Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Упомянем также другой результат Вельтерса, который тоже опирается на метод Ганнинга: если куммерово многообразие К(А, 9) допускает непрерывное семейство трисекущих и б(гп 61ппй ~ д — 4, то пара (А,В) является якобианом [% — 1). (С) Другие методы В связи с гипотезой о трисекущей сформулируем одну близкую к ней задачу: характеризует лн якобианы существование в А подмногообразия, класс когомологий которого в 0" (Л, У) совпадает с Вз/2? Ответ известен только для д = 4 [ц1. Обсуждение различных вопросов и гипотез о линейной системе [26[, связанных с тем, что изложено выше, можно найти в работе [ч0 — чО). Совершенно другой подход, известный с конца Х1Х в. и основанный на дифференциально-геометрических соображениях, использует следующее свойство тета-дивизора на якобиане: дивизор В локально представляется в виде гиперповерхности в Св дважды трансляционного типа.
При соответствующих условиях невырождеиности это свойство характеризует якобианы. К сожалению, представляется трудной задачей перевести этот результат на язык алгебраической геометрии; в частности, неясно, как из него получить уравнения /в в Лв. Изложение связанных с этим подходом вопросов можно найти в [Ц. Я 4. ГИПОТЕЗА НОВИНОВА В дальнейшем будет предполагаться, что главнополяризованное абелево многообразие (А,В) ассоциировано с матрицей т из Нв; это позволяет говорить о тета-функции многообразия А. Будет использоваться также следующий факт: в пространстве тета-функций порядка 2 существует базис (зро,, зрв) Л.
Бавиль ( = 2 — 1), удовлетворяющий соотношению Римана ссЧ— (7) 8(г+ и)О(г — и) = Х фс(г) фс(и) с для всех К, иенСв. Морфнзм ст С -гС, о -г , определенный функциями фс, прн факторизации индуцирует морфизм ф: А -с- Р", ассоциированный с линейной системой [28[. (А) Формулировка Подходящим образом переформулировав свойства (4) и (5) $3(Б), можно получить их специализацию в случае, когда точки а, х, у бесконечно близки к нулю. Если а еп Тв(А), то определим ванне точек а, х, у, удовлетворяющих (4), эквивалентно сле- дующему свойству: Существует ненулевой вектор а ее Тв(А), и существуют два ненулевых сечения из Н'(8П8а, сГ(8)), произведение которых (являющееся элементом Нз (8 П 8, Ю'(28))) равно нулю.
Так же как доказывалась эквивалентность свойств (4) и (5), доказывается, что (8) эквивалентно такому свойств: й тву: На Св 0, ,с С существуют постоянные векторные поля 0 з, 0з, с О, чь О, такие, что длЯ некотоРой константы с~ (9) й еп С имеет место равенство (- ! .Ф вЂ”,0, +0„— 0,0 — й) ф(0) =О. Формула (7) позволяет переписать это равенство как урав- нение в частных производных.
Удобно пользоваться билннеййым символом Хироты: если Р— дифференциальный операто на Св, через Р[8 8 обозначается значение при и =0 функции тс(8(г+ + и)8(г — и)), где подразумевается, что Р действует по пере- менной и. Из (7) получаем (10) Р[8 О=Ос=в-Р$(0)=0, так что (9) эквивалентно уравнению в частных производных (1 ) ( з Юс + Юз — 0сЮз — с!) ~ 8 . О = 0 Н есложное вычисление показывает, что функ ия 8 во яет авн функция удовлетр уравнению (11) тогда и только тогда, когда функция и = .Ос!оп О удовлетворяет уравнению (!2) Юс д Оси+ 4иЮси — Юзи) + Юззи =О. /1 з Нроблвяа Шоттки и гипотеза Новикова Это нелинейное уравнение, называемое уравнением Кадомс4ева — Петвиашвили (К вЂ” П), играет фундаментальную роль в работах японской школы, в которых оно связывается с некоторыми представлениями аффинных алгебр Ли.
В связи с недостатком места, мы не будем углубляться в это направление и отправим интересующихся к работе [Ч). Возвращаясь к якобианам, заметим, что достаточно устремить р, д, г, з к какой-то одной точке кривой С, чтобы из включения 8Д8 с:8,,Ц8, в получить (8). Следовательно, тета- функция якобиана удовлетворяет уравнению К вЂ” П.
Обратное утверждение, сформулированное в качестве гипотезы Новиковым, было доказано Шиотой [БЦ: Теорема. Пусть (А, 8) — неразложимое главнополяризованное абелево многообразие. Предположим, что его тета-функс4ия удовлетворяет уравнению К вЂ” П, Тогда (А, 8) является якобианом. Арбарелло и Де Кончини недавно предложили более геометическое и более простое доказательство этого результата А — О], и именно на этом мы теперь остановимся. (В) Аналитический вариант критерия Вельтерса Критерий Вельтерса (8) сохраняет смысл также в том случае, когда точки а, (1, у становятся бесконечно близкими к нулю. В этом случае он формулируется следующим образом. Пусть У вЂ” инфиннтезнмальный росток кривой в А порядка 2 (т.
е. подсхема длины 3) в точке О. Положим Чт — — (~ ен А[существует прямая ! в Р, такая, что ~ + У ~ ф ' (1)). В [ЧсС2] Вельтерс доказывает, что (А, 8) — якобиан, если только с!!ш Ут 1. Легко видеть, что У определяется двумя векторными полями Юь Юз на А по правилу: функция ! на А, определенная в окрестности начала координат, обращается в нуль на У тогда и только тогда, когда (13) ! (0) = Юсг (0) = (Юс + Юз) г (0) = О. Таким образом, Ут является множеством точек ь ее А, для которых точки ф(Ь) Осф(Ь) и (0!+Юг)зрф) лежат на одной прямой.
Отсюда легко следует, что касательное пространство к Ут в начале координат порождается вектором Юс. Следовательно, в окрестности начала координат Ут является либо ростком А. Бовиль гладкой кривой вида прес(С [1[/Г'), либо гладкой кривой. В последнем случае 1гт в окрестности начала координат имеет разложение в формальный ряд вида 0 (Г) = Х 0,1с, с~с где Рс~аСв, 0,~0. Из определения Ут выводим, что существуют ряды а(1), Ь (1) и с(1) в С [ [1[ [, такие, что имеет место равенство (14) а(с)лЬ(0(1)) +Ь(1)Рс$(0(1))+сЯ(Рс+Рз) ф(0(1)) =О. Приравнивая нулю свободный член, а затем коэффициент при первой степени с, получим соотношения а(0) = с(0) = О, Ь(0)с'(0)ФО.
Делением на Ь(с) и заменой параметра ! мы можем свести дело к случаю, когда ь(г)=!, с(1) = — 1. Рассматривая теперь коэффициенты при г и Р, получим а'(0) =а" (0) = О, Рс = Рс, Рз — — бз (здесь и ниже мы отождествляем векторы 0; с постоянными векторными полями иа Св). Уравнение (14) приобретает вид (15) а(1) юЬ (0 (1)) + Рсюз(0 (1)) — с (Ос+ Рз) л(ю(0 (1)) =О.
Для любой функции [ на ю,в, аналитической в окрестности начала координат, разложение в ряд Тейлора для 1(0(с) ) имеет вид (18) 1(0 (1)) = Х', !'Л,1 (0), ьэз где Л, — дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами на Св, определяемые формулой (17) А,= юс+... ~лю л Р Положим Лз=-0;+ Рз и а(1) = ~„ассс. В этих, обозначениях п риравнивание нулю коэффициента при !' в (15) дает л~з сслс (л,л, — лл,, 4- Х ,л,;) Ф сюс ю.
с-з Итак, м ак, мы можем переформулировать критерий Вельтерса следующим образом: для того чтобы главнополяризованное абелево многообразие (А, В) было якобианом, необходимо и достаточно, ,Р О чтобы существовали постоянные векторные поля Р, Р, ... з,... с с Ф О и скаляры а,, а„..., такие, что уравнение (18) спра- Проблема Шоттки и гивотвза Новикова ведливо для любого з. В силу (10) можно также заменить (18) на уравнение вида ссюс (л,л,— ил,,-юьлл,,)~л л-ю. с-з Обозначим через Р,(Рс, ..., О,; аз, ..., а,)(г), или просто Р,(г), левую часть (19).
Имеем Р, =Р, =Р, =0 и (20) Рз(г) = ( — 3 Ос — Рз+ РсРз+ аз) ~ 6 . 8. Уравнение Рз(г) =0 есть не что иное, как уравнение К вЂ” П в форме (11). Таким образом, уравнение К вЂ” П означает, что Ъ'т содержит в начале координат инфинитезимальный росток гладкой кривой порядка 3. (С) Редукция по модулю (8, 0,6) Достаточно доказать следующее утверждение: если существуют постоянные векторные поля Рь ..., О, с на Св с условием Рс МО и константы ам ..., а, с, такие, что Рз(г)= ...
.. =Р, с(г)=0, то можно подобрать Р, и а, таким образом, чтобы Р, обращался в нуль. Распишем явно зависимость Р, от переменных О, и а,. Имеем (21) Р, (г) = Рз (г) + 28 (г) 0,0,8 (г) — 2 (Рсй (г)) (Рв8 (г)) + а,й (г), где Р,(г) =Р,(0ь ..., О, с, 0; аз, ..., а, с, 0) (г). Если Р, равен нулю, то функция Р, принадлежит идеалу (8, 0,8). Очень важным наблюдением работы [А — Р[ является обратное утверждение: если Р,ев(8, 0,8), то существует такое постоянное векторное поле О, на Св и такое комплексное число а„что Р,(0с, ..., 0;, аз, ..., а,) = О. (22) 0 — ~РА(9) 'Ол(26)-~Се(26С) — л О, о,в (23) Π— ь Се (В) Ре (26) -ь лУепео, (28) ь О' о Пространство ст' (В, Ре (В)) порождается ограничениями на Э частных производных функции 6.
По конструкции Р, определяет сечение пучка Сл(28), обращающееся в нуль на ВП Во,. Тогда из (23) следует существование дифференцирования Р„ такого, что функция Р,+260с0,8 — 2(0,8)(0,8) обращается в нуль на В, затем из (22) следует существование константы а„ А. Бовиль Хотя все предыдущее — чистая алгебра, на сегодняшний день мы не умеем доказывать (24) иначе, как с привлечением довольно деликатной трансцендентной техники, которая была необходима и в доказательстве Шиоты.
Арбарелло в работе (А)! указывает алгебраический подход к доказательству (24), однако для этого подхода приходится накладывать дополнительные условия на (А, еэ), которые, по-видимому, трудно исключить. Идея трансцендентного доказательства состоит в том, чтобьз установить более сильное утверждение: если Ро — — ... — — Р, !=О. то на Св существует голоморфная функция <р, удовлетворяющая уравнению (0гф) 8 — <р (О!8) = Ро, 0, (ф/6) = Р,'/6'. (25) а также (26) (О) Существование локальных решений Пусть (/ — открытое множество в Се, на котором 8 н О!9 не обращаются в нуль одновременно. Мы сейчас покажем, что (26) допускает локальное решение в окрестности каждой точ- ки го из (/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
