Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 45
Текст из файла (страница 45)
101 — 112. © Ы. ВоптЬзЕЬ 5ос!з1е тазЬЬзтпз1!Чпз бе тгзпсе, 1987 Лроблвма Шоттки и гипотеза Новикова поверхности В в торе А, определенной с точностью до сдвига; требуется, кроме того, чтобы дивизор 9 был обильным, но не допускал линейных шевелений, т. е. Й(ш Но(А, сУ (9)) =1. Каждой матрице тее Нв соответствует главнополяризованное абелево многообразие (А„О,), конструкцию которого мы сейчас опишем. Положим А, = т.,в//.„где 1,, = г.в 117 тв,в — полная решетка в 1:в, определенная матрнцей т. Определим на ь,в;к' ,Нв голоморфную функцию 0 следующим образом: (1) 0(г, т)= Х ехря!('тптпз+2'тг). тмгв Если матрица т фиксирована, будем сокращенно писать 0(г)= = 0(г, т).
Для произвольных р, д ее Ув имеем 0(г+ р+ тд) =0(г) ехрпг'( — 'утд — 2тдг), откуда следует, что дивизор функции 0 инвариантен относительно сдвигов на точки решетки Б, в к.,'в и поэтому определяет дивизор В, на многообразии А,. В теории тета-функций доказывается, что таким образом получаются все с точностью до изоморфизма главнополярнзованные абелевы многообразия; более того, две матрицы т и т' порождают изоморфные главнополяризованные абелевы многообразия тогда и только тогда, когда существует элемент у симплектической группы Гв= Яр(2у, У), такой, что т' = ут (действие Гя на Нв определяется следующим Га Ы образом: если у =( /, где а, Ь, с, й — матрицы из Мв(л,), 1с то ут=(ат+ Ь) (ст+ а)-'). Иначе говоря, аналитическое факторпространство Аз=Ни/Г является пространством модулей главнополяризованных абелевых многообразий размерности д. Если теперь матрица т является матрицей периодов римановой поверхности С, то главнополяризованное абелево многообразие (А„В,) есть не что иное, как янобиан УС кривой С.
С геометрической точки зрения УС параметризует дивизоры степени О на кривой С по модулю линейной эквивалентности. Если выбрать произвольный дивизор А степени у — 1 на С, то множество классов дивизоров вида р| + ... + рв ! — А по всем точкам р;ее С составляет тета-дивизор на якобиане ХС. Таким образом, проблема Шоттки состоит в том, чтобы охарактеризовать якобнаны среди всех главнополяризованных абелевых многообразий, или, другими словами, описать в пространстве модулейАв подмногообразие ') Хв якобианов. ') Если условиться включать в 1в произведения конечного числа якобизнов — з мы всегда именно тзк и будем поступзть, — то миотообрззие !г стзвзовится замкнутым подмногообрззием в Ав рззмврности 33 — 3. !5 Вувоакв А. Базиль Проблема Шаттла и еилатеза Пааикова й г.
Андлитическир! Подход Первоначально работа над проблемой Шоттки велась в аналитическом ключе: делались попытки написать уравнения, за-. дающие подмногообразие Хя в Аз, через модулярные формы иа Ня. Теория тета-функций дает некоторые нз этих форм, например так называемые тета-константы; 1р1 (2) О~ ~(т)= ~~ ехрзи['(п+ р)т(а+ р)+ 2'(и'+ р) у]= Ы зю Ха = ехр п((ртр + 2 ргХ) О (д+ тр) [ р, а ~ — еа) . Тета-константы являются модулярными формами веса )Х2.' для подгруппы конечного индекса группы Г, обозначаемой Гз(4,8). Игуза [11] доказал, что они определяют проективные координаты на факторе Ня/Гя(4,8).
Следовательно, всякое замкнутое подмногообразие заведомо должно представляться как множество нулей многочленов от тета-констант; задача состоит в эффективном определении этих многочленов в случае подмногообразия Хе. Первый результат в этом направлении принадлежит Шоттки, который в 1888 г. предъявил многочлен шестнадцатой степени от тета-констант, инвариантный относительно Га отличный от нуля на А4 и равный тождественно нулю на Х, [5]. По-видимому, Шоттки считал само собой разумеющимся, что этот многочлен определяет в точности Х„хотя на самом деле это было доказано только совсем недавно Игузой ([12], см.
также [Р]). В 1909 г. Шоттки н Юнг [$ — Х] дали систематический метод получения многочленов от тета-констант, обращающихся в нуль на Хя, из тождеств, которым удовлетворяют общие тета- константы в размерности и — 1 (соотношення Шоттки — Юнга являются простыми следствиями теории многообразий Прима„ см. [М]). Пусть 5я обозначает подмногообразие в Ае, определенное всеми уравнениями, которые получаются таким способом. Ван Геемен недавно доказал, что Хз является иеприводнмой компонентой 5я[чО]. Доказательство проводится индукцией по а с использованием компактификации Сатаке Аз многообразия модулей Аз, в которой можно установить связь между границей д5е многообразия 5я в Ая и многообразием 5е, меньшерг размерности.
К сожалению, уравнения 5я не выписываются явно, поскольку не известна полная система тождеств, которым удовлетворяют тета-константы. Кроме того, не известно, какие еще компоненты (возможно) присутствуют в 5е. й 3. ГЕОМЕТРИЧЕОКИЙ ПОДХОД Несколько иная точка зрения заключается в том, чтобы искать геометрические характеризации якобианов, которые могут привести к более или менее явным уравнениям. Упомянем, не задерживаясь на этом, что такие характеризацни имеют при,ложения в других областях алгебраической геометрии, например в вопросах рациональности трехмерных алгебраических .многообразий (см.
[М вЂ” В]). (А) Особенности дивизора 6 Пусть С в кривая рода д и (ХС, 6) — ее якобиан. Явное описание дивизора 6, данное в $ !, позволяет запараметризовать особое множество 81пц6 специальными дивизорамн на С (теорема Римана об особенностях); отсюда следует, что г()ш 8)пи 6) ) д — 4. Обозначим через Л'я ю нлн просто Л'з ~, подмногоМ1 образие в Аю образованное главнополяризованными абелевыми многообразиями (А, 6) с б)т 31пд6 = й — 4. Как доказали Андреотти и Майер [А — М], якобианы заполняют неприводимую компоненту в Лме а Они также предложили с теоретической точки зрения явную процедуру вывода уравнений Л я 4 в терминах тета-констант и их вторых производных, хотя практическое .применение этой процедуры представляется очень трудновыполнимым.
Множество Л а 4 имеет другие компоненты, отличные от комлоненты якобианов. Для рода 4 множество Л'с является объединением Хч и неприводимого дивизора О,ыь состоящего из главно- поляризованных абелевых многообразий, на которых тета-константа обращается в нуль [В]. В случае рода 5 множество Л'~ состоит уже из пяти компонент, которые можно явно описать (см. [1)о], [02]). Для рода д) О имеется некоторый список компонент Л'я, [02], но нет никаких гарантий его полноты. (В) Приаодимость пересечений 6(1 6, и трисенуи(ие Идеей этого подхода мы обязаны работе [Же], в которой для доказательства теоремы Торелли использовалось следующее соображение (см.
также [Г)1] ). Пусть С вЂ” кривая, (ХС, 6)— ее якобиан, р и а — две различные точки кривой С. Из явного -описания тета-дивизора легко выводится прнводимость пересечения 6 () 6„,. Более точно, имеем ') (3) 6П6~ ~ с: 6р т() 6, каковы бы ни были точки р, а, г, з ее С с условием р ~ а. ') Для любого главнополяризованиаго абелеза многообразия (А, О) н .любой точки а из А через Оз обазначается сдвиг О+ а дивизора О.
!ба А. Бовилв проблема Шоттки и гипотеза Новикова Пусть теперь (А, 9) — произвольное главнополяризованное: абелево многообразие; чтобы избежать банальных усложнений. будем предполагать, что многообразие (А, В) ненриводимо, т. е не является произведением двух главнополярнзованных абелевых многообразий положительной размерности. Пусть а, х, у— различные ненулевые точки многообразия А. Пусть выполнено условие (4) Е() Е. с В„() В„. Посмотрим на эту ситуацию несколько с другой стороны Пусть ~р: А-в-Рв (где АГ= 2в — 1) — морфизм, ассоциированный с линейной системой [29[; его образом является многообразие Куммера — Виртингера К(А, 9), изоморфное фактору А/(-~-1). Пусть ~ — точка А, такая, что 2ь = х + у.
Легко видеть, что включение (4) эквивалентно следующему свойству: (5) Точки ф(~), ф(ь — а), зр(~ — х) в Рн лежат на одной прямой. В силу (3), это свойство выполняется для якобиана кривой С, если а =р — д, х=р — г, 2Ь=р — в — в+з, где р, в,, г, з — точки С. Следовательно, куммерово многообразие якобиана допускает четырехмерное семейство трисекущих. Это свойство совершенно исключительно; на самом деле не нужно быть большим оптимистом, чтобы сформулировать следующую гипотезу: Гипотеза о трисекущей.
1?усть (А, В) — неразложимое главнополяризованное абелево многообразие. Если куммерово многообразие К(А,В) допускает трисекуи(ую, то (А, В) — якобиан Вот несколько аргументов в пользу этой формулировки Мною совместно с Дебарром [ — Щ было показано, что существование трисекущей у многообразия К(А, 9) влечет за собой неравенство б(шБ1пд9 = а — 4; отсюда по меньшей мере вытекает, что /в является неприводимой компонентой множества всех главнополяризованных абелевых многообразий, обладающих трисекущей.
Опираясь на этот результат, Дебарр доказал утверждение гипотезы в том случае, когда пара (А, 9) является многообразием Прима [1)З). Это полностью доказывает гипотезу для размерностей 4 и 5. С другой стороны, мы познакомимся в $4 с доказательством гипотезы Новикова, которая является инфинитезимальным вариантом гипотезы о трисекущей.. Наконец, можно ослабить гипотезу, попробовав охарактеризовать якобианы тем свойством, что на них имеется достаточно большое семейство трисекущих. Результаты в этом направлении были получены Ганнингом Щ; позже они были улучшеньк Вельтерсом [%2].
Сейчас я сформулирую критерий Вельтерса, который будет играть ключевую роль в геометрическом доказательстве гипотезы Новикова в $4. Пусть (А, 9) — главнополяризованное абелево многообразие, и пусть а, р, т — различные точки А. Будем предполагать, что многообразие (А, В) неразложимо. Положим (6) У„„= (~ ее А [ кр ф + ), ф ф + 6), ф К + у) лежат на одной прямой) Мы уже видели, что если А=/С, а=О, ~=д — р, у= = à — Р, то множество У„, з,т содеРжит кРивУю (С+ Р— в— — г)/2 (на самом деле имеет место равенство). Обратно, Вель- терс доказывает, что условие 61ш У„, а, т )! справедливо только в том случае, если (А,В) — якобиан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
