Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 34
Текст из файла (страница 34)
179 узлы и контактные структуры в размерности г 178 А. Дуоди Доказательство леммы 3. Предположим противное (см„рисунок): Пусть Хо, ?.ь ..., 1«к — значения широт параллелей ро, рь ..., рк в дА. Тогда в интервале 5' — (!о) должны выполняться неравенства )«, > ?«з »... ?«к ( йн Противоречие. Итак, доказательство теоремы 3 закончено. 9. ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ Вопрос 1 (в связи со следствием 3).
Для всякой ли контактной структуры Р на (кз, не изоморфной Ро, найдется такой вложенныи диск (т, что у поля т1ю к есть замкнутая траектория? Пусть Р— контактная структура на Рз. Обозначим через РЛ!((?з, Р) группу диффеоморфизмов, сохраняющих Р. С помощью следствия 3 можно показать, что даже если Р = Ро, группа РЛ(()?з, Р) не плотна в РЛ(.«((?з) в С'-топологии ((1, 2.3.5) ). Вопрос 2. Замкнута ли группа РЛ(((?з, Р) в РЛ(((кз) в Со-топологии? Вопрос 3. (Задача Терстона о велосипедной цепи).
Классифицировать Ро-горизонтальные кривые в ~з. Вопрос 4. Пусть 5 есть 1-форма общего положения в )кз„ а у — поверхность, состоящая из точек, в которьчх р Ай(1=0. Описать контактные структуры, заданные формой 5 в связных компонентах дополнения к 17. Вопрос 5. Рассмотрим стандартную контактную структуру на (кз"+'. Существуетли такое вложенное многообразие УХ5', где )т кочпактно и имеет размерность и, что все )'?С, (!) — попарно незацепленные лежандровы подмногообразия? Вопрос 6.
(Арнольд, Громов). Рассмотрим стандартную контактную структуру в (кок"'. Верно ли, что ни одно компактное лежандрово многообразие не проецируется в симплектическое пространство характеристик (?з" без самопересечений? Вопрос 7. Пусть Р— контактная (соответственно симплектическая) структура в (к" и и нечетно (соответственно четно). Будет ли группа РЛ!()?", Р) Со-замкнутой в РЛ(()?к) ? Будет ли ее замыкание совпадать с РЛ(«()кк) (соответственно Р»Л(",ь«), где от — форма объема)? Вопрос 8. Пусть 7 ~ 5з = дВ' — кривая, трансверсальная к Ро.
Обозначим через у'(т) наибольшую зйлерову характеристику вложенной ориентированной поверхности )т~ Вз с краем у. Верно ли, что — Х'(у) - (г,(у)? 1Ц КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ В 5« Обозначим через У множество изоморфных ориентированных контактных структур в 5з. Теорема стабильности Грея (см. 3 О) и теорема Серфа, утверждающая связность РЛ(.«(5з», показывают, что У вЂ” зто также и множество связных компонент пространства всех контактных структур в 5з.
В множестве У можно определить операцию связного суммирования. Согласно Лутцу, естественное отображение У в множество Р классов гомотопии полей плоскостей в 5з является сюръекцней. Из следствия 3 теоремы 3 вытекает, что оно не инъективно. А именно, для каждого и > 0 контактная форма Варела ь«„ заданная формулой ко =сов( — "+2па(х',+х,)) (х,йх,— хойх~)+ + з!п ( — + 2пл (хз + хк)) (хзйх4 х4'«хз) определяет контактную структуру, гомотопную стандартной в классе двумерных распределений, но не изоморфную ей. Пусть Р— контактная структура в 5з. Если т есть Р-положительная кривая, то можно найти полноторие А с осью т и такими координатами (р, 0, ф), что Р задается в А формой а = =рза0-)-й~у.
Перестройка Лутца с осью т — это замена а внутри А на форму и(р)й0+ с(р)й~у, где (и, о): )к-«-)?' — кривая Я. Дуади 182 ЛИТЕРАТУРА на плоскости, изображенная иа следующем рисунке: Пусть Т вЂ” вложенный в Вз тор, заданный (в некоторой окрестности Аг) уравнением А = с, А: А(- [ч, Пусть контактная структура в Аг задана формой а = йд8+ г(гр, Перестройка Лутца с осью Т вЂ” это замена а в Л( на форму и(А)дй+ п(Ь)дгр, где кривая (и, о) задана следующим образом: Вопрос 9. а) Всякая ли контактная структура в Вз явчгяется результатом последовательных перестроек Лутца стандартной структуры? Ь) Можно ли считать оси этих перестроек (кривые и торы) попарно непересекаюи(имися и, таким образом, выполнять все перестройки одновременно? с) Когда два набора осей (кривьгх и торов) приводят к изоморфным контактным структурам? «Мультфильма изображает поверхность Маркова для незауз- ленного завитка Я .
Просматривая этот мультфильм 2 (соответствеино 3) раза, можно увидеть поверхность Маркова узльг и контактные структуры в размерности 3 простого зацепления (Я (соответственно трилистника 1. Веплейи!п Р, Еп1ге!всешепй е1 ег(иа1!опв бе Р!вИ. ТЬезе бе Нос(огзг б'Е1в1. Ошчегзпе бе Рапз ТгН, 24 почегпЬге 1982. 2. СЬегп 5. 5.
Рзеибо-Егоирез сопипоз шИпкс Сои. 1п1егпа1. С!ч!($ Сеош. О!и., 51гвзЬоигн, 1953, Н9 †1. 3. ЕназЬЬегй Л й!Е!6!(у о! зушр!есис впб сол1ас1 Мгис1шев, ргерг!п1„!981.. 4. Ег!апбззоп Т. Сеоше1гу о1 сопгас1 1гзпз(огшанолв !п б!шепмол 3. Оос1огв! Жззег1а!!оп, (!ррза!а, 1981. 5. Сгву Л ТУ. Босое Е!оЬа! ргорегиез о1 соп1ас1 з!гпс1игез. Апп, о1 Май.,69' (!959), 42! †4. 6. Громов М. Стабильные отображения слоеннй в многообразия. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, т. 33, № 4, с. 707 — 734. 7.
1л1х й. Бигоие!йиез ргорг!е1ез без 1огшез гИИегепненев еп 6!спела!ол 3.. ТЬезе, $1гавЬоигк, !97!. 8. 1и1х Гс 5(гис(игез бе сошвс1 зиг 1ез ИЬгез рппс(раих еп сегс1ез бе б!шепмоп 3, Апп. 1пз1. Роиг!ег СгепоЫе, 27 (!977). 9. Масйоч А. А.
СЬег б!е 1ге!е дои!чв!епх бег ЕевсЫозвелеп 2ор!е, йесие(1' бе !а Бос. Май. Йе Мозсои, 43 (1936), 73 — 78. 1О. Магнле1 3. Роплез бе соп1ас1 зиг !ез чапе1ез бе б!шепа!ои 3. Ргос. (л!чегроо! Бнпйи1агн!ез Бугпр. 2, Брг!пнег Тгег!вн, (.ес!иге Ыо1ев !п Мв1Ь. 209,. 1971, 142 †1. 11. М!1пог Л Енлйи1аг ро1п(з о1 сошр1ех Ьурегзиг(асез, Алп. 5(ибу Ы61, Рппсе1оп, ! 968. 12. Нонзеп О. Кпо1з апд Ипйз, РиЬИзЬ ог рег!зЬ № 7, !976.
!3. ТЬигмоп йг., %!пйе!пйешрег Н. Е. Оп йе ех!з(енсе о! соп(вс1 1оппз Ргос. Ашег. Май. Бос., 52 (!975), 345 — 347. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА И КОММЕНТАРИИ Другие методы изучения нестандартных контактных многообразий представлены в [1*, 2'] (см. также доклады Громова н Элиашберга на Международном мвтематнческом конгрессе в !986 г.). Доказательство неравенства Беннекена методами теории узлов можно извлечь из [3*]. Применение ииварианта Беннекенв к изучению оптических лагрангкевых многообразий см. в [4',5*]. Обобщение ииварианта Беннекеиа содержится в [6*], а его применение в геометрии плоских кривых — в [7*].
1*. Сгошоч М. Рзеибо-Ьо!ошогрЫс сигчез оп а!шоз1 сошр!ех шапно!дв, !пчел(. гпай., 82 (!985), 307 — 347. 2'. Элнашберг Я. М. Теорема о структуре волновых фронтов и ее лрнменення в симплектнческой топологии, Функи. впал. н его прил., 2! (!987)„ 65 — 72. 3*. Мог1ол Н. 5ейег1 с!гс!ез влб *кпо! ро!упоплвнк Май.
Ргос. СашЬ. РЬ!!. Бос., 99 (!986), !07 — 110. 182 А. Дуада 4ч. Полтерович Л. В, Сильно оптические лвгрзнжевы многообразия, Мвт. ззметкн, 45, № 2 (!989), 95 — !09. 5*. В!з!у М., РоИегоч!сЬ С Ьзкгзпк!зо з!пкп!згн!ез о1 !очаг!зп1 1об о! Нз. ппцоп зуз1егпз иИЬ 1тчо бекгеез о1 (геебопз, 1пчеп1. Ма(Ь., 37 (1989), 291 †3. 6'. Тзбвчннков С. Л. Иивзриант подмногообрвзия, трвнсверсвльного распределению, Успехи мвт.
неук, 43, № 3 (!988), 193 †1. 7'. Табачников С. Л Вычислеаие ннвзрнзнтз Беинекенз лежендровой кривоя по геометрии ее фронта, Фуикц. зивл. и его прил., 22, № 3 (!988), 89 — 90. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ И СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ г) (по М. Громову) Даниэль Беннекен !. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ГИБКОСТЬ И !КЕСТКОСТЬ 1.1. Канонические преобразования 1.1.1. Симплектическая структура оз на гладком многообразии Ф' — это замкнутая 2-форма на Ю', которая индуцирует иа каждом касательном пространстве к 1Р симплектическую билинейную форму (т. е.
невырождеииую кососимметрическую форму) (см. [1] [2]). Пара ()и' го) (или просто ))7) называется симплектл тическим многообразием. Стандартные примеры — это Р с гоо = с(х А г(у, кэлеровы многообразия, кокасательное расслоение Т")7 гладкого многообразия. Общее обозначение симплектической формы в этих примерах ото.
Отображение симплектических многообразий Г: (Ф", оз')- (%', от) называется симплектическим, если ["го =го'. Симплектический диффеоморфизм одной открытой области из Ф' на другую называется каноническим преобразованием. !.1.2. Невозможно перечислить все задачи геометрии, алгебры и анализа, которые сводятся к симплектической геометрии (см., [3], [4]). В [б] приводится следующий перечень программ, осуществляемых в современной математике: алгебраизация, бурбакизация, комплексификация, суперизация, симплектизация...
Несомненно, что после классической механики (Лагранж, Гамильтон, ...) и квантовой механики (Дирак, ...) теория линейных уравнений в частных производных оказала наибольшее влияние на развитие симплектической геометрии (Маслов, Хермаидер, ...). Работы Ли и Картана по бесконечным группам преобразований указывают на фундаментальный характер понятия симплектнческой структуры. Скажем, что (псевдо)группа диффеоморфизмов многообразия Х примитивна, если Х допускает только следующие иивариантные разбиения: тривиальное (един- ') Веппенгдп Юзп1е!.
Ргощегпез ещр1щпез, зпг!зсез де Рбепчпп е1 з1гпс1пгез зугпр!ес1щпез (б'зргез М. Йгогпоч). — Бега!пз!ге ВоогЬзкй 38 егпе вппее, !985/86, п' 657, Аз1ег(здпе 145 — 146, !987, р. ! 1! — !36. © Ы. ВапгьзуЬ зос!е1е гпз(Ьегпв1щпе бе Ргвпсе, !986' 182 А. Дуада 4". Полтерович Л. В. Сильно оптические лаграижевы многообразия, Мат. заметки, 45, № 2 (1989), 95 — 109.
5*. В)а!у М., Ропегоч!сЬ Ь. Ьакгапк!ап Мпнп!аггнез о! !пчабап1 1оп' о! Нагл!Ноп зуз!епгз м!1Ь 1мо бекгеез о1 !геебогп, 1пчеп1. Ма)Ь., 37 (1989), 291 — 303. 6'. Табачников С. Л. Инвариант подмногообразня, траисверсального распределению, Успехи мат, наук, 43. № 3 (1988), 193 †1. 7*. Табачников С. Л. Вычисление инвариаита Беииекеиа лежандровой кривой по геометрии ее фронта, Функд. анап. н его прил., 22, № 3 (1988), 89 — 90. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ И СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ') (по М.
Громову) Даниэль Беннекен !. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ГИБКОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ 1.1. Канонические преобразования !.1.1. Симплектическая структура аг на гладком многообразии Ю вЂ” это замкнутая 2-форма на )Р, которая индуцирует на каждом касательном пространстве к йт симплектическую билинейную форму (т. е. невырожденную кососимметрическую форму) (см. [1), [2[). Пара (Ж', аг) (или просто )Тг) называется симплекгп тическим многообразием. Стандартные примеры — это Р с Фо = г(д л с(у, кэлеровы многообразия, кокасательное расслоение Т')г гладкого многообразия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
