Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Алгебраическая лемма. Пусть У с: [Ю, Ц" ~ Р" — множество общих нулей полиномов р„..., ря в [О, Ц", причем б(шУ =1. Для любого г =1, 2, ... существуют целое Ь1а, зависящее ач1 Я только от и, г и бед У =~, бек р„ и С'-отображения Ь:[О, Ц' -« ! 1 -«У (при ч = 1,..., Ь!е), образы которых покрывают У, а [[ллЬ,~!(1 при ч=1, ..., Ма. Более того, (!) каждое Ь вЂ” алгебраическое степени (й', гдг й' зависит только от г, беп У и и (т. е. график Ь, в [О, 1]'Х Р параметри- зуется некоторыми полиномами суммарной степени (Н'); (!!) каждое ܄— вещественна-аналитический диффеоморфизм внутренности [О, Ц' на гг образ, причем образы [О, Ц' пересекаются только по границам кубов.
Это означает, что если Ь,(х)=Ь, (у), то х и у лежат на границе [О, Ц' для любых ч, ч' = 1,, А!а. Доказательство этого факта будет дано в 4. Для получения некоторого представления читатель может рассмотреть гиперболу ху =е в квадрате (О (х( 1, 0 «= у» Цс: РЯ при малом положительном з, например з = 0.0001, и поискать Ь, при с= 2 и !ч'=б. 3.4. Основная лемма.
Птисть У вЂ” произвольное подмножество графика Ге ~ Р'""':э[0, Ц Х Р С-отображения йп [О, Ц'-«Р Зафиксируем положительное число а»(1. Тогда У можно разбить на Я»( Св '(1+ [)д,у[!) Р подмножеств С'-размера»( СгП1агпу, где д„д обозначает вектор, образованный частными производными д порядка г, а С = С(1, пг, г) — универсальная постоянная. Доказательство. После замены у(х)-~ау(Хх)+ Ь мы можем считать, что У ~ [О, Ц' Х [1/3, 2/3), а б(аш У = 1. Теперь используя разбиения подмножества С'-размера(1 на ) частей С'-размера '1 !, мы сводим лемму к случаю в=1. После этого можно зафиксировать малое б ) О, например б =(пг+1+ + г) +'+', и положить Ь наименьшим целым с Ь)б !!деу[['~'.
Теперь покроем [О, Ц' образами аффинных отображений Х,: [О, Ц вЂ” [О, Ц вида Л„(х) =Ь х+а в числе Ь", т. е. ч= = 1, ..., Ь". Композиция у «к,: [О, Ц -«Р удовлетворяет 1! д, (д ч Х„) !! ( Ь '~[д,д !1 Это сводит лемму к случаю, когда ~[д,Д«б'. (Отметим, что именно на этом шагу мы получаем больший выигрыш при больших г.) Теперь введем в рассмотрение полипом Тейлора для д степени г — 1 в некоторой точке хаев [О, Ц'. Это полииомиальное отображение р: [О, Ц1-«Р"' степени (каждого монома) г — 1, удовлетворяющее (при ~[д,ф~( б' и малом б) [[ д! (р — у) ~[ ( 1/3 для ! = О, 1, ..., г по теореме об остаточном члене в форме Тейлора. Применим теперь алгебраическую лемму к части Уа графика р, лежащей в единичном кубе [О, Цг+ .
Ыы получаем Ме отображений Ь„: [О, Ц'-«[О, Ц'К[0, Ц с зля,Ь„[1~(1, покрывающих Уе. Обозначим через Ь, и Ь, компоненты Ь„отно- М. Громов Эятрояия, гомологии и яолуолгебраическоя геометрия 217 сящиеся к (О, Ц и 10, Ц соответственно, и заметим, что Ь, = р я Ь„поскольку 1ш Ь, с: Гр. Заменим Ь, = (Ь„р с Ь,) на Ь,=(Ь„д е Ь ).
Так как 11р — д!! 1/3, образ Ь содержит наше У. Итак, мы оценили 0,Ь; как 10 Ь4 1!О Ь ~~+ ~!О. (Ь вЂ” Ь,И!(1+!!0.((р — у) Ь.) !!. Так как !!0,Ь,!!(1, а !!0„(р — д)!!(г/3, по цепному правилу мы получаем ')0,Ь',~ (С(1, пг, г), что и являетсяоценкой С'-размера образовЬ;, ч=1,..., ЬГо,покрывающих У. 3,5. Основное следствие. Рассмотрим открытое подмножество 17 с-„(к"' и отображение /: (/-» (к"' класса С'. Пусть Уо(У— подмножество С'-размера (1, причем Уо удалено от границы д(/ множества К а именно б(з((уо, д(/)).1/1.
Тогда пересечение У, образа /(Уо) с Р"' с каждым кубом П с (с™ величины 1 (т. е. диаметра 1/гп) можно разбить на /!/(С'!10,/((иг+ 1 подмножеств С'-размера (1, где С' — некоторая постоянная, С' = = С'(1, т, г). Доказательство. Пусть Ь: 10, Ц ' — » (ч"' — отображение с !!0гЬ|1( 1, покрывающее Уо Согласно цепному правилу, композиция ') у=/»Ь удовлетворяет !1П,д!1( С" (1, пг, г) !!О,/!!, так что основная лемма применима к У =ГяД([0, Ц' Х С)) с: (О, Ц' К >(К . Так как У отображается на У, при проекции 10, Ц'„к,' 'зс, )с -» (чм, покрытие У подмножествами С,-размера (1 (обеспеченное леммой) индуцирует искомое покрытие У!.
Замечание. Важным частным случаем будет случай линейного отображения /, которого в действительности будет уже достаточно для доказательства теоремы Иомдина. 3.6. Предположим, что / отображает (/ в себя, причем б(з((/((/), дП) в х/1 . Тогда следствие 3.5 применимо и к частям У~ С'-размера (1, существование которых утверждается в 3.5. Индукцня по 1= 1, 2, ... приводит к следующему заключению.
Пусть С)ь ..., С)г — произвольные кубы величины 1; пусть П,'.— прообраз (З, относительно 1-й итерации /г отображения /, а У, — образ пересечения У, П П', П С), 'П... П С),'. относительно /г. ') Ее сунгествованне гарантнруется удаленностью уе от ВГГ. — Прим иерее. Тогда Уг можно разбить на дуг(~(С ~0,/!! р+ 1)г подмножеств С'-размера (1. 8 частности, чо(1'; ((С 10,/)!н'+ 1)', () 3.7.
Оценка для Чо1/1(уо). Пусть П вЂ” ограничение стандартного кубического разбиения ян пространства (к на рассмотренное выше множество (/. Тогда в обозначениях 1.1 из (е) выводится Г ' 1оц чо1 | (Уо) (еп1 (и ! Уо, /, г) + 1!, 1ои 1! 0 / 11+ с, (ее) где с =с(1,пг, г). 3.8. Доказательство теоремы Иомдина. В первую очередь заме- тим, что достаточно рассматривать случай отображений /; (/-»(/, удовлетворяющих предположениям 3.6, поскольку каждое мно- гообразие Х погружается в некоторое )ч"', а каждое отображе- ние Х- Х продолжается на трубчатую окрестность П с: (с"* подмногообразия Х с нормальной проекцией (/- Х.
Более того, масштабное преобразование П в )соП при некотором яо ~ 1 по- зволяет добиться сколь угодно большого значения б(з1(Х, д(/). Затем рассмотрим (перенормированные) отображения /П-»/(/ при 1'=1,2„..., определяемые как /;(х)=//(/ — 'х), и заметим, что (1) 1(д,/г!1= /-'т'!(д,/1!! (й) разбиение и множества /П на единичные кубы соответ- ствует разбиению п(/) множества (/ на 1 — '-кубы; (1п) множество /уе может быть разбито на 1' частей С'-раз- мера (1.
Но по определению еп1/~ Уо для каждого е ) 0 существует такое целое Ь, что еп1 (и (1)! 1'о, ./", 1) ( Ь еп1 /! У, + Ье для любого / и достаточно большого 1 (зависящего от /' и Ь). Это эквивалентно еп1(п!/уо, ./г, г)(Ьеп1/(Уо+Ье. Теперь выберем 1 достаточно большим для достижения 10,/1~((1+ Ф/'~~, что возможно по (1). Применив ( ) к /Я и разбиению /Уо на 1' частей С'-размера (1 (см. (ш)), мы заключаем, что г' ' 1ой / (Го1 /а' (Уо) (/г еп1 /1 Уо + 1/г 1о3 ~ О/ ~+ Ье (1 + — ) + с ! 2!а М. Грамов Эиерааия, гамологии и иолуалгебраиееекая геометрия 219 для достаточно больших с.
Положим 1- аа и заметим, что 1~п зцр 1 ' 1он Чо1 1 ' (У) = Й! пп знр1 1оя 1Го! Г (У) с-о о с о о для каждого компактного подмногообразия Ус: Х. Поэтому 1пп зпр1 '!оКЧо1 ) (Ую) ~»епЦ! Уг+ — „, 1ор !((11~ !(+з(1+ — )+ с/Й. с-е о Положим теперь Й- оа, а з-+.О. Мы получаем 1!ш зпр с !оя Чо! 1с (У,)» еп11! У, + 1/г 1од" Ухая Щ С.Е оо для всех подмножеств Угс:Х с С'-размером 1.
Так как произвольное компактное 1-мерное подмногообразие У может быть покрыто конечным числом частей С'-размера»1, это неравенство остается справедливым для любого У. Для доказательства неравенства Иомдина (о) из 2.2 достаточно подставить объем графика Г с~У вместо объема образа 1с(У) (мы использовали графики, а не образы в основном для того, чтобы избежать проблем кратности для ннъективных отображений). Для этого заметим, что Г с~у=ге(Гс !У), где Р: (р, х)о-с(д, Г(х))причемеп(Г! У = еп(1! (Гса(У). Поэтому подстановка Р вместо 1 в неравенство приводит к неравенству Иомдина (о) для ). 3.9.
С'-энтропия н полунепрерывность. Пусть яе, я„ ..., Йос: 10„ Ц вЂ” ой~ — отображения класса С'. В этом случае набор отображений Ь,, ..., Ь„: (О, Цс — о(0, Цс, образы которых покрывают 10, Ц', называется в-покрытием, если !(Ю,Ь„!!~~з и ((0,(йсоЬ )!!~(з для любого 1'=О, ., с и ч=1, ...„М. Пусть еп(е(ла,..., яс) = 1оя У, где сй — минимальное возможное для в- покрытия. Заметим, что еп1,» еп!а»еп1,+ !он Й при Й вЂ” 'е»6» е при любом Й= 1,2, .... Далее, если (Ь„) есть з-покрытие для дг, ..., Йи а (Ь„,) есть з-покрытие для композиций ас оЬ, при !=1, ..., 1, ч=1, ..., У, то Ь, ° Ьио — также е-покрытие для да, ..., дс, если только е»зи, где ео = зг(1, лс, г) ) 0 — универсальная постоянная.
Теперь рассмотрим С'-отображение ): Х-о-Х для гладкого компактного подмногообразня Х ~ К"; пусть д: 10, Ц - Х с имеет гладкость С". Тогда предел 1ппзпрс еп! (д, ~од, ..., 1'о~) с.+о не зависит от з ) О, согласно предшествующему обсуждению. Ои называется С знтропиеи еп! ЩЙ) ясно еп!' (Г~ ! Р) = Й еп1' (с ! Йс) для любого Й = 1, 2, ..., причем еп!'(с!а) !)! ((О Цс) любом г= 1, 2, .... Й , при Теперь положим еп(еУ с)=зцрс еп!е(л ) оя, ..., ~'од), где верхняя грань берется по всем д с !!Гс,Д» 1. Если е меньше приведенного выше ео = ео(1, лс, Г), то очевидно, что при любых с,1'=1,2, .... еп(, (Г', с + 1)» (с' + 1) ' (с' еп(, (1, 1) + 1' еп 1, (1, с)). Поэтому при е ве существует предел еп! ' (!) = !!сп еп(, (Г, с), !.о о который не зависит от е и полунепрерывен по 1. Если Г, С"-гладко зависит от т яп[0, Ц, то !ппзпреп1' Г,»еп1'~Г,.
о.+о Заметим также, что еп!' (!') ) зпр еп1'(Г! с), в где зцр берется по всем С'-отображениям я: !О, Цс-~Х. Замечание. Имеется следующая топологическая версия еп!' '. Рассмотрим все У~Х с С'-размером»1 н положим в(1, Й, с) =зцреп!(п(с)! У; )", с) г (ср. с 1.2). Определим 1ор', =-! 1ш !п1 !пп 1пп зпр з (1; Й, с). я-о о !~со с-о Ясно, что !орсс ) зир еп1)'! у„ где У пробегает все С'-подмиогообразия Х размерности 1. Кроме того, 1ор,'1»1ор", 1 = еп11 при любом г= 1, ... и 1» п= с!!шХ. 221 Знтропия, гомологии и полуалгебраиеесяая геометрия М.
Громов Теперь можно применить соображения из и. 3.4 — 3.8 непосредственно к С"-энтропии (без перехода к объемам) и получить еп1'(]! д) «еп1[! д([0, Ц') + — 1од+ ма<1,(лГ для любого С'-отображения у: [О, Ц'- Х или еп1' Г «1ор,' [+ —, 1ой~ <ха<( 13[. Б частности, если 1 С -гладкое, то еп1 Г =! нп еп2о" Х при и = <11шХ, а полунепрерывность еп1'" влечет полунепре- рывность еп1 ]; 4.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЛЕММЫ 4.1. Докажем сначала лемму для таких алгебраических кривых в (х, у)-плоскости, проекция которых на ось х конечнолистна. Такая кривая У может, очевидно, быть разбита на <т' «<(л сег- ментов с взаимнооднозначными проекциями на ось х. Этим мы редуцируем задачу к случаю, когда У вЂ” график такой однознач- ной функции у =у(х) (при хин[0, Ц), что ]]у(х) !]=Вор]у(х) !( х (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
