Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Общее обозначение симплектической формы в этих примерах ото. Отображение симплектических многообразий Г: (%", ог') — «()Ег, ог) называется симплектическим, если ['го = го'. Симплектический диффеоморфизм одной открытой области из Ф' на дрчгую называется каноническим преобразованием. !.1.2. Невозможно перечислить все задачи геометрии, алгебрьг и анализа, которые сводятся к симплектической геометрии (см. [31, [4]). В [б! приводится следующий перечень программ, осуществляемых в современной математике: алгебраизация, бурбакизация, комплекснфикация, суперизация, симплектизация... Несомненно, что после классической механики (Лагранж, Гамильтон, ...) и квантовой механики (Дирак, ...) теория линейных уравнений в частных производных оказала наибольшее влияние на развитие симплектической геометрии (Маслов, Хермаидео, ...).
Работы Ли и Картана по бесконечным группам преобразований указывают иа фундаментальный характер понятия симплектической структуры. Скажем, что (псевдо)группа днффеоморфизмов многообразия Х примитивна, если Х допускает только следующие инварнантные разбиения: тривиальное (еднн- ') Веппедтйп )Уап1е!. Ргоь!Епгез епйр1щпез, зпг1асез бе Ебегпапп е1 а1гпс1пгез зугпр1ес1щпез (б'аргбз М. Огогпоч). — Бенина|ге ВопгЬам, 38 боте аписе, !985/86, п' 657, Азмг!здпе 145 — 146, !987, р. 111 — !36. © М.
ВапгЬам, 5ос!е1е гпагьегпагщпе бе Ргапсе, 1986: 184 зв. Бвннекеи Эззиизииввиив задачи. вил«нивы в«вид«насти ственная часть разбиения — само Х) или тождественное (разбиение Х на отдельные точки). Кажется, список примитивных бесконечномерных (псевдо) групп Ли исчерпывается следующими группами: Ж вЂ” все локальные диффеоморфнзмы многообразия Х; Π— локальные диффеоморфизмы, сохраняющие форму объема Р на Х; Ы> — конформно сохраняющие объем локальные диффеоморфизмы; ["(г = сЯ, сап Р; б — канонические преобразования симплектической структуры аз наХ; Сво — конформно канонические преобразования: [*вд=сдз, с~Р; % — контактные преобразования контактной структуры на Х; (контактная структура Р на Х вЂ” это такое поле касательных к Х гиперплоскостей, что для любой задающей его локально 1-формы а ограничение йа на каждое Ри дает симплектическую форму.
Пример: гд задана в Р'и+' уравнением хйу+ г = 0 (см. [1], [6]). (В комплексно-аналитическом случае сформулированное выше утверждение о полноте списка (псевдо) групп примитивных ,диффеоморфизмов является теоремой Гнйемина, Квиллена и Стернберга [7].) 1.1.3. Локальная снмплектическая геометрия (как и контактная) обладает свойством гибкости. Типичный пример — следующая теорема Гивенталя: если У и Х вЂ” ростки подмногообразий снмплектического многообразия (Ф',вд), а !†росток диффеоморфизма У в Х, который переводит ограничение дз[г формы дз в дз[т, то 1 пРодолжаетсЯ до Ростка канонического пРеобРазоваиия Ж' Следствие (теорема Дарбу): локально всякая форма а ИЗОМОРфиа СтаНДаРтНОй ФОРМЕ зда В противоположность римановой геометрии в симплектической нет локальных инвариантов подмногообразий.
В то же время симплектической геометрии присуща топологическая жесткость: условие сохранения вэ замкнуто в Св-топологии. Теорема А (Громов — Элиашберг). Пусть ('Флд) — симплектическое многообразие и [ — его диффеоморфизм. Если 1„— последовательность симплектических диффеоморфизмов многообразия Ф', которая сходится к [ в топологии С'-сходимости на компактах, то 1 тоже сохраняет симплектическую структуру. Эта теорема была высказана в качестве гипотезы и в значительной мере доказана (но не опубликована) Элиашбергом [8] Полное доказательство было получено Громовым [9, 10]. Предположим, что мы приняли следующий результат Громова [10]: Лемма. Пусть (!1тзи, чз) — симплектическое многообразие. Тогда единственной (псевдо) группой диффеоморфизмов, содержащей 9 и отличной от нее, является «з (группа, сохраняющая объем ви).
(Доказательство использует линейную алгебру и теорему Нэша — Мозера.) Тогда для доказательства теоремы А достаточно показать, что существует диффеоморфизм с компактным носителем, сохраняющий ви, который нельзя сколь угодно точно приблизить в Сд-топологин симплектическими диффеоморфизмами (безусловно, в предположении, что и 1). Многие частные случаи были известны и до работы Громова. Например, в случае, когда !17 — тор Ги, Эрман [!1] показал, что результат следует из теоремы Конли — Цендера о неподвижных точках [12], [13]. Громов доказал также контактный вариант теоремы А: условие сохранения контактной структуры Сд-замкнуто.
Поскольку аналог леммы сохраняет силу и в контактном случае (нужно заменить (Ф', дз) на (М, г"), 6 — на Ф и 0 — на Ь), здесь тоже нужно только установить, что контактные диффеоморфизмы не Сд-плотны среди всех днффеоморфизмов. (В размерности 3 этот результат следует [14] из изучения глобальных свойств лежандровых кривых в (Рз, Рд) (см. [14], [15] ),) 1.1.4. Если в условии теоремы А заменить форму а на рима- нову метрику й, то теорема станет очевидной, ибо метрика определяется расстоянием и наоборот.
То же верно и для замены а на форму объема 1в — объем определяется мерой. В случаях д или (г теорема А доказывается локальными рассмотрениями. Совсем иначе обстоит дело в случае а или Р, так как при этом не используется то, что можно было бы назвать «топологической» снмплектической (илн контактной) структурой. (Напротив, несомненно существует понятие симплектического гомеоморфизма.) Для доказательства теоремы А приходится использовать существенно глобальные результаты. Они включаются в ряд гипотез, высказанных В. И.
Арнольдом в конце 50-х годов в связи с изучением периодических точек канонических преобразований [16] (см. $ 4). Эллиптические задачи, рииановы новерхности 187 Д. Беннекен 188 1.1.5. Путь, использованный Громовым для доказательства симплектической жесткости, включает в себя изучение голоморфных кривых почти-комплексных структур.
На этом пути открываются глубокие связи симплектической геометрии с нелинейными эллиптическими задачами. Важность работы Громова — как в симплектических, так и в аналитических результатах. Она приводит к глобальной геометрической теории уравнений в частных производных, подобно тому как теория динамических систем яв.ляется глобальной геометрической теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. 1.2. Лагранжевы конструкции 1.2.1. В начале 70-х годов Громов [17] показал, что глобальная симплектическая и контактная топологии обладают свойством гибкости.
Причина гибкости — в изобилии лаграяжевых погружений. Если (Ф', ьз) — снмплектическое многообразие, то погружение 7: )т — ч. Й' называется лагранжевым, если йт У = =(1/2)йгп 1о' и 1"со =О. Согласно Вейистейиу, окрестность в )й' симплектически изоморфна окрестности нулевого сечения )т в Т'М. Графики замкнутых дифференциальных 1-форм на )т в Т*)7 являются лагранжевыми подмиогообразиями в Т'Ъ'. Следовательно, деформации лагранжева погружения 1: )т- Ж' ло,кально параметризуются функциями иа У, С другой стороны, если (Ф',со) и (Ф",со') — два симплектических многообразия, то диффеоморфизм Ф" на Ф' будет симплектическнм, если его график — лагранжево подмногообразие в (Ж" Х 1о', ы' — ьз).
Так на сцене появляются производящие функции. 1.2.2. Лагранжевы погружения удовлетворяют Н-принципу (теорема Громова — Лиса ([10], [18])): переход к струям первого порядка является слабой гомотопической эквивалентностью между пространством лагранжевых погружений У в Ж' (в С -топологии) и пространством непрерывных послойно-инъективных отображений касательного расслоения ТУ в ТФ, лагранжевых на каждом слое и таких, что класс когомологий формы ьз аннулируется образами циклов из )т (тот же Н-принцип применим к изотропиым погружениям; йгп У((1/2)йгп ЯР, (чьз =0 — и горизонтальным погружениям относительно контактной структуры).
М. Громов установил Н.принцип для симплектических погружений в коразмерности 4: если ()Тн,со') и ()й', ьз) — симплектические многообразия, (сро, (о): (ТФ", УУ') — (Т%', Яр) — гладкий морфизм векторных расслоений, причем Ч~о снмплектическое на каждом слое, а 1;из когомологично ьз' и йш )(У) б(ш Ф" +4 (а если Ж" открыто, то йт Ж') йт Ф" + 2), то существует такое симплектическое погружение (и ЯР'- Ю, что (1?)ь [з) гомотопно (сро, 1о). Более того, если )о — вложение, то и [~ можно сделать вложением (см.
[10]). (В качестве следствия получаем теорему Тышлера: все симплектические структуры с целыми периодами ( [из] ~ Н'( Я7, е, )) индуцируются посредством симплектических погружений Ф' в (СРн, соо).) 1.2.3. Гибкость выражается, кроме того, теоремой существования симплектической структуры на открытых многообразиях: если )Т' открыто и структурная группа касательного расслоения ТФ редуцируется к симплектической, то на Ф' существует симплектическая структура, отвечающая этой редукции. Условия существования симплектических структур на замкнутых многообразиях мало понятны (см. $ 4), да и примеров симплектических многообразий немного (см., однако, [10], [19] ). Не достаточно также примеров лаграижевых вложений.
Вот характерный общий результат: если 1/ допускает лагранжево погружение в Р'", то У)с',5' допускает лаграижево вложение в Ран+в (см. [1О]). 1.3. Топологические соотношения неопределенности 1.3.1. Обозначим через Взе(В) открытый евклидов шар радиуса Я в Рзв с иидуцированной симплектической структурой соо. Теорема В (Громов). Не существует симплектического вложения В'"+' ()?',) в В'(К,) н', Вен (К,), если )?', ) )?,. Этот результат не следует просто из сравнения объемов св","' (В' (В,) Х Вен ()?,)) и ви41(Вен+в ()?')).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
