Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 38
Текст из файла (страница 38)
замечание 2.3.1). 2.3.4. Пусть Š— эллиптическое отношение типа + на ориентированном многообразии Ф4. Согласно 2.1.1, йг допускает почти- комплексную структуру У, для которой эллиптическое отношение 13* 197 Эялиптичвские задачи, романовы поверхности хТ. Беннеквн Коши — Римана Рт изотопно Е. Обозначим через с, первый класс Черна двумерного комплексного расслоения (Т'йт, Х). Предположим, что Х вЂ” погруженная в У' поверхность, и обозначим через с = с1 [Х] ее число Черна, а через ч — число Эйлера ее нормального расслоения в Ю'. Предположим, что Х находится в общем положении относительно У.
Тогда существуют четыре типа точек, в которых касательное пространство к Х является комплексной прямой структуры У, числа которых мы обозначим через е+, е —, Ь+, Ь вЂ”. Знак + или — отвечает за то, совпадает ориентация Х с комплексной или нет, а буквы е и Ь указывают на то, с каким знаком: + или —, пересекаются в 6 образ касательного гауссова отображения поверхности Х и многообразие Рн Обозначим через т эйлерову характеристику поверхности Х. Формулы Леви (см.
[14]) гласят: Х+ч=еь+е — Ь~ — Ь, с=е — е — Ь~+Ь . Следовательно, если Х является интегралом Е, то, заменяя Е на Р;, мы получим формулу для рода: к+о=с. Отсюда следует такой результат о регулярности: 2.3.5. Лемма, Пусть Š— некоторое и. э. о. относительно стандартной структурьч ооо на СРо и !: Х- СРо — такое решение Е, что Х вЂ” замкнутое многообразие и ). [Х] т~ ), [Х] = 1. Тогда )' является вложением, Х вЂ” сфера 5о и 1 регулярно гомотопно вложению СР' с: СР' Действительно, после шевеления Е мы получим новое атношение Е' и его решение 7', гомотопное 1, которое будет погружением с простыми двойными точками. При этом число двойных точек ~' равно порядку особенностей 1.
Если с, ч, т — это число Черна )', число Эйлера нормального расслоения и эйлерова характеристика Х, а 6 — число двойных точек !'(Х), то 1=~.[Х]''~.[Х]=~'(Х) )'(Х)=о+26 н к+э=с=3. Отсюда следует, что т, (2, а о ) 1. Поэтому 6 =0 (!' — вложение), о = 1 и т, = 2 (Х вЂ” сфера). 2.3.6.
Аналогично доказывается, что решения п.э.о. относительно ооо в 5о;н, Уо, гомологичные 5о;ос, с, являются вложенными сферами, регулярно гомотопными 5о;тс', и. 2.4. Функциональный анализ 2.4.1. Пусть (Ф",со) — замкнутое 2п + 2-мерное симплектическое многообразие. Рассмотрим многообразие Фреше У двумерных замкнутых погруженных подмногообразий с нормальными пересечениями в )й' (допускаются кратные пересечения, но запрещены касания).т является ручным многообразием Фреше в категории Нэша — Мозера (введенным Гамильтоном — см.
[31], методы этой работы будут свободно использоваться в дальнейшем). Другим ручным многообразием Фреше является многообразие Ю всех положительных эллиптических отношений относительно со, Мы будем изучать многообразие .Ж, составленное из пар (Х, Е), Х ен У, Е онЮ, где Х является интегралом Е. Из (микролокальной) гибкости В" немедленно следует, что проекция рг,: .я' -У является ручным расслоением над своим образом (этот образ состоит из погруженных симплектических поверхностей с нормальным пересечением). Значит, кт является ручным подмногообразием в У Х д'. Замечание.
Если разрешить касания (как н другие типы особенностей) в определении 9, то ог тоже будет ручным подмногообразием в 9";н',д'. Однако для наших целей достаточно и такого 9, как определено выше. 2.4.2. Теорема Е. Проекция би л(т- со является ручньсм фредгольмовым оператором, индекс которого в точке (Хо, Ео)~ я равен 2о+пу, где к — число Эйлера нормального расслоения У многообразия Хо в (17, а т — эйлерова характеристика Х (2п+2=6!ш)й'). Доказательство.
Касательное пространство к со в Ео распадается в прямую сумму Юо (это деформации Е„постоянные на подмногообразии Хо ~ Ео, состоящем из касательных плоскостей к Хо) н Г(М) (пространства гладких сечений расслоения М над Хо, полученного ограничением на Хо нормального расслоения к Е, в й). Касательное пространство к ло в (Хо, Ео) распадается в свою очередь в прямую сумму св о и Г(У) (пространства гладких сечений нормального расслоения к Х, в Ю').
Касательное отображение Т<х,.в,16 тождественно на слагаемых д'о, а на вторых слагаемых сойоставляет вариации Хо вариацию касательных плоскостей. В действительности посредством связности на ТСт нетрудно отождествить окрестность Е, в со с ЕоХГ(М), а окрестность (Хо, Ео) в ло — с сов,'к', Г(У). При этом 6 запишется как (Ф, 6), где Ф вЂ” диффеоморфизм окрестности О в Жо на окрестность О 199 Эллиптические задачи, риминовм ковер»ности 198 »Т. Беннекен в «То, а Л будет нелинейньик дифференциальным оператором первого поряд~а (в смысле Пале).
Это позволяет использовать, без всяких модификаций, подход Гамильтона к таким операторам — см. (ЗЦ. Пусть х ~ Х, и 1«и Е, — точка в Х„лежащая над х (т. е. Т»Х;й. Обозначим через )тс пространство Т» (Ео),; тогда пространство М„отождествляется с Т»1',1„/Р'и а ТĄ— с Нот (Т Х„У„) =Т. Х,ЭУ„. После этих отождествлений символ в(х, 9) оператора Тхез = Т1х,. вв (й) ~г 1я1 в точке (х, $) ее Т Хь превращается в морфизм У, в Т„'ХочрУ,/Р'и который переводит 6 ее У, в $ ф б Гной 'Р'». Элемент 9 9 б имеет ранг 1 в Наш(Т„Х„У„) (если, конечно, $чьО и бФО), а )е, составлено из элементов ранга 2 (или О) — это следует из эллиптичности.
Поэтому а(х, $) инъективио при $~0. Но й(п»У„=й1п»М,= =2п. Значит, Тк,'а — эллиптический оператор и Х (а значит, и А) фредгольмов. Вычисление индекса ТА извлекается из леммы 2.2.2; Е, изотопно в классе п.э.о. почти-комплексной структуре, для которой результат следует из теоремы Римана — Роха — Атьи — Хирцебруха. Применяя теорему Р к случаю, когда 1Т' — расширенное фазовое пространство Х»ч, Р" (й(ш Ф'=2п), а Хо — график решения / отношения Е' иа Ж", мы находим, что индекс равен 2с+ и)(, где с — число Черна с1(/'(ТУР'),У') 1Х] для некоторой почти- комплексной структуры /', гомотопной Е'. 2.4.3. Для псевдопрямых в (СР», Е) индекс й равен 4; для псевдообразующих в (Бз.зс,' 'Рз, Е) индекс равен 2.
В этих случаях ТА сюръективно, Действительно, сопряженный оператор к ТА имеет тот же вид, что и Тй, но при замене У на У' число Эйлера ч'= — ив — т ( О. Из замечания 2.3.3 следует, что коядро Т/з равно нулю.. Как показал Гамильтон, в этом случае применима теорема типа Нэша — Мозера о «постоянном ранге»; й допускает локальные сечения. В частности, в случае псевдопрямых в ч'Ри с»-'(Е) — четырехмерное многообразие, если только ана не пуста. В случае псевдообразующих линейчатой поверхности с» '(Е) — двумерное многообразие, тоже если ана не пуста.
Громов исключает эту альтернативу, доказав, что А — собственное отображение. 3. ГЕОМЕТРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 3.1. Метод 3.1.1. В общем случае нет оснований ожидать компактности решения положительного эллиптического отношения, даже прн условии ограниченности площади и при фиксации класса гомологий, представляемого решением. Это хорошо видно на примере коник на комплексной плоскости: семейство невырожденных коник ху = е (которые можно параметризировать сопоставлением г~ (г, е/г), чем определяется отображение СР' в СР») «сходится» при е — О к объединению прямых х = О и у =О. Чтобы параметризовать этот предел, требуются уже две сферы.
Мы встречаемся с образованием «пузырей» вЂ” явлением, обнаруженным Саксом и Уленбек [32) при изучении гармонических отображений поверхности в риманово многообразие Это явление имеет большое значение в нелинейном анализе. Однако Громову удалось проконтролировать утрату компактности; например: Теорема Г» (Громов). Пусть ()(Рзв, ьз) — замкнутое симплектическое многообразие и Е» — последовательность п.э.о., сходящаяся в С -топологии к и. а. э. Е . Пусть для каждого й ( оо (Х, ьзо) -~% — решение Е„где Х вЂ” замкнутое многообразие, причем площади /»(Х) ограничены.
Тогда существует конечное множества тачек г с Х, решение /: Х- иГ отношения Е и такая подпоследовательнасть / последовательности /и, что /» ~П т сходится к /„вне Р (С"-равномерно на компактах). Кроме тога, графики отображений 1» сходятся в метрике Хаусдарффа в Хзс, Ж' к объединению графика Х отображения / и конечного числа замкнутых множеств вида х~Хд,(5»), где к~ е:— Р и дс Бз-»У' — решение Е . Более тога, если х1~ г и / (х,) не сходится к / (х~), та отображение си — не постоянное. 3.1.2. Скажем, что двумерный класс гомологий симплектического многообразия прост, если ои не является суммой двух классов, на каждом из которых со ) О. Если интересоваться только решениями п.э.о., класс гомологий которых прост, то теорема компактности имеет такой вид: Теорема Н (Громов).
Пусть (ГР»в,ьз) †замкнут симплектическае многообразие, а ее Уз()Р', г,) — простой класс гамолагий, и Е» — последовательность и. э. а., которая С -сходится к п. э. а. Е . Пусть для каждого й «о /».. Бз-ч-Ф' — решение Е», для мо тл. Бенно«ен которого [[»(5»)] = а. Тогда существует такая последовательность диффеоморфизмов й»: 5» -+5», что некоторая подпосл дат льность последовательности [» ° й» сходится в С -топологии к решению [: 5»-+. Ж' отношения Е .
В соединении с анализом равд. 2.4 эта теорема влечет за собой теорему С и часть теоремы С', касающуюся псевдопрямых, а значит, и теоремы В, В' и А. Для доказательства оставшейся части теоремы С' и теоремы Е нужно воспользоваться тео е- Р 3.1.3. Тео емы Га и ре ы Га и Н следуют из компактности «касп-кривыхм Пусть Х вЂ” замкнутая поверхность и à — конечное множество простых замкнутых попарно непересекающихся кривых у; на Х. Касп-кривой С(Х, Г) называется комплекс, полученный стягиванием каждой из кривых тп в точку.
Этот комплекс можно получить также склеиванием конечного множества замкнутых поверхностей У; по конечному множеству точек. Каспидальное решение п.э.о, Е на В' — это отображение С(Х, Г) в )Т; являю. щееся решением Е на каждой из поверхностей уь Теорема К (Громов). В предположениях теоремы Ст существует одномерное подмногообразие Г«Х, каспидальное решеди ние [: С(Х,Г)-~(Р' отношения Е и такая последовательность иффеоморфизмов й». Х вЂ” ~Х, что некоторая подпоследовательность последовательности [»]й» сходится к ! С -равномерно на компактах из Х,Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
