Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 41
Текст из файла (страница 41)
') Стготпоч М. Еп1гору, Ьоша!аВу апй зепиа!Ееьга!с яеошеггу [аНег у. Тоштнп).— Беш!па!те ВаигЬаЫ, 38 еше аписе, !985 — 86, п 663, Аз1епзяие 145 — 146, !987, р. 225 — 240. © М. ВоагЬаЫ, Бос!е1е шайеша1йие йе Ргапсе, 1986 Д. Бвннвквн 31. Наш(йап )(. 5. ТЬе !пчегве (ппсйои йеогеги о1 Мазь ацд Мовег, В. А.
М. 5., ч. 7, № 1 (1982), 65 — 222. 32. Бас(св Л, ()ЫепЬес(с К. ТЬе ех!в1еисе о( гп!пипа! !пппеггдопз о1 1эчо-зрьегев, Апп. Ма1Ь., !13 (1981), 1 — 24. 33 Рошсаге Н. Бпг пп йеогеше де Ееаше(пе, Депд!сопи де! с!гсо!о пэа1ешаНсо гд Ра!епио, 33 (1912), 375 — 407. 34. В!г1йой О.
О. Ргоо1 о1 Ро!псаге'в Веоше1г(с 1Ьеогеш, Тгаив. АМ5, !4 (!9!3), 14 — 22. 35. Ро!исаге Н. 1.ез п!ейодев попчейев де !а гпесап!Чпе се!еже, 1. 3, Рапв, 1899. [Имеется перевод: Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, Избранные трчды, т. 2. — Мн Наука, 1972.! 36. В(гкйо(1 О. 'с)пе Кйпага1!запои а и дппепыопв дп беги!ег йеогепэе де йеоше1г!е де Ро!исаге, С.и. Асад. Бсс, !92 (193!), 196 — !98. 37. ~;Ьарегои М.
Ппе !дее дп 1уре «Веодев!Чаев Ьпзеез» роаг 1ев зув1егпев Ьаппйоп!ецв, С. Д. Асад. Бс(., 298 (1984), 293 — 296. 38. 1.апдеиЬасЬ Е, 5!Ьогач 3»С. Регзпдапсе д'!п1егзесйопв ачес !а зесйоц ппйе ап санга д'ппе !во1ор!е Ьаги(поп!еппе даив пи ИЬге со1апкеп(, 1пчеп1. Май. 82, № 2 (1985), 349 — 358.
39. Но(ег Н. 1акгапн!аи ешЬедд!пк апд сгиюа! ро!п1 йеагу, Ргерпп(, 1984. 40. Роггапе В., йге!пз!е!и А. А вуипр1ес1!с йхед ро!п1 йеогеш 1ог со!пр!ех рго!ес11че врасев, Ргерг(и1, 1984. 41. Бйагач 3«С. Ро1ий йхез д'ппе аррйсайоп Ьошо!окне а ГЫепйче, Ргерпп1, 1984. 42.
и!оег А. Ргоа( о1 йе Агпо!д соц!ес1иге 1ог впггасез апд Еепега!Ма1!оцв 1аг сег1а!и Каыег гиапйо!дв, Ргерг!п1. 1984. 43. %е!пв(е!и А. С'-регйгЬа11оп 1Ьеогешз 1ог зутпр!ес1!с йхед рош1в аид !ангаии!ап !п1егвес1юпв, Зеппиа!ге вид-гЬодапьеп де Ееоше1г!е 1П, Тгачапх еп санга, Раг1в, Неппапи, 1984. 44. Элиашберг Я. М. Оценка числа неподвижных точек преобразования, со храняюшего плошадь.
— Препринт, Сыктывкар, 1978. 45. Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условия квантования. — Функц, анал. и его прил., 1967, т. 1, с. ! — !3. 46. Е1ешапи В. Рг!пс1рез 1опдашеи1апх роцг ппе йеопе кеиега!е дез 1ои. с1юпа д'ппе Етаидепг чапайе сошр!ехе, 0!ввег1айоп !иапнига!е, Оа(1!икеп, !85!. 47. Мс0пй О. Ехашр1ез о( вушр!есйс в1гпс1пгев, Ргерг!п1, 1985.
ПРИМЕЧАНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Теория, изложенная в докладе, продолжает в настоящее время бурно развиваться, и я не стану перечислять всю относящуюся к этому предмету литературу. [1'! — [3'! — обзоры, в которых приведены списки литературы. Пожалуй, наиболее впечатляющие результаты, сводящие воедино методы Громова и вариационные методы, принадлежат Флеру [4'! — [5»!. 1*. Сггопюч М. Бай аид Ьагд вушр!ес1!с Ееоше1гу, Ргос, о1 1МС, Вег)се!еу, 1986, 81 — 98. 2*. Ееьпдег Е. ТЬе Агпо!д соп!ес1ше (ог йхед ро!п1в о1 вугир1есйс пэарр!пив апд рег!од!с зо!цйопв о( Напийои!ап зумеп!в. Ргос.
а( !МС, Вег1«е!еу, !986, !237 †12. 3'. О. Мс0пН. ЕИ!рис пэейодв !и зупэр!ес1!с Ееоше1гу. 1.ес1. по(ез д!з1г. !и соп!. лИЬ Ргокгевз !и шай. 1есйге, 92 М0 зшишег шеейик о( АМЗ, Вп1дег, !989. 4'. Р!оег А. Могве йеогу а( 'ьакгапк!ап !п1егзес1юиз, Л о( О!11. Оеош. 28 (!988), 513 — 547. 5". Р!оег А. Тчй!еп'в сошр!ех апд !пйпг(е дипепмопа! Магзе 1Ьеогу, д. о1 0111. Сеош., 30 (1989), 207 — 222. ЭНТРОПИЯ, ГОМОЛОГИИ И ПОЛУАЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ') (по И. Иомдыну) г)д. Громов 1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ 1.1. Энтропия разбиения П множества Х на !)( подмножеств определяется как еп1 П = !ои А(.
Назовем пересечением двух разбиений (обозначается П!ДПз) множества Х его разбиение, состоящее из попарных пересечений элементов П! и Пв. Для разбиения П множества Х и отображения д: У вЂ” »Х обратный образ П (разбиение Пя множества У) определяется очевидным образом. Если 1 — отображение из Х в себя, то можно «1 рассмотреть обратные образы П относительно итераций[: 1 Р =[с~, ..., ['=[«[' '. Положим П'=П Пул ... лП', Пусть еп1(П; 7, 1) =1 1еп1(П!) . Аналогично для отображения йс У- Х определяется еп1(П)У; 1, 1) =! 'еп1 (П ) . 1.2. Пусть Х вЂ” кубический многогранник, т. е. топологическое пространство, разбитое на кубы П таким образом, что два куба могут пересекаться лишь по общей грани. Обозначим через П разбиение Х на открытые кубы (т.
е. кубы без границы, а не открытые как подмножества в Х кубы) полиэдральной структуры на Х. Пусть П(1) — измельчение П, полученное делением каждого куба Е) на Гм одинаковых подкубов. Теперь определим топологическую энтропию еп11 отображения 1; Х- Х как нижнюю грань чисел А ) О, обладающих следующим свойством; (Р) Существует сколь угодно большое целое А = 0 (зависящее от А), такое, что ! ип зцр еп1 (П (1); )в, 1) < йй ! +«ю для всех ) = 1, 2, ') Пго!иоч М, Еп(гору, Ьашо!айу апд зеииа!неЬга!с Ееоше1гу [айег у, уошд(п1.— Ееш!иа!ге ВопгЬаЫ, 38 егие аписе, !985 — 86, п' 663, Аз1еггвцпе 145 — !46, 1987, р.
225 — 240. © ЬЬ ВопгЬаЫ, 5ос!е1е шайеша1гчпе де Ргаисе, !986 209 Эитрокия, гомологии и иолуалгебраичеекал геометрия 208 М. Громов Точно так же определяется и еп1ц'У для каждого пространства У с отображением У-~Х. Это определение обосновывается следующей простой тео-. ремой: 1.3. Топологическая иивариантиость энтропии. Если Х компактно, а 1 непрерывно, то еп1» не зависит от структуры (кубического) полиэдра на Х. То же самое верно и для случая непрерывного отображения в Х компактного пространства У.
Более того, если Х конечномерно, а У вЂ” компактное подмножество в Х, инвариантное относительно 1; то еп1Д У зависит лишь от У и У- У, но не от вложения У вЂ” Х при условии, что 1 нгпрерь»вне на У. 1.4. Замечание. Рассмотрим стандартное разбиение Пг» пространства Ра на единичные кубы — грани целочисленных переносов куба (0(х» с 1, » =1, ..., п)с Ра. Энтропия, определенная П,», не будет топологическн инвариантиой на всем %к. Однако она инвариантна на каждом компактном подмножестве У, если 1(У)с У и г непрерывно на У, Таким образом, получается инвариантная энтропия для непрерывных отображений в себя произвольных конечномерных компактных пространств У, поскольку У отображается в некоторое Р».
1.4'. Примеры. (А) Рассмотрим линейное отображение 1: (чк-»- -»-(ча и определим спектральный радиус Ка»11=11щ!1)»1~ при ~(~11= зцр ~11(х)11. Мх» Обозначим чеРез Л.1 = Ло1'~ Л»~ 9... сг» Л„1 полнУю внешнюю степень 1. Легко показывается, что энтропия (для стандартного разбиения Р") удовлетворяет равенству еп1 ~1У=1оп Пад Л„~ для каждого непустого ограниченного открытого подмножества У в Р'. (В) Пусть 1 — эндоморфизм тора Т" = Рк/л.а. Легко видеть, что еп11 = еп11(У для накрывающего линейного отображения )ч: Рк-~ Як н любого непустого ограниченного открытого подмножества Ус Рк.
Из (А) следует, что еп1 ~ = 1од Раб 1'., где 1"„— индуцированный эндоморфнзм вещественных гомологий Ц (Та) Второй — что (С2) еп11 ~1ой+ с(ед'1, где обозначение 106-РГ = щах(0,1од1) вводится, чтобы охватить случай деп =О. Первое неравенство — немедленное следствие теоремы Мисюревича и Пржитицки (см. (4) ): 1 6. Теорема. Пусть ~ есть С'-гладкое отображение компактного многообразия Х в себя, причем прообраз г-»(х) состоит из не .иенее чем д точек для всех х из подмножества полной меры в Х. Тогда еп1 )' ) 1од д. Второе неравенство (С2) следует из (очевидной) оценки Ч01 Г,» (сопз1.
г(г для 2п-мерного объема графиков Г» с:СР" рс', СР" итераций 1 (см. 2.4). 1.6. Элементарные свойства энтропии Приведенный ниже список фактов дает представление о значении энтропии в динамике отображений. Доказательства этих фактов совершенно прямолинейны. (») Для любых двух подмножеств Х еп1 1 ~ У, () Уг = гпах еп1 г ) У,. » »,г (й) Если У, с: Уг, то еп111У» ( еп1~(уг. (гй) Рассмотрим два непрерывных отображения в себя компактных пространств гс Х»-к-Х» при» =1, 2.
Пусть Р: Х»-»-Хг— непрерывное отображение, коммутирующее с ги Если Р— ото- 14 Бурбаки (С) Для каждого голоморфного отображения Г: СР— СР" еп11 =!оп Кабг.. (и) Более того, еп11 ~ У = еп1 1 для каждого подмножества У с СР', ,дополнение до которого неплотно и инвариантно относительно 1. Например, если 1 на СР' задана полиномом 1о на С' с СР' степени г1 > О, то еп11 !У =1од д для У = (! з(~(г) с С при условии, что 1~(з) ~~~г при 1г!:р:г. Отметим, что Кадг„равен топологической степени с(еа1 для каждого непрерывного отображения СР в себя при дед~) О. Доказательство (е) состоит из двух шагов. Первый — показать, что (С1) еп1~) 1ой»(ед~. М. Громов 210 2. ЭНТРОПИЯ И РОСТ ОБЪЕМА 14* браженне на, то еп1~~ ) еп11а. Если прообраз Š†'(х) для каждого х ен Хв конечен, то еп11с ( еп1)а.
(1ч) Предположим, что непрерывное отображение 1: Х-ь.Х, тождественно на замкнутом подмножестве Х, с:Х, а на дополнении ьа=Х Хо является блуждающим, т. е. каждая точка х ев ьа имеет такую окрестность П, что при достаточно больших 1 !'(П) не пересекается с П. Тогда еп11" = О прн условии, что Х компактно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
