Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Теперь разобьем [О, Ц на меньшие отрезки точками, в кото- рых производная у' функции у обращается в ~1. Поменяем роли х и у на тех отрезках, где ]у'].= 1, и сведем лемму к слу- чаю функции у=у(х) с !!у']!«1. Это доказывает лемму при г= 1, так как отображение х~ (х, у(х) ) переводит [О, Ц в множество У с !!лт< ]! «( 1<<2, и очевидное разбиение на два 1/2-подынтервала даст !!]л<!!«1, При г ) 2 предположим ') !!у'!!«1, !]уе!!«1,..., !!у' П]«1 и разобьем [О, Ц нулями производной у<'лл>(х). Тогда у<о(х) мо- нотонна на каждом подынтервале (на котором у<'еп не меняет знака) и очевидно, что задача сводится к случаю, когда у<о(х) положительна и монотонно убывает на [О, Ц, Эта монотонность и оценка !!у<' — и = 1!! влекут за собой у<О(х) «2х-' при х~ [О, Ц.
Теперь прямое вычисление показывает, что функция з(х) =у(х') удовлетворяет неравенствам ) вш!!«10' при <=1, ..., г, ') Далее докааателъство проводится иадукцией по г. — Прим. перев. и отображение х ~(х, з(х)) вместе с дополнительным разбиением на 10' сегментов дает доказательство алгебраической леммы для плоских кривых У. 4.2. Теперь предположим, что У вЂ” кривая в [О, Ц" ~ ]т" = =]т)(]т'" .Мы можем предположить, что проекция У на Я конечнолистна. Тогда У вЂ” график п — 1 алгебраических функций у<(х), уа(х), ..., у„,(х), Предположим по индукции, что функции у<, ..., у„а имеют ограниченные производные порядков «г.
Используем ту же замену переменных х х(1), что и выше, для достижения ограниченности производных у„<. Тогда все функции х<(Г) = у;(х(1)), < =1, ..., и — 1, имеют ограниченные производные (на некоторых подынтервалах), что, очевидно, влечет за собой алгебраическую лемму для У. 4.3. Рассмотрим гладкую векторнозначную алгебраическую функцию 1 переменных, скажем у=у(х<, ..., х<). Пусть компоненты частных производных порядка г по первым 1 — 1 переменным ограничены по модулю единицей. Будем искать замену переменной х<, обеспечивающую подобную оценку для всех частных производных. Индукция по и позволяет предположить, что частные производные порядков «и «г по х, ограничены.
Обозначим через у =у(хь ..., х<) векторнозначную функцию, компоненты которой — частные производные порядков «<Т по хь где < х 1< — — г, а 1<«з. ! Пусть уо ..., ум — компоненты у; индукция по числу компонент позволяет предположить, что — "' ~«1 при а< = 1, ..., М вЂ” 1 «)Г.
дх< Затем для каждого фиксированного значения х, ее[0, Ц рассмотрим множество максимумов 5(х<) с:х<)<',[О, Ц =[О, Ц дУ функции — переменных х„..., х< о Теперь, очевидно, существует разбиение [О, Ц на подынтервалы, скажем на 1а, и однозначные алгебраические функции за: Га -а [О, Ц' ', такие, что (а) число подынтервалов и <]ея за ограничиваются по бедум; (Ь) зе(х<)ее5(х<) для всех й и х<яГа. Определим 5а.' Га- [О, Ц< ' Х [ — 1, Ц как Уа. х< э(за(х<), ум(х(х<))) и применим конструкцию предыдущего раздела к каждой функции М.
Громов Энтропия, гомологии и полуалггбраичггкая геометрия Уа(х,). Это ограничит производные, при !=1, ..., г. в дгзр (х!) дх[ ду любом Ь, что уже без труда дает оценку для дхг ' 4А. Теперь докажем алгебраическую лемму индукцней по 1= = й!гп У для алгебраического множества У с: [О, 1] ". Мы будем рассматривать такое У как график алгебраического отображения у: [О, !]'- [О, 1]"-'.
Предположим, что для каждого фиксированного значения х!ее [О, 1] существует такая замена переменных хь ..., х~ ь что в новых переменных частные производные каждой ветви у ограничены универсальной постоянной. Более того, мы предположим, что эта замена переменных кусочно-алгебраична по уи Это приводит нас к ситуации предыдущего раздела. Так как использованные в 4.1 конструкции кусочно-алгебраичны для семейств функций алгебраически зависящих от параметров, то индукция действительно возможна, что н доказывает алгебраическую лемму. 4.5.
Эти же самые аргументы дают (полу) алгебраическое клеточное разбиение произвольного полуалгебраического множества У, причем клетки могут быть разбиты на симплексы (очевидным образом) с сохранением контроля над частными производными, а число симплексов ограничивается по йен У. Напомним, что подмножество У~ К" называется полуалгебраическим, если оно представимо в виде конечного обьединения своих попарно непересекающихся подмножеств Уь ..., Уы где каждое У! — связная компонента разности алгебраических множеств У;~А;",Вь Сумма степеней полиномов, определяющих все А! и Вь называется степенью У. Дадим теперь точный вариант предыдущего замечания.
Леммао триангуляции. Существует такая постоянная С= = С(п, г), что каждое компактное полуалгебраическое подмножество Ус: [«и может бьгть триангулировано на Л(((г(!агпу)пХ Х (г)еи У+ 1) с симплексов, причем для каждого замкнутого Ь-симплекса триангуляции Ь с: У существует гомеоморфизм Ьь правильного симплекса ба ~ )ча с единичным ребром на А, такой, что Ьь — алгебраический морфиэм степени (г)ед У+ 1)с (т, е. график Ьа — подмножество алгебраического множества размерности Ь и степени ~~ (г)ед У+ 1) с), регулярный вещественно-аналитический внутри каждой грани Ь. (Здесь слово «регулярный» означает необращение в 0 дифференциала Ьа на ненулевых векторах.) Более того, []П,Ьв[] = 1 для всех Ь.
()(о- нечно же, только это неравенство придает этой триангуляции настоящий интерес.) Из этой леммы и рассуждений 9 3 получаем следствие: Теорема о триангуляции. Пусть !' — такое отображение в себя -открьггого подмножества (г' с:. )ч класса С', что ]]сг, число А(г симплексоз Т; удовлетворяет неравенству )!т зцр( ' )ой А(, ~~еп((] У+ — !од+ Кадаг(', г.+ г где 1= йцп У (если У инвариантно под действием 1, го это неравенство, очевидно, влечет за собой !он Йаб )„] Н. (У) ~( еп( ! ] У + — )од+ Каб сг(): (Ь) для каждого Ь-симплекса Ь триангуляции Т; существует алгебраический гомеоморфизм Ь: Ьа-г-Л степени ~йь удовлет,воряющийй ]! П, (7! г Ь) ]] (~ вг при всех ! ~( 1, где 1 !одйг-»О при 1-»оо .и аг-эО.
(Это утверждение вместе с (а) уточняют (аа) в 2.2.) ЛИТЕРАТУРА 1. Динабург Е. И. Связь между различными зитропийиыми характгоистиками динамических систем.— Иза. АН СССР, сер, мат,, 1971, т. 35, вып. 2, с. 324 — 366. 2, Огошоч М, Нопю1ор!са! анес1в о1 б!!а!а!!оп, 3. о1 ВгНегьпиа1 Ссоше1гу, 13 (1978), 303 — 310.
3. Мап!пи А. Торо!ойттса! еп!гору апб Вгы )топо!ойу Нгоир. 1п: гулаш. Зуз1., %агап«к, 1975. 4. М!з!игам!сх М., Рггу!усйн Р. Торо!ойбса1 сп1гору апб бенгаа о1 вшоо((г шарр!пив, Ви!!. Ас. Ро!. Зс(„Заг. Ма!Ьч 25: 6 (!977), 573 — 574. :5.
М!з!игеччгсх М., Рггу!усЫ Р. Еп!гору согцгс1иге !ог !ог!, Ви!1, Ас. Ро(. Зс)., Зег. Ма!и., 25: 6 (!977), 575 — 578. 6. Хекйоизе 3. Еп1гору аиб то!шпг, Рггрппг, !985. 7. Рггу!усы Р. Ап ирргг езйпа!е 1ог !оро!он!са! еп1гору о1 вшоо!5 «ННсогоогрыжпз, 1пчеп!. Ма!Ь., 59: 3 (1980). 205 — 213. 8.
Тошб!п у. )го!шпе Нготч!]т апб еп!гору, Ргерпп! !НЕЗ, 1986. 9. уошб!п У. Адбепбшп: Сг-гаво)и!!оп о1 згш!а(неЬга!с шарр!пив, Ргерпп( !)шк о1 Хаяет, Веет — Зьеча, 1згаа), 1986. ПРОБЛЕМА ШОТТКИ И ГИПОТЕЗА НОВИКОВА ') Арно Базиль й 1, ВВЕДЕНИЕ Классическая формулировка проблемы Шоттки звучит следующим образом. Пусть С вЂ” компактная риманова поверхность рода д. Выберем симплектическнй базис (у!),<з группы гомологий Н,(С, Л) (это означает, что у; у, „= — у!ив у!= — 1 и у!.у!=0 для!! — /(Фу) н какой-нибудь базис (го!, ..., о!в) пространства голоморфных 1-форм на С. По этим данным можно определить матрицу периодов 13, имеющую д строк и 2д столбцов, по формуле ЯЛ вЂ” — ~ в,.
т! Будем писать 11 =(а!т) с матрицами в, т из Мв(з,). Можно единственным образом выбрать базис (вн) так, чтобы матрица в стала единичной. При таком выборе матрица тее Мв(т,) зависит только от С и от базиса (71). Из билинейных соотношений Римана следует, что матрица т симметрична и что ее мнимая часть 1тт невырожденна и положительно определена.
Таким образом, матрица т определяет точку верхней полуплоскости дизеля Ня = (т ~ Мв (к') ~ т = 'т, 1ш т ) О), 1 — в!вт!! являющейся открытым подмножеством в Сз, изоморфным однородному пространству 1) (д)/Яр(2д). Риманова поверхность рода д зависит от Зу — 3 параметров (для д) 2). Это число строго меньше размерности области Зигеля, если только д) 4, поэтому матрицы периодов должны удовлетворять нетривиальным соотношениям. Проблема Шоттки состоит в явном определении этих соотношений. Эта проблема допускает простой перевод на геометрический язык.
Главнополяризованным абелевым многообразием называется пара (А, Е!), состоящая из комплексного тора А и гнпер- ') Вевпу!!!е Агпзпб. 1.в ртоывте бе 5сьо1!Ьу е1 1з соп)ес1пте бв Нотркоу 5зпппз)те ВоптЬвйй 39 згпе зппез, 1986 — 87. и' 675, Аз!ег!зяпе 152 — 153, 1987, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
