Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поле Р является касательным к двумерному слоению тогда и только тогда, когда алйа=О (теорема Фробеииуса), Говорят, что Р— контактная структура, если, напротив, 3-форма алйа отлична от нуля в каждой точке нз М. Это свойство зависит только от поля Р и не зависит от выбора формы а.
Говорят, что а — контактная форма, если Р = Кег а — контактная структура, т. е. если а л йа не равно 0 ни в одной точке. Примеры, 1) Стандартная контактная структура Ро на Рз определяется уравнением йг + хйу — уйх = О или, в цилиндрических координатах, йг + рзйф = О.
2) На трехмерной сфере 5з, вложенной в Сз как единичная сфера, контактная структура Р, определяется как поле двумерных плоскостей, ортогональных слоям расслоения Хопфа. Другими словами, каждой точке т отвечает плоскость, ортогональнаят т,вТ 5з. 3) Пусть (дь аз, р„р) — Н(41, р) — такая гладкая функция на Р', что р,дН~др, +рздН[др, > О, для всех рным, и пусть Еее Р.
Тогда М =((4), р) ее Рн — (О 2(,Р') [Н(а, р) =Е) — тладкое трехмерное многообразие, а форма Лиувилля 2,= р1йа, + райю определяет иа М контактную форму. Этот пример поясняет, почему контактные структуры изучаются в механике. Говорят, что две системы Пфаффа Р и Р' на М (или на двух многообразиях М и М') изоморфны, если существует диффеоморфизм М (на М'), который переводит Р в Р'. Примеры. 1) Контактная структура РБ, заданная на Ра уравнением йг = хйу, изоморфна стандартной структуре, причем изо- морфизм осуществляется диффеоморфизмом (х, у, г) (2у, х, I г+ ху). Со свойствами структуры Рз приходится иметь дело всякий раз при попытке поставить свою машину у тротуара (х— тангенс угла между автомобилем и тротуаром, у и г — координаты заднего бампера машины). 2) Пусть то ее 5'.
Можно доказать, что контактная структура, индуцированная на 5Б — (то), изоморфна стандартной (см. [4[). 3) Для каждой контактной структуры Р на трехмерном многообразии М и для любой точки т ~ М существует такая окрестность У точки т, что Р[У изоморфна стандартной контактной структуре на Рз (теорема Дарбу). Один из ярких результатов диссертации Беннекена — существование контактной структуры на Рз, которая не изоморфна стандартной структуре. Пусть М вЂ” трехмерное многообразие, Р— система Пфаффа в М и Ь' — вложенная в М поверхность.
Критической точкой поверхности Р относительно Р называется всякая такая точка т ее (л, что Т )к= Р . Если А — множество критических точек, то Р индуцирует на Ь" — А гладкое поле направлений, т. е. в У вЂ” А возникает одномерное слоение Рт. Если )т ориентирована, то слои Рт — это траектории такого векторного поля т)(Р, У), что т)(Р, У)1 о=а[У, где и обозначает 2-форму, ориентирующую К На РБ (как и на его открытых подмножествах, диффеоморфных Р') можно построить такую контактную структуру Р и такой вложенный диск (г, что слоение Рк на У вЂ” А будет иметь замкнутый слой.
Беннекен доказал, что это невозможно для стандартной структуры Рз, следовательно, Р не изоморфна Рз. 2. КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ НА ВЛОЖЕННЫХ ДИСКАХ ЗАМКНУТЫЕ КРИВЫЕ Следующий пример принадлежит Эрландссону: 1-форма а= = р з(п рйф+ соз раг — это контактная форма на Рз (в цилиндрических координатах).
Действительно, а л йа = (1 + + зшрсозр/р)йхлйулйг. Слоение, возникающее на параболоиде г = р', имеет вид, изображенный на верхнем рисунке на с. 162. Бот еше один пример: пусть система Пфаффа Р задана на Рз формой 8 =(грт — р4)44ф+ йг. Тогда р л йг =(4рз — 2г) ахл йулйг. Для каждого с ее Р обозначим через Р, параболоид г= 2рз+ с. Форма р — это контактная форма на каждой из компонент связности У„и У множества Рз — Р„причем каждое из множеств У» диффеоморфно Рз. 11 Бурбаки А. Дунаи 16В !63 11е Форма, индуцированная на Р„равна 4рйр — (р' -1- срз) йтр.
Ее единственная критическая точка — это вершина параболоида Р„а слоение РР задается уравнением 4йр =(ср+ рз)йтр. При с (0 оно имеет вид, представленный на рис. на с. 163. В частности, окружность р'+ с = 0 является замкнутым слоем слоения. Последний пример имеет в действительности довольно общий характер. Пусть (т' — открытое подмножество )кз и 6 — дифференциальная 1-форма на (л', всюду отличная от нуля.
Обозначим через ьз форму объема йх л йу А йг, определим функцию Ь: 11 — (к условием 6 л йб = Ььз, предположим, что 0 — регулярное значение Ь, и положим )т(Х)= Ь '(Х). Тогда форма () определяет на (1 — )т (0) контактную структуру Р. Предположим, что в )т(0) имеется единственная критическая точка ао относительно Р. Обозначим через Г кривую, состоящую из точек ам где ак — критическая точка )т(Х). Вычисление показывает, что функ- Узлы и контактные структуры в размерности 3 ция й1чт!(Р, )т(Х) ) принимает нулевое значение в точке ао, но ее производная вдоль Г отлична от нуля. Если траектории поля иакручиваются на ао, то семейство Рта! представляет собой бифуркацию Хопфа, и, следовательно, при отрицательных или при положительных значениях параметра Х поле т1(Р, )т(Х)) имеет замкнутые траектории.
Существует такая окрестность (Р с: (т' точки ао, что (Р— )т(0) состоит из двух компонент связности, каждая из которых диффеоморфиа (кз, причем для Х, близких к нулю, )т(Х) Д (Р— вложенный диск. 3. ИНВАРИАНТЫ КРИВЫХ, КАСАЮЩИХСЯ Р Пусть Р— система Пфаффа на (кз, Выберем 1-форму а, задающую Р (т. е. Р = Кета). Этим мы зададим трансверсальную ориентацию Р и тем самым ориентируем Р.
Кривая т класса С' называется касательной к Р, илн Р-горизонтальной (или лежандровой кривой), если Т у сР в каждой точке хану. Если Р— контактная структура, то каждую кривую можно Сь-апроксимировать Р-горизонтальными кривыми. А. Дуадн 166 164 1р (у) = т — 1 [1, ргор. 5.7.1[. (т (у) = — 2; 1(а1). Х(У) = 2. '(а1) 5. НОСЫ Пусть ~ — непрерывное векторное поле на Р', не имеющее нулей и принимающее значение в Р. Если у †ориентированн Р-горизонтальиая кривая, то ее числом вращения в Р называется степень отображения х угол ($(х), Т„у), действующего из у в 5'.
Обозначение: ре(у), или просто и(у). Это число не зависит от выбора поля «, участвующего в определении. Пусть у и у' — две ориентированные непересекающиеся вложенные в )кз кривые. Обозначим через Е(у, у') их коэффициент зацепления, т. е. (посчитанное с надлежащими знаками) число точек пересечения кривой у' с погруженной компактной ориентированной поверхностью т', границей которой является у.
Ясно, что Т. (у, у') = й (у', у). Пусть у — ориентированная Р-горизонтальная кривая. Обозначим через у+ еч кривую, полученную малым сдвигом у вдоль ориентирующих нормалей в распределении Р. Назовем коэффициентом самозацепления кривой у в Р число Т.(у, у+ еч). Обозначим его через те(у) или просто т(у). Если Р— стандартная контактная структура на («з, или, более общим образом, а = йг+ийх+ пйу — форма Пфаффа, то значение чисел р(у) и т(у) можно «прочитать» по проекции п(у) кривой у на плоскость (х,у). А именно, 1к(у) — это число вращения погруженной плоской кривой п(у), а т(у) — это число точек самоцересечения кривой п(у), подсчитанных со знаками, указанными на следующем рисунке: 4.
ИНВАРИАНТЫ КРИВОЙ, ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ Р Пусть Р— система Пфаффа на Рз. Выберем 1-форму а так, что Р = Кег а, и рассмотрим ориентированную С'-кривую у. Кривая у называется положительной (соответственно отрицательной), если ограничение а на у — положительная (соответственно отрицательная) в каждой точке форма. Снова обозначим через $ непрерывное векторное поле на Рз, не имеющее нулей и принимающее значения в Р. Для трансверсальной Р кривой у обозначим через 1к(у) число Т.(у,у+в~).
Это число тоже не зависит от выбора $. Пример. Пусть )т есть С-аналитическая кривая в окрестности О ееСз, имеющая в нуле изолированную особенность. Рас- узлы и контактные структуры е размерности 3 смотрим трехмерную сферу 5з с центром в нуле и достаточно маленьким радиусом. Введем на 5' контактную структуру Ро, ортогональную слоям расслоения Хопфа, и обозначим через т число Милнора особенности.
Рассмотрим кривую у = Р'П 5з. Тогда Предложение 1 ([1, 35.5]). Пусть Р— контактная структура, причем а А йа > О, и пусть у — ориентированная кривая, касающаяся Р, Тогда у + еч — отрицательная кривая, у — еу — положительнал кривая и 1, (у + ) = те (у) + р (у), 1, (у — е ) = т, (у) — р (у). Пусть Ь" — ориентированная поверхность и а — изолированная критическая точка поверхности У относительно Р. Индекс 1(а) определяется как индекс особой точки а векторного поля Пи е; скрученный индекс ь'(а) определяется как 1(сс), если ориентапии Т т' и Р„ совпадают, и как — 1(а) в противном случае. Предложение 2 ( [1, 111. 4.4.4) ). Пусть у — ориентированная положительная кривая, )т — такая вложенная ориентированная поверхность, что дЪ' = у. Пусть аь ..., ан — изолированные критические точки т' относительно Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
