,К-+Р4',Ко, для которого ['во=в, то ((ст4, в) симплектически изоморфно (Р4, ва) . 4.7. Громов доказал много других красивых теорем в работе [9], однако я хочу указать на важный результат, полученный Дузой Макдуфф с использованием [9]: Теорема (Макдуфф [47]). Существует замкнутое 8-мерное многообразии У и гладкое семейства симплектических структур вг, сев Р,на нем, для которого (!) формы ва и в а диффгоморфньс для всех й ~ т ! (й) всг формы ва, й ен л„когомологичны друг другу; (1й) для любых й,1еи А(, йчь 1, формы вл и вс нг диффгоморфньс.
4.8. Замечание. В [47] показано, что многообразие комплексных кривых положительной почти-комплексной структуры, лежащих в фиксированном классе гомологий, само обладает стабильной почти-комплексной структурой. По-видимому, из исследования п.э.о., проделанного в $2, следует, что многообразие решений п.э. о. в фиксированном классе гомологий обладает канонической симплектической структурой. Не может ли это наблюдение послужить источником новых примеров симплектическнх многообразий? ЛИТЕРАТУРА 1 а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
