Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Введение в квантовое восстановление )„(г) = ~ е ' ф ($) а$ (4) (ср. рисунок, где го — точка ветвления ф). (если !р возрастает на бесконечности медленнее некоторой экспоненты). Фактически, если путь интегрирования в (3) — это луч с аргументом 0, не попадающий в точки ветвления гр, то интеграл (3) аналитичен в полуплоскости — 0 — и < Ага г «: 2 < — В + — .
Вращением луча интегрирования в (3) можно определить целое семейство аналитических в различных секторах функций (с суммарным раскрытием секторов )2я: например,. если у ф есть лишь одна точка ветвления, то получается сектор с углом За). Эти секторы перекрываются, так что по теореме: Коши разность двух определений ), соответствующих соседним секторам, есть сумма интегралов вида 1. НАЧАЛА СТОРОННЕГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1.
Три «моделиъ восстановимой функции Рассмотрим формальный ряд !(1) Г(г) = ~ а„в " (а„ЕЕ!.:), л>1 преобразование Бореля которого (2) ф(ь) = ~ а„~ !'(и — Ц1 н~! сходится в окрестности начала координат и неограниченно продолжается на С (причем сингулярностями будут только точки ветвления: ср. отступление ниже). В этом случае можно определить сумму ряда (!) с помощью интегральной формулы )(г) = ~ е *~фф) а$ о (3) ') РЬап Ргедегех 1п1годпс1!оп Ь 1а гьвпгяепсе Чпап119пе (д'аргев Еса!! «1 Уогов).— репина!ге ВоогЬаЫ, 38 Ьте аписе 1985 — 86, п' 656, Ав1еивцое 145 — 146, 1987, р.
103 — 110. © М. ВошЬаЫ, Бос!е1е пгагвегоа1гяле де Ргапсе, 1985. Если предположить, что го — логарифмическая точка ветвления <р, т. е. (б) ф (~) = —, ф„$ — го) 1ой($ — го) + ф„Я вЂ” гв) 1 (где ф и тр„гомоморфны в окрестности О), то сдвигом переменной интегрирования интеграл (4) приводится к виду 1„(г) = е ~ ~ е ф„(Ь) г(Ь. о (6) (2н!)гезвф 5, Итак, мы видим, что произвол, вносимый в процессе суммирования по Борелю,— это экспоненциально малый член, домножеииый на интеграл того же типа, что и (3), где ф заменилась. на ее сингулярную часть фв (из уравнения (5)). В действительности не очень удобно запрещать у ф сингулярностн вида, отличного от логарифмических точек ветвления, Поэтому у <р допускаются еще и простые полюсы. При этом сингулярная часть ф в простом полюсе есть 241 Введение в квантовое восстановление 240 Ф.
ооам где 6 — это «микрофункция Дирака», которую надо себе пред- ставлять как преобразование Бореля от 1: 1 = ~ в ' б (Ц с(ь. о Резюмируем: мы рассмотрели 3 вида «функций», составляюхцих по Экалю «3 модели восстановимой функции»: 1) формальная модель, т. е.
мы рассматриваем формальные ряды [(г) = ~ а г (отметьте присутствие члена а ), ы-о преобразования Бореля аоб+ у($) которых появляются но вто.рой модели; 2) свергочная модель, в которой рассматриваются такие функции аоб+ф($), что ф — росток в нуле неограничено продолжаемой голоморфной функции (ср. отступление ниже), такой, что единственные ее особенности — это логарифмические точки ветвления, на которые могут накладываться простые полюсы; 3) секториальная модель; ее элементы — это наборы определенных в секторах плоскости г функций — преобразований Лапласа (3) функций типа 2.
Отметим, что в принципе формальная модель содержит всю информацию о функции, но на практике работать приходится со сверточной моделью. Каждая из трех моделей образует алгебру, обозначаемую Аь в которой законом умножения служит умножение для случая формальной и секториальной модели и свертка для модели 2). И. В. Можно также определить ббльшие алгебры, чем йь разрешив полюсы порядка »1 или даже рассматривая микро- функции с ветвлениями в начале координат.
.1.2. Сторонние дифференцирования С каждым числом со ен Сы (т. е. комплексной плоскости переменной ~ ') ) Экаль связал отображение Л„из А, в себя, которое -оказывается дифференцированием этой алгебры. Это отображение соответствует, грубо говоря, «взятию сингулярной части» в сверточной модели (т. е. переходу от ~р к ф„в уравнении (5)). Однако необходимо принять предосторожности при уточнении пути аналитического продолжения, выбранного в (5) для оцределения <р . Говоря точнее: ') С выкинутым нулем. — Прим. перев. 1) если соединяющий О с со отрезок прямой не содержит отличных от с» сингулярностей ф, то б ср — это сингулярная часть продолженной вдоль этого отрезка функции ак 2) если же этот отрезок содержит иные сингулярности, то обойдем их всеми возможными способами (т.
е. справа или слева, но не поворачивая назад) и определим б„ср как взвешенную сумму сингулярных частей в со различных определений у с весами р)у)/(р+ у+ 1)1, где р (и соответственно д) — число обходов сингулярных точек справа (соответственно слева), Сторонние дифференцирования а а рг)ог) не удовлетворяют никаким соотношениям: порожденная ими алгебра свободна (с образующими (Л„) с,) Основная идея стороннего дифференциального исчисления— пытаться реконструировать восстановимую функцию по соотношениям на ее сторонние производные (уравнениям восстановления).
В качестве ингредиентов для этого полезны восстановимые мономьц т. е. специальные восстановимые функции, удовлетворяющие простым уравнениям восстановления. Отступление об аналитическом продолжении Определение. Будем говорить, что росток аналитической функции неограниченно продолжаем (Экаль в этом случае говорит: «продолжаем всюду без разрезов»), если при его аналитическом продолжении на все С встречаются только изолированные препятствия, т. е. если аналитическое продолжение вдоль пути Х встречает препятствие в конце со пути Х, то возможно продолжение вдоль путей, обходящих со, на всю универсальную накрывающую некоторого проколотого диска с центром в со '). В дальнейшем важную роль будут играть примеры неограниченно продолжаемых функций.
Пример 1. Гиперэллинтическая функция р(д) = ~тЧ7(а), где. Я7 ~ С [0). Пример 2. Первообразная г(в)= ~ р(д')с(в' предыдущей о функции. Пример 3. Обратная функция д(г) к функции из предыдущего примера (в предположении, что 0 не является корнем ((т"). Как и р(в), функция г(д) ветвится в корнях дь ..., в, полинома Ят", которые мы будем предполагать простыми. Множе- ') Это определение несколько более ограничительно, чем определение. Знали.
16 втоеакы Введение в в«актовое восстановление 243 (2) например отрезки) где ф»= ~ Ь~((1)((, в о — Ве Я-+ (У(а) — Е) ф(а) =О решения 16» ство Яо пРедельных значений г((1) в точках ветвлениЯ можно породить с помощью у его элементов е( (о( = ~ р((?')(Т(?' (пути интегрирования произвольны, о гаеренося их на решетку периодов Я = ~~~ Ъо(р оэц = 2 ((о( — (о ). (,( ( 'Отметим, что о1 (а поэтому и 1(о) в общем случае плотно в С, что не мешает функции ()(г) быть неограниченно продолжаемой с точками ветвления в 1)о и периодичной (в смысле, который нужно еще уточнить) с решеткой периодов ое1 2. ТОЧНЫЙ ПОЛУКЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД .2.1. Аппроксимации физиков Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрединтера (1) ((1 — пространственная координата, У((1) — потенциальная функ.ция, Š— энергия и 1( — постоянная Планка).
В той мере, в какой импульс р((1) =~Š— У((?) меняется .«медленно» прн изменении (1, т. е. операторы ((/(1(? и р(а) «почти» коммутируют, уравнение (1) «приближенно» разлагается в два уравнения первого порядка которых осциллируют там, где Е ) У((1), причем осцнлляции становятся все более быстрыми при уменьшении постоянной (( (именно длина волны этих осцилляций определяет «медленность изменения» р ((1) ) . Лолуклассическая аппроксимация или аппроксимация ВКЬ (Вентцель, Крамер, Бриллюен) состоит в подстановке в уравнение (1). При этом мы получаем рекуррентную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка («уравнений переноса») с сингулярностями в «точках поворота», т.
е. в точках ветвления функции р (или нулях функции У((1) — Е) Прн этом необходимо справиться с двумя трудностями: 1) при общем а формальные ряды ф не сходятся; 2) каким образом «производить согласование» в точках поворота? Отметим, что в комплексной окрестности точки поворота складывается причудливая ситуация: если У в аналитическая функция, то любое решение ф(д) уравнения Шредингера аналитична всюду; в то же время аппроксимация (2) †э произведение двух членов, каждый нз которых ветвится в точке поворота! 2.2. Формальные приготовления Будем теперь рассматривать переменные как комплексные к примем следующие обозначения: пусть (У= У вЂ” Š— полинам степени у с простыми корнями д(, (?ь ..., (?„отличными от О. Положим и х=2/В, так что (4) ф~~~ = ф~е* (ф — формальный ряд по х-', коэффициенты которого — аналитические функции (1, ветвящиеся в точках поворота). Уравнения переноса можно переписать формально как (б) д„ф =р„((1, х)ф, где р+= х„р, ((?)х — формальный ряд по х с аналитичеси о кими по а (на двулистном накрытии С = С ~ (()о, ..., (?е)) коэффициентами, в то время как р — это другое определение 244 245 Введение в квантовое восстановление той же функции (полученное из ре аналитическим продолжением коэффициентов) .
Эти уравнения интегрируются глобально на универсальной накрывающей С, причем можно показать, что на любом открытом односвязном подмножестве С «с одним концом» существует единственное формальное решение ф+ (соответственно ф ) уравнения (5), удовлетворяющее условию на асимптотику: (6) !пп фе!(!Р) ' =1 е "+ (как формальный ряд по х-', т.
е. все коэффициенты должны стремиться к нулю, кроме первого, который должен стремиться к 1). Для изучения произвола при получении решения этим способом удобно рассечь плоскость и разрезамн, соединяющими -точки поворота с бесконечностью. При этом получается открытое односвязное множество «с ч концами», на котором определены т функций ф+ (и соответственно т функций ф ), по одной для каждого выбора конца, участвующего в асимптотике (6) . Отношение двух таких функций, отвечающих смежным концам, — это «функция Вороса» У! (х) = ехр ~ р (д, х) ду еи С [[х 'Ц, с где С! — неограниченный путь, идущий вдоль двух берегов разреза, который разделяет рассматриваемые концы. 2.3.
Квантовое восстановление 2.3.0. Теорема. Функции Вороса У1(х), ..., У,(х), а также функции ф, рассматриваемые как функции от х нри фиксированном д — это восстановимьсе функции от х (в формальной или секториальной модели). 2.3.1. Уравнения восстановления для !р . Зафиксируем в =до и го = г(чо). Единственные ненулевые сторонние производные ф(до ) соответствуют описанным ниже значениям сопряженной к х переменной $. Проведем из точки до путь Ло так, что г(д) пробегает отрезок прямой, когда а пробегает Ло. При некоторых значениях начального направления путь Л, заканчивается в точке поворота до Теперь преобразование Бореля от ф+ (и от ф ) имеет особенность в — $(Ло) (соответственно $(Ло)), где ь(Ло) = ~ !« =о! — го та~~о. П2 м Более того, Ь, ф+ — это функция «типа ф», полученная из «р+ аналитическим продолжением (по переменной 41), вдоль пути Ло (см. рисунок) вы» ела (аналогично для А , ф ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
