Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Примеры. (а) Пусть ! — линейное отображение из Ра в себя с двумя вещественными собственными значениями, отличными от ~1. Такое отображение — блуждающее вне начала координат, однако еп1 !'! У может быть положительной на ограниченных подмножествах У в Ра (см. равд. 1.4.А). Теперь расширим 1 до проективного отображения 1 проективной плоскости Р':» Ра в себя. Это отображение 1 оставляет неподвижными, кроме начала координат в Рг, еще две точки на проективной прямой Р' =Ра'~Ра, соответствующие двум собственным подпространствам !' (если собственные значения совпадают, то 1 тождественно на Р'). Как и 1, ! — блуждающее отображение вне множества неподвижных точек. Так как Ра компактно, то еп! !=О согласно (1и) (ср.
с (С2)). Отметим, что еп1!!УФеп1!!У для Ус Рвс:. Ра, причем энтропия в Ра, определенная стандартным разбиением Рг на «кубы», действительно зависит от разбиения и топологически неинварнантна. (Ь) Рассмотрим отображение 1: Ра †».
Ра, заданное в полярных координатах как 1: (р, 0)с — ь(Лр,г(8) при некотором Л ) 1 и целом д. Ясно, что это отображение продолжается до непрерывного отображения г одноточечной компактификации Рв (т. е. Вв:» Ра) в себя. Отображение ! — блуждающее вне двух очевидных неподвижных точек. Поэтому еп11 = О и ! нарушает неравенство еп1) !ой(бед( при !а!.=» 2 (здесь бепг =й), а также теорему 1.5. Причина этому — негладкость ! в начале координат Оен Ра. 2З.
Пусть Х вЂ” гладкое риманово многообразие (например, подмногообразие в Р"), а 1: Х вЂ” ~-Х есть С'-гладкое отображение. Для 1-мерного подмногообразия У» Х положим !оп чо! (1 ! У) = 1!ш зпр 1 ' !од Чо1 (Г с ~ У), !+ где Г1!Усу;»с',Х обозначает график 1-й итерации ! на У, а Чо1 — это 1-мерный риманов объем. Энтропия, гомологии и полуолгеораиеееяоя геометрия 211 Отметим, что 1опЧо! можно ограничить нормой дифференциала 01: Т(Х)- Т(Х): 1оаЧо1(1!У)-=!ой (!ЕП', ае1 где ((,Э!'!! = Бпр!(О)'!Т„(Х) !!. л В этом неравенстве можно (очевидно) заменить Ю!!! на Раб 1л1, где') ае1 Раб О1' = 1пп зпр !! В! ' !!'П. к+е Отметим, что РабЕ11'( !Щ!!, причем Раскас(1 (в отличие от !Щ!!) не зависит от выбора римановой метрики на Х (если Х— компакт).
2.2. Теорема Иомдина. Пусть 1 — отображение компактного С"-многообразия Х в себя степени гладкости С', а У ~Хв компактное С'-подмногообразие. Тогда а) !ойЧо1(1 !У) ~(еп1(! !У)+!од+ (Вас( Гл!)'~'. (е) В частности, если 1 и У класса С, то 1од Чо! (1 ! У) еп! () ! У) ~ еп1 1. (ее) 2.3 Следствие (случай С -отображений в гипотезе Шуба об энтропии), Если 1 класса С, то епЦ ) 1ок Раб 1., (:е:ее) где Раб!„— спектральный радиус индуцированного отображения вещественных гомологий 1;. Н. (Х) — Н. (Х). Доказательство. Рассмотрим пары замкнутых форм пс1 и тва на Хя, Х при бейтв1+ бейи,=б!шХ.
Заметим, что Рабг. пп =Раб)'= зпр!!шипр~ '! ш1.'м',ша ~1!шзпр(чо1Г ~)'П. ем ее с+с г-ь се ~ г1 Замечание. Ясно, что спектральный радиус 1„на Нс ограничен ростом объема 1-симплексов фиксированной триангуляции 1Г при итерациях отображения 1. 2.3.А. Пример. Если ! — блуждающее отображение вне множества неподвижных точек !' (см. 1.6(1Ч) ), то каждое собственное значение Л отображения ! на Н„(Х) удовлетворяет !Л( = 1. ') Здесь и далее 1»!с = 0((с) — Прим, перев.
П 1 — размерность У. — Прим. перев. 212 М. Громов Энтропия, гомологии и яолуолгебриическоя геометрия 213 2.4. Верхняя оценка для энтропии. За несколько месяцев до того, как Иомдин получил свой результат, Шелдон Ньюхауз [6] обнаружил следующее обратное к ( ) утверждение, касающееся' Сг-отабражений в себя компактных многообразий: еп1 Г ( зцр !оп Чо! (1 ~ У), где знр берется па всем компактным С"-подмногообразиям Ус:Х. Ранее Феликс Пржитицки доказал аналогичное неравенство для диффеоморфизмов [Р]. 2.5.
Полунепрерывность энтропии. Используя (+ м) и свою основную лемму (см. 3.4), Иомдин показывает, что 1пп зц р еп! [, ч еп! Го г-+о выполнено для каждого С -гладкого пря гее[0, 1] семейства С--отображений Гк Х- Х компактного многообразия Х. Пример разрывностн энтропии. Рассмотрим отображение г (1 — х)г' единичного диска в С в себя прн тее [О, 1], Тогда еп!Го = 2 (см. 1.4.С), а еп11, =0 при т ) О, так как при т ) 0 отображение 1,— блуждающее вне центра диска. 2.6. Неравенство Иомдина ( ) неулучшаемо. Для доказательства достаточно рассмотреть график функции у=х з!их в качестве Ус: Рг. Это подмногообразие С'-гладко при любом г и г ) О.
Рассмотрим проективное отображение ! из Рг ~ Ро в себя„полученное продолжением линейного отображения (х,у) э (х/2,2у) из Рг в себя. Тогда длина Г'(У) будет примерно равна 2" ' =(Раб Гл1)'~'~', в то время как еп11=0. Устремив г к нулю, получим неулучшаемость (о). Если вас интересуют У класса С, а ! — класса С', то вам нужно лишь изменить гладкую структуру на Р'. 2.7. Несколько замечаний аб истории вопроса. Соответствие между энтропией н топологией было открыто Динабургом !1], заметившим, что отображение переноса за единичное время )' геодезического потока на компактном римановам многообразии удовлетворяет еп!!' ) О, если фундаментальная группа п1( У) имеет экспоненциальный рост.
Этот результат получается пря рассмотрении универсальной накрывающей для У и применении следующего простого факта к ассоциированному накрытию касательного расслоения $'. (А) Пусть Х- Х вЂ” накрытие Галуа конечного (кубического) комплекса Х. Пусть отображение Г Х- Х поднимается да не- прерьявнага отображения 1; Х- Х. Если компактное подмноже- ство У с: Х проектируется на Х, га еп! 1 ! У = еп1 1', где еп!1 вычисляется при индуцираваннай кубической структуре на Х. Отметим, что из неравенства Иомдина (вв) также следует еп1Г') 0 при условии, что У гладко класса С (доказательство Динабурга зависит лишь ат непрерывности геодезического потока). На самом деле неравенства еп11') 0 следует из ( ) для любого С -гладкого У, на котором две точки общего положения соединяются по крайней мере С" геодезическими сегментами длины ()о для всех )о) 1 при некотором С) 1.
Такая нижняя оценка для числа геодезических сегментов удовлетворяется, например, для односвязных многообразий У, числа Бетти Ь; пространства петель которых растут экспоненциально при 1=1,2, ... (см. [2]). (В) Маннинг [3] доказал, что спектральный радиус Н,(Х)-э Н~(Х) дает оценку (снизу) еп1 [:в !оп цап 1, ] Н, (Х) для каждого непрерывного отображения компактного полиэдраХ (для этого нужно применить (А) к максимальному абелеву накрытию Х-эХ), а Мисюревич и Пржитицки [5] уточнили это неравенство для пространств Х, гомотопическн эквивалентных и-тору: еп1 1 ~!оп Йаб 1, = 1оа гхаб Л.Г ] Н, (Х). (С) Шуб выдвинул гипотезу, что неравенство еп! !' ) ) 1оп маб( удовлетворяется для С'-отображений любых многообразий (для контрпримера в Со-случае см.
1.6). В настоящий момент эта гипотеза установлена (помнмо случая торов) для С'-отображений сфер 5" (по 1.5) и для С -отображений для любых Х Иомдином в ( в). 3. СВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ИОМДИНА К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЛЕММЕ 3.1. С"-размер подмногаабразий. Зафиксируем целое ! = 1,2,... и определим С'-размер подмножества Ус:Рл как нижнюю грань чисел г ~ О, для которых существует С'-отображение единичного 1-куба в )чл (обозначим его Ь: [О, 1]'-эР"), образ которого содержит У, а ]]Р,Ь!]«=. з.
Здесь Р,Ь вЂ” вектор, образованный компонентами частных производных Ь порядка 1,2, ..., г, а под Энтропия, гамалагии и палуалгебраичеекая геометрия 215 М. Громов 214 нормой имеется в виду супремум по х ~ [О, Цг: ![ П,Ь [[= зпр [!,0,Ь (х) 2. х Замечание.
Вместо [О, Ц' можно использовать произвольное стандартное 1-мерное многообразие (например, единичный шар в Р или сферу 5), что дает эквивалентное по существу опре- деление С"-размера. 3.2. Очевидно, что С'-размер монотонно растет при росте г илн увеличении Ус: Р" и что С'-размер ограничивает диаметр и 1-мерный объем (т. е. хаусдорфову меру) У: С!-размер У) шах((Чо(У)и~, 1 ~~~0(аж У). При 1 и и, равных единице, С'-размер гладкой дуги У в Р' со- впадает с длиной У.
В то время как СЯ-размер такого У отвечает в известном смысле тотальной кривизне У, о геометрическом смысле С'-размера при шах(г,1)') 2 сказать что-нибудь точное затруднительно. Если подмножество Ус: Р" имеет С"-размер (1, а 1: Р"- Р'" есть С'-отображение, то по цепному правилу образ У' отображе- ния [~т удовлетворяет неравенству С'-размер У' » «сопзЦ[Щ[[, (1) где универсальная константа зависит лишь от г, пг и Ь.
Факти- чески (1) остается справедливым, если ) определено только на окрестности П:з У, У с: Р", содержащей образ соответствую- щего отображения Ь: [О, Ц'-«Р". Если С'-размер (У) «е1-пя, то годится е-окрестность 1!, подмножества У. Каждое подмножество У~ Р" С'-размера 5 можно раз- бить на 1' подмножеств с С'-размером (5/1 для любого 1= = 1,2, .... Для этого достаточно разбить куб [О, Ц на 1 — !ч! кубов [О, 1 1 чи использовать (очевидное) масштабное преобра- зование [О, Ц'-«[О, 1 ']'для каждого куба разбиения. 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
